Boş ailenin kesişimi | Topolojik bir oluşum!

Kümeler Teorisinin iki meşhur operatörü birleşim ve kesişim, kullanması ve anlaması gayet kolay işlemlerdir. Elimizde sonsuz sayıda küme bile olsa bu operatörleri nasıl uygulamamız gerektiğini biliriz. Hatırlayalım:

$X$ herhangi bir küme, $I$ bir indeks kümesi ve $A_i\subseteq X (i\in I)$ olmak üzere, $\bigcup_{i\in I} A_i$ kümesi $X$ ‘in, en az bir $A_i$ ‘nin içinde olan tüm elemanlarının kümesidir. Diğer taraftan $\bigcap_{i\in I} A_i$ kümesi, $X$ ‘in, her bir $A_i$ ‘nin içinde ortak olarak bulunan tüm elemanlarını içerir. Daha formal bir şekilde ifade etmek gerekirse;

$\bigcup_{i\in I} A_i=\{x\in X: \exists i, (i\in I) \wedge (x\in A_i)\}$

$\bigcap_{i\in I} A_i=\{x\in X: \forall i, (i\in I) \Rightarrow (x\in A_i)\}$ .

İşte her şeye hakim olduğumuzu düşünürken ve hatta birleşim ve kesişim benden sorulur kafasına bile gelebilmişken karşımıza şöyle bir problem çıkıyor.

Yukarıdaki tanımda indeks kümesi boş küme olursa ne olur? Yani $\bigcup_{i\in \emptyset} A_i$ ve $\bigcap_{i\in \emptyset} A_i$ nedir? Tabii ki aklımıza ilk gelen her ikisinin de boş küme olması gerektiğidir. Yani indeks kümesi boş olduğundan, elimizde aslında hiç küme yok ve biz olmayan kümelerin birleşim ve kesişiminden söz ediyoruz. Fakat ne yazık ki sezgilerimiz bizi yanıltıyor. Her ne kadar tuhaf görünse de doğru cevap şöyle:

$\bigcup_{i\in \emptyset} A_i=\emptyset$ ve $\bigcap_{i\in \emptyset} A_i=X$ .

Lisans eğitimimde hiç unutmadığım anlardan biri de 3. sınıfta, topoloji dersinde hocanın tahtaya bunları yazdığı andır. Bölümdeki ilk senemde her ne kadar reddetmiş olsa da, zamanla “ $\epsilon$ şu olsun, $\delta$ bu olsun” gibi kabullere alışmış olan beynim o an muhtemelen “her ne kadar mantık dışı görünse de lütfen bunlar da birer kabul olsun ve ben de inanayım” demiş olmalı. Fakat aslında bunlar yukarıda verdiğimiz tanımların doğal birer sonucudur.

Önce birleşimle başlayalım. $I=\emptyset$ olmak üzere, birleşim tanımını uygularsak

$\bigcup_{i\in \emptyset} A_i = \{x\in X: \exists i, (i\in \emptyset) \wedge (x\in A_i)\}$

elde ederiz. Burada $(i\in \emptyset)$ önermesi yanlış olduğundan $(i\in \emptyset) \wedge (x\in A_i)$ her zaman yanlıştır. Aslında sağdaki önermenin hiçbir önemi yok, bir tanesinin bile yanlış olması, $\wedge$ bağlacının özelliği gereği ifadeyi yanlış kılar.) Yani burada istenilen koşulu sağlayan hiç bir $x\in X$ elemanı yoktur ve bu nedenle birleşim boş kümedir.

Şimdi de kesişim tanımına bakalım.

$\bigcap_{i\in I} A_i= \{x\in X: \forall i, (i\in \emptyset) \Rightarrow (x\in A_i)\}$

Burada yine $(i\in \emptyset)$ önermesi yanlış olduğundan $\Rightarrow$ bağlacının özelliği gereği, $(i\in \emptyset) \Rightarrow (x\in A_i)$ her zaman doğrudur. Demek ki burada $X$ kümesinin her elemanı istenilen koşulu sağlıyor. O halde kesişim kümenin kendisine eşit olmalıdır.