üçgen eşitsizliği | Topolojik bir oluşum!

$X\neq \emptyset$ bir küme olsun ve $d:X\times X\rightarrow [0,\infty)$ fonksiyonu $\forall x,y,z\in X$ için aşağıdaki özellikleri sağlasın:

(m1) $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
(m2) $d(x,y)=d(y,x)$
(m3) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

Bu durumda $(X,d)$ ikilisine bir metrik uzay denir. Acaba bu 3 koşulu daha sade hale getirmek mümkün müdür? Yani bunlardan birinin ya da ikisinin sağlandığını kabul edip üçüncüsünü elde edebilir miyiz? Eğer yapabilseydik, bir kümenin, üzerindeki pozitif değerli bir fonksiyonla birlikte bir metrik uzay olduğunu gösterirken kontrol etmemiz gereken daha az koşul olurdu. Hatta (m3)’ü yani üçgen eşitsizliğini diğer iki özellikten elde edebilseydik, bize en çok zorluğu çıkaran koşulu göz önünde bulundurmak zorunda kalmazdık. Metrik uzaylar dersi alanlar bunun kulağa nasıl hoş geldiğini anlayacaklardır.

O zaman şimdi (m1) ve (m2)’nin sağlandığını kabul edip, bunlardan (m3)’ün elde edilebileceğini ispatlayalım. Bunun için, tersine (m3) koşulunun sağlanmadığını kabul edelim ve bir çelişki elde etmeye çalışalım. İşte başlıyoruz!

Tersine (m3) koşulu sağlanmasın. Özel olarak $y=z$ ve $x\neq y$ olacak şekilde $x,y,z\in X$ elemanları seçelim.

(i) $d(x,y)> d(x,z)+d(z,y)$ olduğundan yukarıda seçtiğimiz $x,y,z$ için $d(x,y)> d(x,z)+0=d(x,z)$ elde ederiz.

(ii) $d(x,z)> d(x,y)+d(y,z)$ olduğundan yine aynı değerler için $d(x,z)> d(x,y)+0=d(x,y)$ elde ederiz.

(i) ve (ii)’den $d(x,y)> d(x,z) >d(x,y)$ sonucu elde edilir, ki bu bir çelişkidir.

Wow Omg GIF - Wow Omg Surprised - Discover & Share GIFs

Demek ki şimdiye kadar onca işi boşa yaptık, yani üçgen eşitsizliğine gerek yokmuş, demek isterdim ama diğer taraftan elimizde şöyle de bir örnek var:

$X=\{x,y,z\}$ olsun ve $d(x,x)=d(y,y)=d(z,z)=0$ , $d(x,z)=d(z,x)=2$ , $d(y,z)=d(z,y)=2$ , $d(x,y)=d(y,x)=6$ olarak verilsin. Bu durumda (m1) ve (m2) sağlanır fakat $d(x,y)> d(x,z)+d(z,y)$ olduğundan (m3) özelliği sağlanmaz

O halde yaptığımız ispat pek de doğruymuş gibi görünmüyor. İşte sebebi: (m3) özelliği bize aslında $\forall x \forall y \forall z\in X$ için $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ olduğunu söyler. Yani eğer işe bunun tersini kabul etmekle başlayacaksak,

(*) $\exists x \exists y \exists z \in X$ için $d(x,y)> d(x,z)+d(z,y)$

olduğunu kabul etmemiz gerekir. Yukarıdaki ispatta bulunan $y=z$ ve $x\neq y$ özel seçimini yapabilmek için $d(x,y)> d(x,z)+d(z,y)$ eşitsizliğinin her $x,y,z$ için sağlanması gerekir. İşte (*) ifadesindeki $\exists x \exists y \exists z$ kısmı bize kafamıza göre seçim yapamayacağımızı söyler. Yani $d(x,y)> d(x,z)+d(z,y)$ eşitsizliğini sağlayan bazı değerler vardır tamam, ama bunlar bizim yaptığımız özel seçimle uyuşmayabilir.

Kıssadan hisse: Matematik bir bütündür, parçalanamaz. Niceleyiciler, yanlarına koyduğumuz ufacık ünlemler, iki nokta ile yan yana duran eşittirler… Her biri matematik alfabesinin eşit öneme sahip unsurlarıdır ve bir ispatın ya da ifadenin her satırında üşenilmeden yanımızda taşınmalıdır.

Kaynaklar
1) https://www.cut-the-knot.org/proofs/TriangleInequality.shtml#fault

Topolojik bir oluşum!

Tag Archives: üçgen eşitsizliği

Şeytan Ayrıntıda Gizlidir: Üçgen Eşitsizliği