Matematik ilk olarak doğa olaylarına ve somut problemlere cevap verme ihtiyacı üzerine ortaya çıkmıştır. Antik Yunan düşünürleri üç temel soruya odaklanmışlardır.

Bir açıyı cetvel ve pergelle üçe bölmek, verilen bir kübün hacminin iki katına eşit bir küp çizmek, ve verilen bir çemberin alanına eşit bir kare çizmek. Bu 3 problemin çözümünün imkansız olduğu kanıtlandığında, elimizde artık daha fazla matematiksel çıktı vardı. Çünkü çözümler, belli denklemleri sağlayan köklerin belirlenmesine bağlıydı. Yani Antik Yunanlılar 19. yüzyıla gelindiğinde ortalığın ne kadar karışacağını, matematiğin nasıl bir derinlik kazanacağını, ve hatta nasıl soyut bir hal alacağını asla öngöremezlerdi. İşte günümüzde de içinde bulunduğumuz bu durumu, Russell gayet güzel ifade etmiş:

Pür matematik, ne neden söz ettiğimizi, ne de söylediklerimizin doğru olup olmadığını bilmediğimiz bir alandır.

Öklid dışı geometrilerden bahsettiğimiz önceki yazılarda, Öklid’in “Bir doğruya dışındaki bir noktadan sadece bir tek paralel doğru çizilebilir” olarak ifade ettiği paralellik aksiyomunu, diğer aksiyomlarından yararlanarak elde etmenin olanaksız olduğunu belirtmiştik. Bu aksiyomu “Bir doğruya dışındaki bir noktadan birden fazla paralel doğru çizilebileceği veya hiçbir paralelin çizilemeyeceği” aksiyomları ile değiştiren Gauss, Bolyai, Lobatchevsky ve Riemann’ın çalışmaları sayesinde, matematiksel bir disiplindeki aksiyomların gözle görülen, apaçık gerçeklerden yola çıkılarak öne sürüldüğü inancı sarsılmaya başlamıştır.

Peki eğer aksiyomlar doğadan gelmiyorsa veya sezgiler yoluyla doğrulanamıyorsa, bir aksiyomatik sistemin tutarlı (consistent) olduğunu, yani bu aksiyomlardan ( ve gibi) birbiriyle çelişen teorem çiftlerinin elde edilemeyeceğini nereden bilebiliriz? Bu sorunu çözmenin yollarından biri, sistemin soyut aksiyomlarının uygulanabileceği bir model bulmaktır. Örneğin,

Bir doğruya dışındaki bir noktadan hiçbir paralel doğru çizilemez (*)

varsayımını içeren Riemann geometrisi (eliptik geometri) için uygun olan model, küre yüzeyidir. Bu modele göre, “düzlem” küre yüzeyi, “nokta” küre üzerinde bir nokta, ve “doğru” küre yüzeyindeki büyük çemberler olarak yorumlanabilir. Bir büyük çembere, dışındaki bir noktadan geçen hiçbir paralel büyük çember çizilemediğinden, (*) aksiyomunun sağlandığı açıktır. Bulduğumuz bu model, Riemann geometrisini Öklid’in diline çevirir. Yani dolayısıyla Riemann geometrisinin tutarlılığını görmek, Öklid geometrisinin tutarlı olduğu varsayımı ile mümkündür. Peki Öklid’in aksiyomatik sisteminin tutarlı olduğunu nereden biliyoruz? Hilbert bunu göstermek için, Öklid’in aksiyomlarını cebirsel olarak yorumlama yoluna gitmiştir. Hilbert’in modelinde, “nokta” bir sayı çifti, “doğru” birinci dereceden doğrusal bir denklem, “çember” ikinci dereceden bir denklem olarak düşünülmüştür. Bu durumda, örneğin “iki farklı noktadan yalnızca bir doğru geçer” ifadesi “her farklı sayı çiftinin yalnızca bir doğrusal eşitlik belirlediği” cebirsel gerçeğine dönüşür. Peki içine girdiğimiz girdabı fark edeniniz oldu mu? Burada, Öklid geometrisinin tutarlı olması, cebirin tutarlı olması varsayımını gerektiriyor. Bu da demek oluyor ki, model yöntemi tutarlılık sorununa yeterince tatmin edici bir çözüm sunmuyor.

Şimdi, tutarlılığın mutlak kesinlikle nasıl kanıtlanabileceğini bir örnek yardımıyla anlamaya çalışalım. Bunun için Önermeler Mantığını ele alalım ve bu aksiyomatik sistemin tutarlı olmadığını kabul edelim. Bu durumda elimizde, hem hem de onunla çelişen , sistemdeki aksiyomlardan elde edilebilecek (deducible) şekilde bir önermesi olmalıdır. Şimdi nasıl elde edildiğinin detaylarına girmeden, bu sistemdeki teoremini ele alalım. Öncelikle Modus Ponens kuralını hatırlayalım: Eğer ve önermeleri aksiyomlardan elde edilebiliyorsa, önermesi de elde edilebilir. Örneğin, “Bugün salıdır” ve “Bugün salı ise Ekin işe gidecek” ifadeleri bu sistemin aksiyomları yardımıyla elde edilebiliyorsa, “Ekin işe gidecek” ifadesi de elde edilebilir. O halde bu kural gereği, ve önermelerinden ()’nun; ve () önermelerinden ise ‘nun elde edilebilirliği sonucuna ulaşırız. Burada keyfi olduğundan, ‘nun yerine yazabilecek her ifade bu sistemdeki bir çıkarım, yani bir teorem olacaktır. (Daha önce burada anlattığımız, Russell’ın, yanlış varsayımlarla istenilen her şeyin doğruluğunun gösterilebileceğine dair anekdotunu hatırlayalım. ve aynı anda doğru olduğunda, Russell’ın papa olduğu sonucuna bile ulaşmak mümkün oluyordu.) Demek ki tutarsız bir sistemde elde edilebilecek her formül bir teoremdir. Tersine, bir sistemde her formül bir teorem değilse, yani aksiyomlardan türetilemeyecek en az bir formül varsa, bu durumda sistem tutarlıdır.

Tutarlılığın neye benzediğini anladıysak, Hilbert’in 1900 yılında öne sürdüğü, 23 sorudan oluşan meşhur problemler listesinin 2. maddesiyle tanışmaya hazırız demektir: Aritmetiğin aksiyomlarının tutarlı olduğunu kanıtlayınız. Burada kastedilen, tıpkı Peano aritmetiği gibi, doğal sayıları formalize eden bir aritmetik sistemin elde edilmesi, bu sistemin tüm matematiği formülize etmesi, ve sistemin tutarlılığının kendi içinde kanıtlanmasıdır.  İnsanın bilim karşısındaki acizliğini anlatan “Ignoramus et ignorabimus (Bilmiyoruz ve bilmeyeceğiz)” sözüne karşılık, “Wir müssen wissen – wir werden wissen (Bilmeliyiz, bileceğiz) düsturunu benimseyen Hilbert,

“Bir bilimin temellerini araştırmakla meşgul olduğumuzda, o bilimin temel fikirleri arasında var olan ilişkilerin tam ve eksiksiz bir tanımını içeren bir aksiyomlar sistemi kurmalıyız.”

sözleriyle aslında, matematik disiplininde geçerli olan bir “Her Şeyin Teorisi” ortaya koyulmasını istemiştir. Matematiğin karar verilebilir, eksiksiz ve tutarlı olduğunu kanıtlamak isteyen Hilbert’in bu hayalini sona erdiren, daha sadece 25 yaşındayken yayımladığı ve onu büyük bir şöhrete kavuşturan Eksiklik Teoremleri (Gödel’s Incompleteness Theorems) ile ilgili makalesiyle, Kurt Gödel olmuştur.

Gödel’e göre, temel aritmetik doğrularını kanıtlayabilen herhangi bir tutarlı biçimsel sistem içinde, aksiyomlarımızın dışına çıkmadan, doğruluğunu da yanlışlığını da ispatlayamayacağımız bazı önermeler vardır. Bir aksiyomatik sistemde, sistem içinde ifade edilebilen her mantıksal ifadenin doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanabiliyorsa, bu sistem tamdır (complete) denir. Gödel’in teoremi, içinde aritmetiğin geliştirilebileceği herhangi bir aksiyomatik sistemin tam olamayacağını, yani eksikli olduğunu, ve hatta bu aksiyomlar kümesine sonlu sayıda yeni aksiyom eklense bile tamlığın sağlanamayacağını gösterir.

Gödel bu sonuçları nasıl elde etti, Gödel numaralandırması yöntemi nedir gibi sorulara bir sonraki yazıda değineceğiz. Çünkü, çocukluğunda Herr Warum (Mr Why/Bay Neden) lakabıyla bilinen Gödel’in, doktorasını bitirdikten yalnızca bir yıl sonra yaptığı bu ispatı anlamak, bizler için bir hayli çaba gerektirecek.

KAYNAKLAR
1) Ernest Nagel, James R. Newman, Gödel’s Proof, New York University Press, 1958.
2) https://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del
3) https://en.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert
4) https://www.privatdozent.co/p/kurt-godels-brilliant-madness