“Çalışmalarıma yeniden başlayacak olsaydım, Platon’un tavsiyesine uyar ve matematikle başlardım.” demiş Galileo Galilei. Her türlü zorluğuna rağmen matematik, bir kere dilinden anlamaya başladığınızda sizlere sonsuz bir öğrenme deneyimi sunuyor. Hem hayatın (uygulamalı matematik) hem de hayalin (pür matematik) bu kadar içinde olması, onu bir türlü anlamadığını ve hatta sevmediğini düşünenleri bile ağına düşürebiliyor.

İşte bir topoloji bloğu oluşturma fikriyle yola çıkıp, çoğu zaman oldukça farklı şeylerden bahsediyor olmam bile, pür matematik çalışan biri olarak, “gündelik hayat matematiğinin” cazibesine kapılıyor olmamdan ileri geliyor. Bu konuda aynı hisleri paylaştığım ve çalışmalarına halen Wellesley College, matematik bölümünde devam etmekte olan Oscar E. Fernandez, gündelik hayatımızın içine sinmiş olan matematiği anlattığı iki mükemmel kitap yazmış: “Everyday Calculus (Gündelik Kalkülüs)” ve “The Calculus of Happiness: How a Mathematical Approach to Life Adds Up to Health, Wealth, and Love? (Mutluluğun Hesabı: Hayata Matematiksel Bir Yaklaşım Nasıl Sağlık, Zenginlik ve Aşk Getirir?)

Bizler de şimdi bir süreliğine “Dünyaya matematik merceğinden bakıyorum ve hemen her şeyin ardındaki gizli matematiği fark etmekten kendimi alamıyorum” diyen Fernandez’in gözünden bakacağız dünyaya. Herhangi bir kişiyle, bir konuda ortak bir karar almaya çalıştığınızı düşünün. Diyelim ki aile bütçenize 500 lira kadar, beklenmedik bir para girişi oluyor. (Miktarın paylaşmaya bile değmeyeceği gerçeğini bir kenara bırakalım lütfen.) Siz tutumlu/eli sıkı biri olarak bunu birikiminize katmak istiyorken, eşiniz bir kerede yiyip bitirmeyi tercih ediyor. En güzeli parayı paylaşıp gönlünüzce kullanmak, peki ama nasıl? İlk akla gelen yarıya bölmek olur, ki bu durumun iki tarafı da memnun edeceğinin bir garantisi yok. Peki ikinizin de maksimum faydası ve memnuniyeti ile sonuçlanacak bir yöntem bulmak mümkün müdür?

Ortada böyle bir problem olur da, matematikçiler buna duyarsız kalabilir mi? Goethe, “Dünya hassas kalpler için cehennemdir” derken, benzer bir durumun hassas zihinler için de geçerli olduğunu nasıl göz ardı edebilmiş acaba? İşte bu probleme oldukça adil bir çözüm getiren “hassas zihin”, 1950 yılında, daha 22 yaşında yayınladığı “The Bargaining Problem (Pazarlık Problemi)” isimli makalesiyle “Beautiful Mind” John Nash olmuştur.

Nash, makalesinde “iki bireyin birden fazla şekilde karşılıklı fayda için işbirliği yapma fırsatına sahip olduğu” durumları incelemekte ve “iki bireyin son derece rasyonel olduğunu, her birinin çeşitli şeylere yönelik isteklerini doğru bir şekilde karşılaştırabildiklerini, eşit derecede pazarlık becerisine sahip olduklarını ve her birinin diğerinin zevkleri ve tercihleri hakkında tam bilgiye sahip olduğunu” varsaymaktadır. Şimdi, Nash’in yaklaşımı kullanılarak, herhangi bir konuda ortak karara nasıl varılabileceğini gösteren bir denklemin nasıl elde edilebileceğini adım adım gösterelim.

1) Bilmemiz gereken ilk şey fayda fonksiyonları (utility functions) olacak. Fayda fonksiyonu, karşımıza çıkabilecek tüm durumlardan gerçel sayılara bir eşleme olarak düşünülebilir ve bir oyuncunun, bir dizi mevcut alternatif arasındaki tercih derecesini ölçer. Örneğin ekonomide, ortada farklı senaryoların olduğu ya da bazı olayların gerçekleşme olasılığının olduğu durumlarda insan davranışını açıklamak için fayda fonksiyonları kullanılır. Diyelim ki biraz hava almak için dışarı çıkmak istiyorsunuz. Bundan elde edeceğiniz fayda, havanın durumuna bağlıdır. Yağmur altında mı yürüyeceksiniz, yoksa kavurucu sıcakta mı? Ama aynı zamanda, elde edilecek fayda, bu durumların gerçekleşme olasılığına da bağlı olabilir. Yani, yağmurun yağacak ya da yağmayacak olmasına bakılmaksızın, yağacağını düşünmeniz bile işleri değiştirir. Bu fonksiyonun çıktısı, söz konusu durumlardaki mutluluk seviyenizin ölçüsü olarak yorumlanabilir.
Elimizdeki mevcut senaryoda, 500 liranın lirasını almanız durumundaki fayda fonksiyonunu fonksiyonu ile gösterelim. Diğer taraftan, eşinizin fayda fonksiyonu, (yani paranın lirasını alması durumunda sağlayacağı faydayı gösteren fonksiyon) olsun. Şimdi de aşağıdaki varsayımları yapalım:

(i) Mutluluğu 0 ile 10 arasında ölçeklendirelim. Tahmin edeceğiniz gibi, 0 en mutsuz, 10 ise en mutlu olma durumunu göstersin.
(ii) Paranın size düşen payı arttıkça, eşinizden daha fazla mutlu oluyorsunuz.
(iii) Hiç para almayanın mutluluk seviyesi 0 oluyor.
(iv) Paranın tamamını siz alırsanız mutluluk seviyeniz 10 olurken; paranın hepsini aldığında eşinizin mutluluk seviyesi maksimum 8 oluyor.
Bu koşulları sağlayan birçok fonksiyon bulunabilir. Fakat biz kolaylık açısından aşağıdaki doğrusal fonksiyonlarla çalışalım:
ve
(Bu fonksiyonları doğru orantı yoluyla elde ediyoruz. Örneğin fonksiyonunu bulurken, “500 lira aldığınızda mutluluk seviyeniz 10 ise, lira aldığınızda kaç olur” sorusunu cevaplıyoruz aslında.)

2) Bu aşamada x ve z üzerindeki doğal kısıtlamaları yazalım:
(i) , (ii) , (iii)
(Yani, aldığınız payların toplamı 500 lira olacak ve her biriniz minimum 0 lira alacaksınız.)

3) Şimdi de, herhangi bir anlaşmaya varılamaması durumunda nasıl hissedeceğinizi ölçeklendirelim. Böyle olumsuz bir senaryoda, sizin mutluluk seviyenizin 3, eşinizin mutluluk seviyesinin ise 4 olduğunu varsayalım.

4) Bu aşamada Nash çarpımı (Nash product) tanımına ihtiyacımız olacak. ve sırasıyla, 1. ve 2. oyuncunun fayda fonksiyonlarını; ve ise, sırasıyla, 1. ve 2. oyuncunun diğer oyuncuyla pazarlık yapmamaya karar vermesi durumunda elde ettiği faydayı göstermek üzere, çarpımına Nash çarpımı denir. İşte ideal paylaşım nasıl olmalıdır sorusunun cevabı, bu çarpımı maksimum yapan noktasıdır.
Bizim problemimizde Nash çarpımı olacaktır. Kalkülüs derslerinden, bir fonksiyonun mutlak maksimum bulma problemini hatırlayalım. Bunun için önce, elimizdeki kısıtlamalardan yararlanarak, fonksiyonumuzun tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazalım. olduğundan, olur. Şimdi de fonksiyonunun türevini alıp, kritik noktalarını (varsa) bulalım. ise olacaktır.
Demek ki, noktası, fonksiyonunu maksimum değerine ulaştırır, ve bu nedenle işi tatlıya bağlayan paylaşım, siz 200 lira alırken, eşinizin 300 lira almasıdır. Bu çözümün size getireceği fayda , eşinize getireceği fayda ise ‘dir. Kulağa güzel gelmiyor belki ama Nash’in çözümü adildir ve herhangi bir kişinin faydasını maksimize etmeye çalışmaz.

Şimdi yukarıdaki tüm varsayımların ötesinde, genel bir formül elde etmeye çalışalım. Karşınızdaki kişiyle, miktarı olan bir şeyi nasıl bölüşeceğinize karar vermeniz gerektiğini varsayalım. Bu “şey” illaki para vs. olmak zorunda değil. “Hafta sonunu evde mi geçirsek yoksa dışarıda mı” gibi bir ikilemi bile, ‘yi toplam zaman alarak çözebilirsiniz. Şimdi sizin, ise karşınızdakinin mutluluk düzeyini göstersin, ve bunların yukarıdaki gibi, 0 ile 10 arasında ölçeklendirilmiş olduğunu düşünelim. Son olarak, ve , sırasıyla, sizin ve karşınızdaki kişinin, anlaşmaya varılamaması durumundaki mutluluk seviyeleriniz olsun. Bu durumda en ideal anlaşma; sizin payınızın

,

karşınızdaki kişinin payının ise;

,

olmasıdır. Bu fonksiyonlar elde edilirken, yukarıdaki örnekteki yolları izlemek yeterlidir. Tabii ki 500 yerine , 3 yerine , 4 yerine ise yazarak. (Merak edenler, 1 numaralı kaynağın Appendix 6 kısmından yararlanabilirler.)
Son olarak bu denklemlerin bazı özel durumlarını inceleyerek, nasıl sonuçlar ürettiğini birlikte görelim.

(i) Eğer her iki kişi de anlaşmazlık durumundan hiç memnun değilse, yani oluyorsa, ideal çözüm, yarı yarıya paylaşmak olacaktır. Mantıklı değil mi? İkiniz de tartışmadan kaçan, uzlaşmacı kişilerseniz ‘yi eşit paylaşmak oldukça iyi bir seçenek olacaktır.

(ii) Şimdi de ve sıfırdan farklı oldukları durumu ele alalım. Bu durumda, , yani karşınızdakinin maksimum mutluluğu sizinkinden daha büyükse, onun payı sizinkinden daha küçük olacaktır. Demek ki Nash’in çözümü durumu bir şekilde dengeye ulaştırmaya çalışıyor.

(iii) Son olarak, durumunu inceleyelim. Eğer ise, yani anlaşmazlık durumu karşınızdakini daha çok mutsuz ediyorsa, sizin payınız daha büyük olacaktır. Bu durumda sistem sizi bir nevi ödüllendiriyor gibi düşünebilirsiniz.

İnsan ilişkilerini bir dinamik sistem olarak ele alıp, sistemi daha mutlu bir dengeye ulaştırmak için matematiği kullanmak, bizleri daha mutlu ilişkilere götüren bir yol olabilir mi? Ne olursa olsun, denemeye değer.

KAYNAKLAR
1) O. Fernandez, The Calculus of Happiness: How a Mathematical Approach to Life Adds Up to Health, Wealth, and Love, Princeton University Press, 2017.
2) A. Muthoo, Bargaining theory with applications, Cambridge University Press, 1999.