Matematikte bazı gerçekler öylesine bariz ve kolay anlaşılır gibi görünür ki, onları sorgulamak aklımızın ucundan bile geçmez. Ancak konu matematiksel ispata geldiğinde, bu apaçık gerçeklerin ardında, uzun süren mücadeleler, zekice kurgulanmış ispatlar ve bazen de çözülemeyen gizemlerin yattığını fark ederiz. Bunun en bilinen örneklerinden biri “Eğer 
Bu iki meşhur teorem aslında, matematiğin aşikâr sandığımız gerçekleri bile ne denli derinlemesine inceleyip kanıtlamaya çalıştığını gösterir. Bu yazımızda, bu durumun bir diğer çarpıcı örneği olan Jordan Eğri Teoremi’nden bahsedeceğiz.
Jordan Eğri Teoremi, Fransız matematikçi Camille Jordan tarafından 1887 yılında ortaya atılmıştır. Teorem, sürekli (herhangi bir boşluk ya da delik içermeyen), kendini kesmeyen ve kapalı, (yani kısaca basit kapalı) bir eğrinin düzlemi iç ve dış olarak adlandırılan iki ayrı parçaya böldüğünü söyler. Burada, “basit kapalı eğri” yerine “Jordan eğri” ifadesini de kullanabiliriz. Bir Jordan eğri, topolojik olarak bir çembere denktir, yani çemberle aralarında bir homeomorfizma tanımlanabilir.
Kulağa çok açık ve net geliyor değil mi? Sonuçta bir çember çizdiğimizde, çemberin içi ve dışı olmak üzere iki bölge oluşur ve bu bölgeleri tespit etmek gayet kolaydır. Peki ya eğrimiz çember gibi ideal bir eğri değilse? Sonuçta Felix Klein’in de söylediği gibi “Herkes bir eğrinin ne demek olduğunu bilir, ta ki yeterince matematik öğrenip sayısız istisnayı görene kadar.” Klein’i doğrular şekilde, bir Jordan eğrisi çok karmaşık ve hatta hiçbir noktada türevlenemeyen bir eğri dahi olabilir. Örneğin; Şekil 1(a)’daki Knuth-Davis twindragon space-filling fraktal eğrisinin sınırı veya 1(b)’deki 
Ya da, içerisini ve dışarısını ayırt etmek oldukça zor olabilir. Örneğin, Fiona Ross’un tek bir çizgiyle oluşturduğu ve bize içeri-dışarı kavramlarını sorgulattığı labirent benzeri çizimlerinde olduğu gibi.
Hatta her ne kadar günlük hayatta karşılaşmasak da, matematiksel olarak, uzunluğu sonsuz olmasına rağmen pozitif alan kaplayan Jordan eğrileri de tanımlanabilir. Bu eğrilerin en güzel örneği, 1903 yılında William Fogg Osgood tarafından tanımlanan Osgood eğrisidir. Aşağıdaki şekilde bu eğrinin, bir eşkenar üçgenden sonsuz sayıda üçgen dilimi çıkarılarak oluşturulan bir örneğini görebiliriz. (Sonsuz bir eğri olduğundan, çizimin, bu eğrinin kendisi değil, bir yaklaşımı olduğunu unutmayalım!)
Normalde bir çizgiyi/eğriyi düşündüğümüzde, onun genişliğini ihmal eder ve dolayısıyla alanını sıfır olarak kabul ederiz. Osgood eğrisini ilginç kılan, eğrinin çevrelediği alanın değil, eğrinin kendisinin kapladığı alanın pozitif olmasıdır. Fakat burada her ne kadar ‘alan’ kelimesi kullanılmış olsa da, pozitif alan kaplamak ile kast edilen, eğrinin pozitif bir Lebesque ölçüsüne sahip olmasıdır.
Tam bu noktada, konudan biraz sapmayı göze alıp, bu Lebesque ölçüsü meselesine ufak bir açıklık getirelim. Biliyoruz ki, bir çubuğun uzunluğunu ölçerken başlangıç ve bitiş noktalarını belirleriz ve aradaki mesafeyi hesaplarız. Örneğin, [0,1] aralığının uzunluğu 1 birimdir. Fakat bu yöntem bazı durumlarda işe yaramaz. Örneğin, bir noktanın uzunluğu sıfırdır. Bu durumda sayılabilir ya da sayılamaz sonsuzlukta noktadan oluşan bir küme nasıl ölçülür? İşte burada Lebesgue ölçüsü devreye girer. Lebesgue ölçüsü, büyüklük veya uzunluk kavramını genelleştirerek, klasik ölçünün yeterli olmadığı, karmaşık ve hatta bazen patolojik kümelerin ölçümünü daha tutarlı ve kullanışlı bir şekilde ele almanın bir yolunu sunar. Tabii bu genelleştirme yapılırken, herhangi bir kümenin ölçüsünün negatif olmaması, kümeyi belirli bir miktar kaydırdığımızda ölçüsünün değişmemesi gibi, bir ölçümden beklediğimiz bazı sezgisel özelliklerin korunmasına da dikkat edilmiştir.
Lebesgue ölçüsünü, kümeyi aynı özelliğe sahip noktaların oluşturduğu alt kümelere ayırıp, ardından bu alt kümelerin uzunluklarını (veya genel olarak ölçülerini) toplayan bir sistem olarak düşünebiliriz. Örneğin, [0,1] aralığından başlayarak, her aralığın orta üçte birinin yinelemeli olarak çıkarılmasıyla oluşturulan Cantor kümesini ele alalım.
Çıkarılan her bir parçanın uzunluğunu toplayarak oluşturulan sonsuz seriden yararlanarak, Cantor kümesinin Lebesque ölçüsünü bulmak mümkündür.
Ya da, sayılabilir bir küme olan ![[0,1]\cap \mathbb{Q}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B0%2C1%5D%5Ccap+%5Cmathbb%7BQ%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
Yeniden Osgood eğrisine dönecek olursak, pozitif alan meselesini, sonsuz uzunlukta bir ipi sürekli zikzaklar çizerek yerleştirdiğimizde, küçük de olsa bir alan yaratmasını sağlayabilecekmişiz gibi hissetmemize benzetebiliriz. Osgood eğrisini elde ederken tekrarlanan üçgen çıkarma işlemi sonsuza kadar sürdüğünden, eğrinin sınırları giderek daha fazla alanı kaplayacak ve aradaki boşluklar azalacakmış gibi düşünebiliriz.
Gördüğümüz gibi Jordan’ın teoreminin kapsamına giren böyle ilginç eğrilerin olması, işleri oldukça karışık bir hale getirebiliyor. Dolayısıyla, teoremin tamamlanmış ispatlarında kullanılan homoloji veya cebirsel topolojik kavramlar bir yana, modern topolojinin bile tam anlamıyla isminin koyulmadığı yıllarda bunlarla uğraşan Jordan’ın işi aslında bir hayli zor görünüyor. Zaten yapmış olduğu ispatın, her ne kadar sezgisel olarak doğru görünse de, modern anlamda tüm olası Jordan eğrilerini kapsayan eksiksiz bir ispat olmadığı düşünülüyor. (İspat hakkındaki iddiaları merak edenler buradan devam edebilirler.) Çünkü Jordan, her noktasında türevlenebilir olan (düzgün/smooth), fraktal benzeri yapılar oluşturmayan sorunsuz eğrilerle çalışmıştır.
İspatında ise iç-dış ayrımı yapmak için şu yöntemi kullanmıştır: Eğrinin üzerinde olmayan bir nokta aldığımızı düşünelim. Noktamızdan sonsuza doğru bir ışın gönderelim. (Tutarsızlığı önlemek için, ışınları çizerken sabit bir yön belirleyip tüm noktalar için o yönü kullanmayı tercih edebiliriz.) Şimdi, bu ışınımızın, eğriyle kaç kez kesiştiğini sayalım. Işının eğriyi tek sayıda kesmesi noktanın içeride, çift sayıda kesmesi dışarıda olduğunu gösterir. (Çember üzerinde yapacağımız basit bir testle bunu kolayca görebiliriz.) Eğer çizgimiz bir tepe noktasına dokunuyorsa, işler biraz karışır. Eğrinin o tepe noktasına giren iki kenarı da ışınımızın aynı tarafında kalıyorsa, bunu bir kesişme olarak saymayız. Kenarlar farklı tarafta kalıyorsa sayabiliriz. Örneğin aşağıdaki şekilde seçilmiş olan 
Jordan’dan yıllar sonra 1905’te Oswald Veblen, Jordan Eğri Teoremi için daha sağlam bir ispat sunmuştur. Jordan’ın ispatındaki boşlukları fark eden Veblen, eğrinin düzlemi iki ayrı bölgeye ayırdığını göstermek için topolojik yöntemler kullanmıştır. Veblen, düzlemi üçgenselleştirme gibi teknikler kullanarak, eğrinin iç ve dış bölgelerini daha detaylı bir şekilde analiz etmiş, bu bölgelerin bağlantılılık özelliklerini açığa çıkarmıştır. Çalışmasında, teoremin ispatını önce poligonlar üzerinde vermiştir. Sonra, genel Jordan eğrilerine poligonlarla istenildiği kadar iyi bir şekilde yaklaşılabileceğini ve süreklilik kavramı yardımıyla, poligonlarla yaklaşılan eğrilerin özelliklerinin, genel Jordan eğrisinin özelliklerine yakınsadığını göstermiştir. Böylece, poligonlar için ispatlanan teoremin, genel duruma genelleştirilebilmesi mümkün olmuştur. Tüm bu yaklaşımlarıyla Veblen, teoremin ilk kesin kanıtını veren kişi olmuştur fakat yine de ispat tüm Jordan eğrilerini kapsamaz.
Görüldüğü gibi teoremi tam olarak kanıtlamak için matematikçiler uzun bir süre ter dökmüştür. Jordan’ın ilk denemesiyle başlayan bu matematiksel macera, de la Vallée Poussin, Schoenflies, Brouwer, Alexander, Kerékjártó ve Denjoy gibi dönemin önde gelen matematikçilerinin kolları sıvayıp, topoloji, kompleks analiz ve geometri gibi farklı alanları harmanlayarak bu sezgisel ama bir o kadar da girift teoremi kanıtlamaları ile devam etmiştir. Ayrıca, Filippov‘dan Tverberg‘e, Narens‘ten Thomassen‘e kadar birçok matematikçi, standart olmayan analizden (nonstandard analysis) Brouwer sabit nokta teoremine, yapısal (constructive) matematikten çizge teorisine kadar farklı yaklaşımlarla yeni ve daha basit kanıtlar üretmeye devam etmişlerdir.
Jordan Eğri Teoremi, topolojinin temel taşlarından biri olmanın çok ötesinde, modern matematik ve mühendisliğin sayısız uygulamasında sessizce işleyen bir prensiptir. Günlük hayatta karşımıza çıkmasa da, teoremin sağladığı iç-dış ayrımı prensibi, bilgisayar grafikleri, robotik, coğrafi bilgi sistemleri gibi çeşitli alanlarda dolaylı olarak kullanılır. Ancak asıl büyüleyici olan, bu teoremin, matematiğin bizi bazen nasıl şaşırtabileceğine dair çarpıcı bir ayna tutmasıdır. Bizleri, sezgilerimizin bizi yanıltabileceği, en basit görünen soruların bile karmaşık cevaplar içerebileceği ve matematiksel ispatın, bizi kesinliğe ve derin anlayışa ulaştıran yegane araç olduğu gerçeğiyle yüzleştirir. Ve son olarak bize şunu hatırlatır: İnsanlığın, “apaçık” olanın ötesindeki sır perdesini aralama tutkusu, hiç kuşkusuz sonsuza dek devam edecektir.
KAYNAKLAR
1) https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/jordan/index.htm
2) https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/jordan/maehara.pdf
3) https://facultystaff.richmond.edu/~wross/pdf/Jordan.pdf
4) https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.020/sauter/files/Sauter-TwistedJordan.2017.usem20.pdf
5) https://brilliant.org/wiki/cantor-set/
6) https://www.math.unm.edu/~crisp/courses/math402/spring16/CantorSet.pdf
7) https://nebusresearch.wordpress.com/2016/07/07/theorem-thursday-the-jordan-curve-theorem/
8) P. Coggins, Active learning for development of a conceptual understanding of the jordan curve theorem for preservice elementary education majors and non-mathematics majors, 12th annual International Conference of Education, Research and Innovation, 2019.
9) O. Veblen, Theory on Plane Curves in Non-Metrical Analysis Situs. Transactions of the American Mathematical Society, 6(1), 83–98, 1905.
Topolojik bir oluşum! 