Kuratowski Kapanış-Tümleyen | Topolojik bir oluşum!

KURATOWSKI - Encyklopedia w INTERIA.PL — Kazimierz Kuratowski

Kuratowski Kapanış-Tümleyen Teoremi, 1922 yılında Kazimierz Kuratowski tarafından ortaya koyulmuş, sadece topolojik değil cebirsel olarak da nitelendirilebilecek bir teoremdir. Genel Topoloji dersini almaya yeni başlamış olanlar bile oldukça kolay ispatlayabilir yada ispatını anlayabilirler. Hadi o zaman biraz ispat ve beyin jimnastiği yapalım.

Öncelikle işe birkaç gösterimle başlayalım. $(X,\tau)$ bir topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere, $k(A)=\overline{A}$ ( $A$ ‘nın kapanışı) ; $t(A)=X\setminus A$ ( $A$ ‘nın tümleyeni) ; $i(A)=A^\circ$ ( $A$ ‘nın içi olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır:

(t1) $t^2(A)=t(t(A))=A$ .
(t2) $A\subseteq B \Rightarrow t(B)\subseteq t(A)$ .
(k1) $k^2(A)=k(k(A))=k(A)$ .
(k2) $A\subseteq B \Rightarrow k(A)\subseteq k(B)$ .
(i1) $i(A)\subseteq A$ .
(i2) $t(k(t(A)))=t(t(i(A)))=i(A)$ . Ya da daha tanıdık gelecek bir gösterimle, $X\setminus \overline{X\setminus A}=X\setminus (X\setminus A^\circ)= A^\circ )$ . Bunu gösterirken $k(t(A))=t(i(A))$ (yani $\overline{X\setminus A}=X\setminus A^\circ)$ özelliği kullanılabilir.

Şimdi sıra teoremde: Kuratowski’ye göre $A$ kümesine kapanış ve tümleyen operatörlerini uygulayarak en fazla 14 farklı küme elde edebiliriz. Bu operatörleri bir ondan bir öbüründen gibi farklı şekillerde uygulayacağız. Sadece bir tanesini uygulamak ya da hiçbirini uygulamamak gibi seçenekler de bu işleme dahil olacak. Ayrıca $t^2(A)=A$ ve $k^2(A)=k(A)$ olduğuna da dikkat edeceğiz. İşte bütün bu şartlar altında elde edeceğimiz kümeler şu şekildedir:

$A, t(A), k(A), tk(A), kt(A)$ , $tkt(A), ktk(A), tktk(A), ktkt(A)$ , $tktkt(A), ktktk(A)$ , $tktktk(A), ktktkt(A), tktktkt(A)$ .

Buradan sonra uygulayacağımız her operatörde elimizde olan kümelerden biriyle karşılaşırız. Bunu görmek için $ktktktk(A)=ktk(A)$ eşitliğini ispatlamamız yeterli olacaktır. Çünkü yukarıdaki diziyi devam ettirmek istersek, sıradaki elemanlar $ktktktk(A)=ktk(A)$ ile $tktktktk(A)=tktk(A)$ olur ki bunlar daha önce zaten yazılmıştır. Burada hem fikirsek $ktktktk(A)=ktk(A)$ eşitliğinin doğru olduğunu gösterip ispatı sonlandırabiliriz.

$\underline{ktktktk(A)\subseteq ktk(A)}$ : Öncelikle (i2)‘den $tkt=i$ olduğundan $tktktk(A)=tkt(ktk(A))=i(ktk(A))$ ‘dır. Bu nedenle (i1)‘den $tktktk(A)\subseteq ktk(A)$ ‘dir. Burada kapsamanın her iki tarafına $k$ operatörü uygularsak (k2)‘den $ktktktk(A)\subseteq kktk(A)=ktk(A)$ elde ederiz.

$\underline{ktk(A)\subseteq ktktktk(A)}$ : Bu kez, $tktk(A)= tkt(k(A))$ kümesi $k(A)$ ‘nın içi olduğundan $tktk(A)\subseteq k(A)$ elde edilir. Şimdi bu kapsamaya art arda 3 operatör uygulayarak sonuca ulaşacağız. Tabii (t2) ve (k2) özelliklerine dikkat ederek.
$\bullet$ Önce $k$ ile başlayalım: $ktktk(A)\subseteq kk(A)=k(A)$
$\bullet$ Son elde ettiğimize $t$ uygulayarak devam edelim: $tk(A) \subseteq tktktk(A)$
$\bullet$ Şimdi bir $k$ operatörü daha: $ktk(A) \subseteq ktktktk(A)$ .

Her iki kapsamadan istenilen eşitliğe ulaşmak mümkündür. Teoremin geri kalanı, bu operatörleri uygulayarak maksimum sayıda, yani 14 tane küme elde edebileceğimiz bir uzayın var olduğunu söylüyor. İşte örnek:

$X=\mathbb{R}$ ve $A=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap \mathbb{Q})$ olsun. Bu durumda elde edeceğimiz kümeler şunlardır:

1) $A=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap \mathbb{Q})$
2) $k(A)=[0,2]\cup \{3\}\cup [4,5]$
3) $t(A)=(-\infty,0]\cup \{1\}\cup [2,3)\cup (3,4)\cup ([4,5]\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}))\cup (5,\infty)$
4) $kt(A)=(-\infty,0] \cup \{1\} \cup [2,\infty)$
5) $tk(A)= (-\infty,0) \cup (2,3)\cup (3,4)\cup (5,\infty)$
6) $ktk(A)= (-\infty,0] \cup [2,4]\cup [5,\infty)$
7) $tkt(A)= (0,1)\cup (1,2)$
8) $ktkt(A)=[0,2]$
9) $tktk(A)=(0,2)\cup (4,5)$
10) $ktktk(A)=[0,2]\cup [4,5]$
11) $tktkt(A)= (-\infty,0) \cup (2,\infty)$
12) $ktktkt(A)= (-\infty,0]\cup [2,\infty)$
13) $tktktk(A)= (-\infty,0)\cup (2,4)\cup (5,\infty)$
14) $tktktkt(A)=(0,2)$

Peki bu teoremin cebirsel olarak nitelendirilmesinin sebebi nedir? $G=\{g_i : i\in I\}$ , bir $S$ kümesi üzerindeki operatörlerin kümesi olmak üzere, $G$ ‘nin elemanlarının bileşkesini alarak yeni operatörler elde edebiliriz. Bileşke işlemi birleşme özelliğini sağladığından, birbirinden farklı operatörlerin kümesi bileşke işlemi ile bir monoid olur. Herhangi bir $(X,\tau)$ topolojik uzayı üzerindeki tümleyen ve kapanış operatörleri ile üretilen monoid, $X$ uzayının Kuratowski monoidi olarak adlandırılır. İşte bu Kuratowski monoidleri yardımıyla topolojik uzayları sınıflandırmak mümkündür. İlgilenenler ve daha fazlasını isteyenler buyursunlar.