Düzgün Süreklilik Geometrik Anlamı

Süreklilik ve düzgün süreklilik, tanım olarak birbirine oldukça yakın görünen iki kavram. Peki bunları birbirinden farklı kılan o ince ayrıntı nedir. İleri analiz dersi almış olanlar tanımları arasındaki farkı mutlaka biliyorlardır. İşte şimdi bu tanımların geometrik olarak ne anlattığına bir bakalım.

Bunun için ilk olarak önce sürekliliği anlamak/hatırlamak gerekiyor. İnternette üstünkörü bir araştırma yaptığınızda, “bir fonksiyonun sürekli olması, onun grafiğini kaleminizi hiç kaldırmadan çizebilmenizdir” gibi açıklamalarla karşılaşırsınız. Bu tam olarak da doğru sayılmaz aslında. Tamam, bu şekilde çizilebilen her fonksiyon sürekli olabilir fakat her sürekli fonksiyon ille de bu özelliği sağlayacak diyemeyiz. Örneğin,

$f(x)= \begin{cases} x sin {\frac{1}{x}} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \\ \end{cases}$

parçalı fonksiyonunu elimizi kaldırmadan çizmemiz mümkün olmayacaktır. Hatta, orijinde sonsuz kez salınım yaptığından, teknik olarak, grafiği elle çizmemiz dahi mümkün olmayacaktır. Fakat bu fonksiyon reel sayılar üzerinde süreklidir.

Şimdi reel sayılar üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonun bir $x_0$ noktasında sürekliliğini şöyle bir oyunla anlamaya çalışalım. Karşınızdaki kişi size herhangi bir $\epsilon>0$ versin. y-ekseni üzerinde $(f(x_0)-\epsilon, f(x_0)+\epsilon)$ aralığını işaretleyelim. Soru şu: Acaba $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ aralığındaki tüm noktaların görüntüleri $(f(x_0)-\epsilon, f(x_0)+\epsilon)$ aralığının içinde kalacak şekilde en az bir $\delta>0$ sayısı bulabilir misiniz? İşte size verilen her $\epsilon$ için bunu başarabilirseniz, fonksiyonunuz o noktada sürekli olur, yani kazanan siz olursunuz.

Yukarıdaki $f$ fonksiyonunda her $\epsilon>0$ için başarı sağlamak mümkün. Fakat $g$ fonksiyonu umutsuz vaka. Şekildeki gibi seçilen $\epsilon$ sayısına karşılık, koşula uyan bir $\delta$ maalesef bulunamaz. Çünkü ne seçersek seçelim, $x_0$ ‘ın solundaki noktaların görüntüsü bu aralığın dışına düşer.

Matematiksel olarak ifade edecek olursak,

$\forall \epsilon>0$ , $\exists \delta>0$ ; $(x_0-\delta<x< x_0+\delta)\Rightarrow (f(x_0)-\epsilon<f(x)< f(x_0)+\epsilon)$

ya da ilk eşitsizliğin her tarafından $x_0$ , ikincisinden ise $f(x_0)$ çıkarırsak,

$\forall \epsilon>0$ , $\exists \delta>0$ ; $(-\delta<x-x_o< \delta) \Rightarrow (-\epsilon<f(x)-f(x_0)< \epsilon)$ .

Buradan da mutlak değere geçersek,

$\forall \epsilon>0$ , $\exists \delta>0$ ; $\mid x-x_0 \mid < \delta \Rightarrow \mid f(x)-f(x_0)\mid <\epsilon$ .

(Şunu da eklemekte fayda var; burada mutlak değer yerine metrik fonksiyonu ya da komşuluklar kullandığımızda metrik ve topolojik uzaylarda süreklilik tanımını elde edebiliriz.)

Görüldüğü gibi süreklilik oldukça lokal, yani noktasal bazda bir kavram. Diyelim ki fonksiyonunuz tanım kümesindeki her noktada sürekli. Demek ki her $x_0$ noktasında, her $\epsilon>0$ sayısına karşılık en az bir $\delta$ bulma oyununu kazanmışsınız. Fakat muhtemelen her nokta için farklı bir $\delta$ sayısı bulmuşsunuzdur. Yani bulduğunuz $\delta$ , hem $\epsilon$ ‘a hem de $x_0$ noktasına bağlıdır. İşte her nokta için ayrı bir $\delta$ bulmak yerine her bir nokta için iş görebilecek ortak bir $\delta$ bulunabiliyorsa bunun ismi düzgün süreklilik olur. Burada oyunu kazanmak biraz daha zorlaşıyor çünkü her kapıyı açacak bir anahtar bulmaya çalışıyorsunuz. Bunun doğal bir sonucu her düzgün sürekli fonksiyonun sürekli olması fakat tersinin her zaman doğru olmamasıdır.

Sürekli fonksiyonların grafiklerinden farklı olarak, düzgün sürekli fonksiyonların grafiklerinde ani bir artış ya da azalma olmaz. Yani grafiğin yalnızca sürekli bir fonksiyon görüntüsüne sahip olması yetmez, ayrıca çok dik de olmamalıdır.

Yukarıdaki şekilde görülen $f(x)=\frac{1}{x}$ fonksiyonunun grafiğine bakalım. Bu fonksiyon $(0,\infty)$ aralığında sürekli olmasına rağmen düzgün sürekli değildir. Öncelikle grafiğin ne kadar dik olduğuna dikkat edelim. Şekildeki gibi seçilen bir $\epsilon$ için bulunan $\delta$ sayıları sola doğru gidildikçe küçüldüğünden, seçilebilecek ortak $\delta$ sayısını sürekli daha da küçültmemiz gerekir. Bu işlem sonsuza kadar süreceği için ortak bir $\delta$ bulmak mümkün olmaz. Sezgisel olarak da oldukça ani azalış gösteren böyle bir fonksiyonun düzgün sürekli olması beklenmezdi.

Diğer taraftan yine aynı fonksiyon $[1,\infty)$ aralığında düzgün süreklidir. Aralığın en sol ucundaki $\epsilon$ ‘a karşılık gelen $\delta$ , tüm aralıkta iş görecektir.

Bir tanımı, problemi mümkün olduğunca görselleştirmek bizi ezberin gereksiz yükünden ve anlaşılmazlığından kurtarır. Yukarıda anlatılanlar düzgün süreklilik ile ilgili teoremleri ve kuralları da daha kolay yorumlamamıza yardımcı olacaktır.

KAYNAKLAR
1) https://math.fel.cvut.cz/mt/txtb/3/txe3ba3g.htm

Topolojik bir oluşum!

Tag Archives: Düzgün Süreklilik Geometrik Anlamı

Süreklilik vs Düzgün Süreklilik