Tag Archives: topoloji tarihi

Her şey birdenbire (mi) oldu II: Kapalı kümelerin ortaya çıkışı

Posted on by
Cevapla

Topoloji dersleri genelde, üç temel aksiyomla başlar. X bir küme ve \tau, X’in kuvvet kümesinin bir alt ailesi olsun. Eğer,
(T1) \emptyset \in \tau, X \in \tau
(T2) G_1,G_2 \in \tau \Rightarrow G_1\cap G_2\in \tau
(T3) \forall \alpha, G_{\alpha} \in \tau \Rightarrow \bigcup G_ {\alpha} \in \tau
özellikleri sağlanıyorsa \tau‘ya bir topoloji, \tau‘nun elemanlarına ise açık kümeler denir.
Sanki matematikçinin biri gelmiş ve demiş ki “Dostlar, yurttaşlar, dinleyin: Bundan sonra bu 3 aksiyomu sağlayan aile bir topolojik uzay olarak biline!” Tabii ki böyle olmamış ve bilimin her alanında olduğu gibi, bu tanım da zaman içinde evrilerek bu forma gelmiş. Hatta yapılan ilk tanımların “komşuluk” kavramını temel aldığını ve modern topolojinin bel kemiği olarak görülen açık kümelere uzun süreler ihtiyaç duyulmadığını bile söyleyebiliriz.

Bu yazıda, açık küme tanımına gelene kadar neler olup bittiğine, topolojinin hangi tanımlar çerçevesinde kimler tarafından inşa edildiğine bir bakacağız. (Tabii hikaye oldukça uzun olduğundan için bahsedemeyeceğimiz birçok kişi ve kavram da olacaktır.)

Topolojinin gelişimini üç ayrı koldan inceleyecek olsak, geometri, analiz ve fonksiyonel analizden yola çıkmamız doğru bir yaklaşım olurdu. Bir önceki yazımızda geometri ile ilişkisine kısaca değinmiştik. Burada yapacağımız şey ise analiz ile ilişkisini kurmak ve yakınsama kavramından yola çıkarak modern topolojiye doğru ilerlemek olacak.

Bir kümenin limit noktası (ya da orijinal ismiyle “Grenzpunkt”) kavramının isim babası ve bunun üzerine bir yayın yapan ilk kişi Cantor olmasına rağmen onu ilk bulan kişi Weierstrass’tır. 20 yılı aşkın süre boyunca devam eden derslerinde, Bolzano-Weierstrass teoreminin bir parçası olarak, bu kavramdan birçok kez bahsedilmiştir. Weierstrass bu teoremi topolojinin ya da orijinal ismiyle “analysis situs”un veya geometrinin değil, klasik analizin bir parçası olarak görmüştür. (Topoloji kelimesini kullanan ilk kişi Johann Benedict Listing’dir. “Vorstudien zur Topologie” adlı kitabının öncesinde yaptığı yazışmalarda da 10 yıl boyunca “Topologie” kelimesini kullanmıştır.) Teorem, n-boyutlu Öklid uzayında her sonsuz sınırlı kümenin bir limit noktası olduğunu ifade eder. Günümüzde Bolzano-Weierstrass teoremi olarak bilinmesine rağmen, Bolzano’nun çalışmalarında bu ifadeyi görmek imkansızdır çünkü daha ortada bir kümenin limit noktası kavramı yoktur. Bolzano’nun bulduğu şey Weierstrass’ın teoremi ispatlamakta kullandığı altaralıklara bölme yöntemine çok benzer bir metottur.
Weierstrass’ın derslerinde Bolzano-Weierstrass teoreminin birçok farklı ifadesi yer almıştır.
Teoremin bilinen ilk hali 1865 yılında, son hali ise 1886 yılında ifade edilmiştir.
(1865 yılında “Analitik fonksiyonlar teorisinin ilkeleri” isimli derste ifade edilen ve topolojide sıkça kullanılacak olan komşuluk tanımını içeren ifade şöyledir:
“Düzlemin sınırlı bir parçasında, verilen bir özelliğe sahip sonsuz sayıda nokta varsa, bu durumda (bu parçanın içinde ya da sınırında), her komşuluğunda bu özelliğe sahip sonsuz sayıda eleman bulunan en az bir nokta vardır.“)

İlginçtir ki, Weierstrass 20 yıl boyunca teoremin ifadesinde kullandığı bu noktaya herhangi bir isim vermemiştir. Onun yerine kariyerinin sonlarına doğru “Grenzstelle” terimini ortaya koymuştur. Burada şunu eklemek gerekir ki, “Grenzstelle” kümeye ait olamaz fakat Cantor’un “Grenzpunkt”u için böyle bir kısıtlama yoktur.

Cantor, 1872 yılında trigonometrik seriler üzerine yazdığı makalede, bir kümenin türev kümesini (yani, tüm limit noktalarının kümesini) tanımlamak için limit noktası terimini kullanmıştır. Şimdi Cantor’un tanımına bir bakalım:

“Bir P kümesinin limit noktasından anladığım şey, bir doğru üzerinde bulunan ve her komşuluğu P kümesinin sonsuz sayıda elemanını içeren bir noktadır. Limit noktası P kümesine de ait olabilir. Bir noktanın komşuluğundan kastedilen şey, noktayı içinde bulunduran bir aralıktır. Bu tanımlara dayanarak sonsuz sayıda nokta içeren her kümenin en az bir limit noktası olması gerektiğini kolayca gösterebiliriz.“

Yukarıdaki son cümle aslında Bolzano-Weierstrass teoreminin yayınlanmış ilk ifadesidir. Cantor bu teoreme herhangi bir referans vermemiş, ayrıca teorem sadece sınırlı bir küme üzerinde doğru olmasına rağmen, teoremin ifadesine böyle bir koşul eklememiştir. Bunun sebebi sadece bir dikkatsizlik olabilir. Çünkü 1882 yılında, bu teoremi ifade eden, kanıtlayan ve uygulayan ilk kişinin Weierstrass olduğunu söylemiştir. Weierstrass gibi, Cantor da Bolzano-Weierstrass teoremini klasik analizin bir parçası olarak düşünmüştür.

Kısa bir süre sonra, limit noktası kavramı İtalya’ya da ulaşmıştır. Ulisse Dini, reel analizin temelleri hakkında yazdığı kitapta, Bolzano-Weierstrass teoremini Cantor’un versiyonuna daha yakın fakat daha açık bir şekilde ifade etmiştir:

“Bir (a,b) aralığının sonsuz bir G altkümesinin (kümede olması gerekmeyen) bir limit noktası vardır.”

Cantor 1884 yılında, tüm limit noktalarını içeren küme olarak “kapalı küme” kavramını tanımlamıştır. Her kapalı kümenin bir türev kümesi olduğunu ve ayrıca A \cup B kümesinin türev kümesinin, A’nın ve B’nin türev kümelerinin birleşimine eşit olduğunu göstermiştir. (Cantor’un bu özellikleri \mathbb R üzerinde elde ettiğini unutmayalım.)

Cantor, açık küme kavramından bahsetmemesine rağmen, 1872’de bir aralığın, 1879 ise bir kümenin iç noktaları tanımlarını vermiştir. Cantor’un tanımı Giuseppe Peano’nun Geometric Applications of the Infinitesimal Calculus kitabında yapmış olduğu iç nokta tanımına yakındır. Peano’nun tanımı ise şöyledir:

“A kümesi \mathbb{R}^n (n=1,2,3)‘in bir alt kümesi olsun. Eğer, p ile arasındaki uzaklık r’den küçük olan tüm noktalar A’ya ait olacak şekilde bir r>0 varsa, p, A’nın iç noktasıdır denir.“

Peano ayrıca dış nokta (bir kümenin tümleyeninin iç noktaları) ve sınır noktası (ne iç ne de dış nokta olan noktalar) kavramlarını da tanımlamıştır.

Limit noktası kavramının Fransa’ya gelişi ise iki yolla olmuştur. Bunlardan ilki, Henri Poincare’nin 1883 yılında Klein gruplardan bahsettiği makalesinde Cantor’un türev kümesi gibi bazı tanımlarını kullanmasıdır. Poincare bu kavramların sadece Almanca isimlerini yazmış, ne anlama geldiklerini açıklamamıştır. İkincisi ise, Cantor’un makalelerinin Fransızca çevirilerini inceleyen Jules Tannery yardımıyla olmuştur. Tannery aynı zamanda, Peano’nun iç, dış ve sınır noktalarını tanımladığı kitabını da incelemiştir.

Bunların yanı sıra, Camille Jordan 1892 yılında belirli integraller üzerine yazdığı bir makalede Cantor’un fikirlerini kullanmıştır. Jordan’ın limit noktası tanımı Cantor’un tanımından farklıydı fakat tanımlanmasından 20 yıl sonra standart tanım haline gelecekti.

“Eğer her \epsilon> 0 için p ile q arasındaki uzaklık \epsilon ‘dan küçük olacak şekilde bir q\neq p, q\in E noktası varsa, p’ye E’nin limit noktası denir.“

Jordan da kapalı kümeleri tanımlamış fakat bu kümeleri kapalı küme değil mükemmel küme olarak adlandırmıştır. (Öte yandan Cantor mükemmel küme terimini, türev kümesine eşit olan kümeler için kullanmıştır.) Ayrıca, bir kümenin tümleyeninin türev kümesine ait olmayan noktaları iç nokta olarak adlandırmıştır. Jordan’ın da Cantor gibi, açık küme tanımını yapmaya çok yaklaştığını görüyoruz. Aslında tek yapması gereken, “iç noktaları kümesi kendisine eşit olan kümeye açık küme denir” tanımını yapmaktı fakat muhtemelen böyle bir kavrama ihtiyaç duymamıştı. Bunun yerine sınır noktalarını (ne kümenin ne de kümenin tümleyeninin iç noktası olan noktaları) tanımlamış ve sınır noktaları kümesinin boştan farklı ve kapalı bir küme olduğunu göstermiştir. 1983 yılında, limit tanımını biraz değiştirerek

“Eğer p noktası, E kümesinde bir dizinin limiti ise p’ye E’nin limit noktası denir”

tanımını vermiştir. (Bu tanımın ilk limit tanıma denk olduğunu göstermek için, o zamanlar daha ifade edilmemiş olan Seçme Aksiyomuna ihtiyaç vardır.)
(Bonus: Jordan ayrıca, n-boyutlu uzaylar üzerinde çalışırken günümüzde taksi-kap (taxi-cab) metriği olarak bilinen metriği tanımlamıştır.)

Görüyoruz ki derslerde kolayca tanımlayıp geçtiğimiz kavramlara ve ufak alıştırmalar şeklinde ispatladığımız ifadelere ulaşmak öyle kolay olmamış. Birçok matematikçinin katkısı ve tabii bir de uzunca bir zaman gerekmiş. Şuana kadar sadece kapalı kümeler, limit ve sınır noktaları, dış ve iç noktalardan bahsedip, açık küme kavramının etrafında dolanıp durduk. Açık kümeler nasıl tanımlanmış, topolojik uzay tanımı hep günümüzdeki gibi miymiş, yoksa o da zaman içinde sürekli değişerek ve en sonunda en iyinin hayatta kalması prensibine dayanarak mı bugünkü haline gelmiş? Yeni başlayanlar ve merak edenler için, bu soluk kesici (!) serüvene devam edeceğiz. “Her şey birdenbire (mi) oldu III” başlıklı yazımızda görüşmek üzere.

Kaynaklar
1) G.H. Moore, The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology, Historia Mathematica 35(3), 220-241 (2008)

Her şey birdenbire (mi) oldu I: Geometriden Topolojiye Bir Yol Gider

Posted on by
Cevapla

Bir varmış, bir yokmuş… Ülkenin birinde, çok düşünüp, sorgulayıp, başımıza icat çıkarınca tiz kellesi vurulan; bir diğerinde ise pazar yürüyüşleri yaptıkları köprüler üzerinden bile bilimsel sorular ortaya atıp, bunları yanıtlarken koca koca teorilerin ortaya çıkmasına önayak olan insanlar yaşarmış.
Sene: 1736. Yer: Prusya’nın Könisberg (Kralın Dağı) şehri. Euler, topolojinin başlangıcı olarak değerlendirilmeyi hak eden ilk çalışması olan Königsberg köprüsü probleminin çözümü üzerine ”Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” makalesini yayımlamıştır. Bu makale İngilizceye “The solution of a problem relating to the geometry of position” (Konum geometrisiyle ilgili bir problemin çözümü) olarak tercüme edilmiştir. Makalenin başlığından, Euler’in, mesafenin önemli olmadığı farklı bir geometri türü ile uğraştığının farkında olduğunu anlıyoruz. Makale, Könisberg şehrindeki Pregel ırmağının meydana getirdiği bir ada ve yarımadayı birbirine bağlayan 7 köprünün her birinden bir ve sadece bir kez geçerek bütün şehri dolaşabilir miyiz sorusu üzerine yazılmıştır. Euler sadece bu durumun imkansız olduğunu göstermekle kalmamış, aynı zamanda çözümünü, bugünkü haliyle ifade edilmek istenirse, “Bir grafikte her kenarı tam olarak bir kez geçen bir yol olması için, bu grafikteki tek dereceli düğümlerinin sayısı, eğer varsa, iki olmalıdır.” biçiminde genelleştirmiştir. Tek dereceli düğümler dolaşmanın başlangıç ve bitiş düğümleridir. Grafikte böyle düğümler yoksa dolaşmaya herhangi bir düğümden başlanabilir. Bu problem aynı zamanda matematiğin diğer bir alanı olan çizge kuramının da temelidir.

Matematiğin yalnızca ölçüm ile ilgili bir alan olduğu algısından kurtulmamızı sağlayan bir sonraki adımı da Euler’in attığını söyleyebiliriz. 1750 yılında Christian Goldbach’a yazdığı ve Goldbach’ın bir kitapçı ile yaşadığı bir anlaşmazlık üzerine yorum yaptığı mektupta ayrıca ünlü çokyüzlü formülünü de yazmıştır. v - e + f = 2. Burada v, e ve f, sırasıyla, çokyüzlünün köşe, kenar ve yüzlerinin sayısını gösterir. Arşimet ve Descartes da çokyüzlüler üzerine kapsamlı bir şekilde çalışmış olmalarına rağmen bu formülü gözden kaçırmışlardır. Bunun nedeni, Euler’den önce ölçüm dahil olmadan geometrik özellikleri düşünmenin imkansız olmasıdır. (Burada bir ek bilgi: Euler, formülünün ayrıntılarını 1752’de iki makalede olarak yayımlamıştır. İlk makalede sonucu kanıtlayamadığını kabul etmiş, ancak ikincisinde katı cisimleri tetrahedral parçalara bölerek formülünü kanıtlamıştır. Fakat bu kanıtta tüm katıların konveks olduğunu, yani herhangi iki noktayı birleştiren düz bir çizginin her zaman tamamen katının içinde olduğunu, varsaymış, bu nedenle bazı durumları gözden kaçırmıştır. Hayatının çoğunu Euler’in formülüyle ilgili problemler üzerinde çalışarak geçiren Antoine-Jean Lhuilier (1750 -1840), 1813 yılında yayıladığı çalışmada, Euler’in formülünün, içlerinde delik olan katılar için yanlış olduğunu ve g, katı cisimdeki delik sayısı olmak üzere, v - e + f = 2 - 2g eşitliğinin sağlandığını göstermiştir. Bu eşitlik aslında topolojik invaryant üzerine elde edilmiş ilk sonuçtur.)
Şimdi, asıl konumuza dönelim ve geometriden topolojiye doğru yol almaya başlayalım.

Topoloji kelimesi topos ve logos sözcüklerinin bir birleşimidir. “yüzey bilimi” anlamına gelir. Fakat bu kelime topolojinin günümüzdeki çalışma alanlarını anlamak için yetersizdir. Topolojinin ne hakkında olduğunu anlamanın belki de en iyi yolu, ona birçok açıdan yakın olan geometri ile karşılaştırmaktır. Bu nedenle, öncelikle geometrinin, veya en azından bize oldukça tanıdık olan Öklid geometrisinin ne olduğuna yakından bakalım.
Geometri, geo ve metro kelimelerinin birleşimidir yani “yer ölçümü” anlamına gelir. Nesnelerin geometrik özelliklerinin incelenmesi olarak tanımlanabilir. Elbette böyle bir tanım, “nesneler” ve “geometrik özellikler” ile ne kastedildiği sorularını akla getirir. Öncelikle bunları yanıtlayalım. Hepimiz, geometrinin çizgiler, düzlemler, daireler, küpler, silindirler, çeşitli eğriler, yüzeyler ve benzeri nesnelerle ilgilendiğini biliyoruz. Bu nedenle bunlar, üzerinde çalışılacak nesneler arasındadır. Ancak bu kesin bir tanım olarak alınabilir mi? Hayır, çünkü ‘ve benzeri’ ifadesi matematiksel bir tanıma dahil edilemeyecek kadar belirsiz bir ifade. Yukarıda listelenen tüm nesnelerin kümeler olduğu açıktır. O halde çalışmamızın nesnelerinin sadece kümeler olduğunu söyleyebilir miyiz? Aslında evet fakat bu durum geometrinin güzelliğini kaybetmemize sebep olacaktır. Bu nedenle, örneğin bir kare ile bir üçgen arasında ayrım yapabileceğimiz bazı ek yapılara da ihtiyaç duyarız. Bu ek yapı, noktalar arasında tanımlı, uzaklık gibi bazı özellikleri içermeli ve belirli koşulları veya “aksiyomları” sağlamalıdır. O halde bir geometrik nesne, sadece bir küme olarak değil, bir ek yapıya sahip bir küme olarak ya da bir küme ve ek yapıdan oluşan sıralı bir çift olarak tanımlanabilir. Bu tür tanımlamalar matematikte oldukça yaygındır. Örneğin, bir grup, belirli aksiyomları sağlayan bir ikili işlemle birlikte bir küme olarak tanımlanır. Bu ikili işlem ve sağladığı aksiyomlar bahsettiğimiz ek yapıdır.
Şimdi bir nesnenin geometrik özelliklerinin ne anlama geldiğine bir bakalım. Geometride alan, hacim ve eğrilik (curvature) gibi özelliklerle ilgileniyoruz. Yani aslında bunlar bir nesnenin geometrik özellikleridir. Fakat renk, koku, erime noktası gibi özelliklerle ilgilenmeyiz, yani bunlar geometrik özellik değildir. Peki bir özelliğin geometrik olup olmadığına nasıl karar veriyoruz? Kabaca, nesnenin noktaları arasındaki uzaklığa bağlı olan özellikler geometriktir diyebiliriz. Şimdi bu kriteri matematik diliyle ifade etmeye çalışalım. Bunun için “denklik (congruence)” tanımını hatırlayalım. İki nesnenin noktaları arasında bire-bir eşleme var ise bu iki nesne birbirine denktir denir. Matematiksel olarak ifade edersek, A ve B birer nesne ve d noktalar arası uzaklık olmak üzere, her x,y \in A için d(x, y) = d(f(x),f(y)) olacak (yani uzaklıkları koruyacak) şekilde bire-bir örten f: A\rightarrow B dönüşümü varsa A ve B birbirine denktir denir. Bu f dönüşümüne ise bir denklik (ya da bir izometri) denir. Birbirine denk olma bağıntısının, bütün geometrik nesneler sınıfı üzerinde bir denklik bağıntısı olduğu açıktır. Bir nesnenin sahip olduğu bir özellik denk olduğu her nesne tarafından da sağlanıyorsa, bu özellik denklik altında değişmezdir (invariant) ya da denklik tarafından korunuyordur denir. Örneğin üçgenin alanı böyle bir özelliktir. Benzer şekilde ikizkenar üçgen olma özelliği de denklik altında korunur. Diğer taraftan bir nesnenin kokusu rengi denklik altında korunmaz. Denklik uzaklığı koruduğu için, uzaklığa bağlı olan her özelliği de koruyacaktır. O halde “geometrik özellik” nedir sorusunun cevabı, “denklik altında korunan” özellikler olacaktır.
Bu tarz sınıflandırmalara matematikte çok sık rastlanır. Örneğin kümeler teorisinde nesneler, üzerinde hiçbir ek yapı bulunmayan kümelerdir. İki küme arasında bire-bir örten bir dönüşüm varsa bu kümeler eş güçlüdür (equipollent) denir. Eş güçlü olma bir denklik bağıntısıdır ve bu özellik altında korunan özelliklere küme-teorik (set-theoretic) özellik denir. Kümenin kardinalitesi böyle bir özelliktir.
Topoloji bu genel yaklaşıma mükemmel bir şekilde uymaktadır. Topolojide ele alınan nesneler topolojik uzaylar olarak adlandırılır. Şimdilik bu nesnelerin geometrideki nesnelerle aynı olduklarını farz edelim. Fakat burada sınıflandırma, denklik yardımı ile değil de, “homeomofizma” olarak bilinen özel dönüşümler yardımı ile yapılacaktır. Bu durumda homeomorfizma altında değişmeyen özellikler topolojik özellikler olarak adlandırılacaktır.
Tanım: A ve B, Öklid uzayının alt kümeleri, f: A\rightarrow B bir fonksiyon ve x_0 \in A olsun. Eğer her \epsilon>0 ve her x\in A için, d(x, x_0) < \delta iken d(f(x),f(x_0)) < \epsilon olacak şekilde bir \delta>0 varsa f fonksiyonu x_0 noktasında süreklidir denir. Eğer f, A’nın her noktasında sürekli ise, f fonksiyonu süreklidir denir.
Bu tanımı ve sürekli fonksiyonların özelliklerini analiz derslerinden hatırlıyoruz. Sürekli bir fonksiyon tersinir ya da bire-bir örten olmayabilir. Eğer tersi varsa, tersinin sürekli olması da gerekmez. Örneğin A=[0,1) ve B birim çember olmak üzere f: A\rightarrow B , f(x) = (cos 2nx, sin 2nx) fonksiyonu sürekli, bire-bir ve örtendir fakat tersi sürekli değildir.
Tanım: A ve B, Öklid uzayının alt kümeleri, f: A\rightarrow B bir fonksiyon olsun. Eğer f sürekli, bire-bir örten ve tersi de sürekli olan bir fonksiyon ise, f bir homeomorfizmadır denir. Bu durumda A ve B birbirine homeomorftur.
Bu tanımlar sonrasında, topoloji ve geometri karşılaştırmasının denklik ve homeomorfizma karşılaştırmasına indirgenmiş olduğunu söyleyebiliriz. Şimdi bu iki fonksiyonun birbiriyle ilişkisine bir bakalım. Tanımlardan her denkliğin bir homeomorfizma olduğu açıktır. Yani bir geometriciye göre aynı görülebilen iki nesne, bir topolojici için de aynı görülebilir. Ayrıca, homeomorfizma altında korunan her özellik denklik fonksiyonu altında da korunur. O halde tüm topolojik özelliklerin birer geometrik özellik olduğunu da söyleyebiliriz.
Peki bu durumun tersi de doğru mudur? Tabii ki hayır; zaten cevabımız olumlu olsaydı geometri ile topoloji arasında bir fark olmazdı. A ve B, sırasıyla, 1 ve 2 birim uzunluğunda birer çubuk, yani A=[0,1], B=[2,4] olsun. f: A\rightarrow B, f(x)=2+2x fonksiyonunu tanımlayalım. f fonksiyonu ve tersi olan g: B\rightarrow A, g(y)=\frac{y-2}{2} fonksiyonu süreklidir. Ayrıca f bire-bir ve örtendir. O halde f bir homeomorfizmadır. Fakat f bir denklik değildir, hatta A ve B arasında bir denklik fonksiyonu bulunamaz. (Aksi taktirde bu denklik, örneğin 0 ve 1 arasındaki uzaklığı korurdu.) O halde bu iki nesne topolojik olarak aynı olmasına rağmen geometrik olarak farklıdır. Sezgisel olarak, çubukların esnek bir maddeden yapıldığını düşünürsek homeomorfizma birinci çubuğu uzatarak/esneterek ikinci çubuğun elde edilmesini (ya da, ikinci teli büzerek birincinin elde edilmesini) sağlar. Kabaca, esnetme büzme gibi işlemlerin, topolojik özellikleri etkilemezken, çubuğun boyu gibi geometrik özellikleri değiştirdiğini söyleyebiliriz.
Diğer bir örnek olarak, A= [0,1], B:=birim çemberin dörtte biri ve h: A\rightarrow B, h(x)=(cos \frac{\pi x}{2}, sin \frac{\pi x}{2}) olsun. h bir homeomorfizmadır. Elimizdeki 1 birim uzunluğundaki çubuğu bükerek çeyrek çembere dönüştürmek onu topolojik olarak değiştirmez fakat eğrilik ve torsiyon gibi geometrik özelliklerini değiştirir. O halde, uzunluk, eğrilik ve torsiyon gibi özeliklerin birer topolojik özellik olmadığını söyleyebiliriz.
Şimdi de 2-boyutlu bir nesneyi, örneğin disk şeklinde bir lastik levhayı ele alalım. Bu levha çeşitli yönlerde gerilerek bir kare haline getirilebilir. O halde bir disk ile bir karenin homeomorf olduğunu söyleyebiliriz. (Burada yapılan işleme uygun bir homeomorfizma yazmak kolay değildir.)

Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi O ve O’ iç noktalarını seçelim. Başlangıç noktası O olan bir doğru parçasının çemberi kestiği nokta A; başlangıç noktası O’ olan bir doğru parçasının çemberi kestiği nokta ise A’ olsun. OA ve O’A’ aynı uzunlukta olmak zorunda değildir fakat OA dan O’A’ ye, O noktasını O’ ye taşıyan bir homeomorfizma vardır. Ayrıca A değiştikçe, bu homeomorfizma da, disk ile kare arasında yeni bir homeomorfizma elde edilecek şekilde, sürekli bir biçimde (continuously) değiştirilebilir. Bu tekniği kullanarak bir diskin bir üçgene, elipse ya da yukarıda gösterilen herhangi bir levhaya homeomorf olduğunu söyleyebiliriz. Bahsedilen nesneler arasındaki her homeomorfizma birinin sınır noktalarını diğerinin sınırına taşıyacaktır. (Kanıtı açık değildir fakat sezgisel olarak gayet açık bir durumdur.)
Yine sezgisel olarak, bir nesnenin boyutunun topolojik bir özelliktir olduğunu, yani yukarıdaki şekilin üçüncü satırında gösterilen katı cisimlerin hiçbirinin bir yüzeye ya da bir eğriye homeomorf olamayacağını söyleyebiliriz.
Şimdi bazı ilginç topolojik özellikleri inceleyelim. Nesnenin tek bir parçadan oluşması, yani matematiksel adıyla bağlantılı olması topolojik bir özelliktir. Örneğin iki aynı doğru parçasının birleşimi olan bir nesne, tek parçadan oluşmuş bir nesne ile aynı olarak düşünülemez. O halde, bir nesneyi kesmenin onun topolojik özelliklerini değiştirdiğini söylemek mümkündür. Aynı durum nesnenin bazı kısımlarını birbirine yapıştırma işlemi için de geçerlidir. Eğer bir tel parçasının iki ucunu birbirine yapıştırırsak çembere homeomorf olan bir şekil elde ederiz. Bu tel parçasının sınır noktaları dışında bir noktasını çıkarırsak bağlantılılığını bozmuş oluruz. Fakat çemberde, çıkarıldığında bağlantılılığı bozacak bir nokta yoktur. Bu şekilde bir noktanın varlığı topolojik bir özelliktir. O halde çember ve doğru parçası birbirine homeomorf olamaz.
Daha yüksek boyutlarda, cismi delmek ya da var olan deliği kesmek cismin topolojik özelliklerini değiştirir. Yukarıdaki hiçbir nesne birbirine homeomorf değildir. İki cismin homeomorf olduğunu göstermek için gereken dönüşümü yazmak kolay değildir fakat homeomorf olmadıklarını gösterirken birinin sağlayıp diğerinin sağlamadığı bir topolojik özellik bulmak yeterlidir.
Şimdi, geometri ve topoloji karşılaştırmasına geri dönelim. Nesnelerin topolojik sınıflandırmasının, geometrik sınıflandırmaya kıyasla çok daha kaba olduğunu görebiliriz. Öyleyse, neden topolojik bakış açısına ihtiyaç duyarız? Bu sorunun iki yanıtı olabilir. Her ne kadar burada topolojik nesneleri geometrik nesnelere kısıtlamış olsak da, aslında topolojik nesneler sınıfı çok daha geniştir ve içinde, geometrik yöntemlerin uygulanamayacağı birçok nesne barındırır. Ayrıca, sadece geometrik nesneler üzerinde çalışıyor olsak bile geometrik özellikler dışındaki özelliklere odaklanmak farklı bir bakış açısı elde etmemizi sağlayabilir.

Kaynaklar
1.https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics/
2. Joshi, K. D. Introduction to General Topology. New York: John Wiley and Sons Ltd. (1983)