Patolojik Nesneler III – Conway’in Base-13 Fonksiyonu

Posted on 3 Aralık 2021 by esrakorkmaz

Son patolojik nesnemiz, grup teoriden düğüm teorisine, oyun teoriden kodlama teorisine pek çok farklı alanda çalışmalar yapmış ve maalesef geçen sene Covid19 sebebiyle kaybettiğimiz efsane matematikçi John Horton Conway’den geliyor. Konuya girmeden önce, Conway’in Hayat Oyunu‘ndan (Game of Life) mutlaka bahsetmek gerekir. Çünkü daha önemli başarılara imza atmış olsa da, Conway birçok kişi tarafından Hayat Oyunu’nu bulan kişi olarak bilinir. O zaman, kendisi de bir hücresel otomat olan Hayat Oyunu’nu anlatmaya başlamadan önce, hücresel otomat nedir sorusuna cevap arayalım.

Düzlemde bir ızgara (grid) alalım ve bunun üzerindeki her bir hücrenin 0-1 ya da açık-kapalı gibi bir durumu olduğunu veya iki farklı renkten birine sahip olduğunu düşünelim. Yani örneğin;

ya da,

Ayrıca her hücrenin komşuları olduğunu varsayalım. Bu komşular farklı şekillerde tanımlanabilir fakat biz en genel haliyle, hücreye bitişik olan hücreleri onun komşuları olarak ele alabiliriz.

Şimdi elimizde bir başlangıç durumu olsun ve belli bir kural altında hücrelerin durumlarını değiştirerek yeni bir nesil (generation) elde edelim.

Örneğin yukarıdaki şekilde en soldaki resim başlangıç durumumuz olsun. Bir hücrenin komşularından en az dördü zıt renkteyse, o hücrenin renk değiştirdiğini kabul edelim. İşte bu kural altında sırasıyla yukarıdaki 2 yeni nesil elde edilir.

Yukarıda anlatılan bu sistemler hücresel otomatlar olarak adlandırılır. Hücresel otomat kavramı 1940’lı yıllarda Los Alamos Ulusal Laboratuvarı‘nda araştırmacı olan Stanisław Ulam ve John von Neumann tarafından ortaya koyulmuştur. Ulam’ın amacı kristallerin büyümesini modellemek iken Neumann’ın hayali kendini kopyalayan robotlardan oluşan bir dünyadır. Robotların bu işle alakası şu şekilde aslında. Izgara üzerinde bir desen belirleyin ve bu sizin tasarladığınız robot olsun. Bu desenin kendi kopyalarını oluşturmasına izin verecek kurallar dizisiyle robotumuzun bir kopyasını elde etmiş oluruz. İşte elde edilen bu yapı bir hücresel otomattır ve bir açıdan, biyolojik üremeyi ve hatta evrimi modelleyen bir süreçtir.

İşte Neumann’ın kendi benzerlerini üreten hücresel otomat fikri, bu yazının kahramanı olan Conway’in Hayat Oyunu isimli meşhur hücresel otomatının temeli olarak kabul edilebilir.

Hayat oyunu her hücrenin 8 adet komşuluğa sahip olduğu sonsuz bir ızgara (grid) üzerinde oynanır. Izgara üzerinde canlı ve ölü hücreler olduğunu düşünüp, bir sonraki nesilde hangi hücrelerin ölüp hangilerinin yaşamaya devam edeceğini belirleyen kurallara bir bakalım:

1) İkiden az canlı komşusu olan canlı bir hücre (yalnızlıktan) ölür. Örneğin aşağıdaki afallamış yeşil hücre, yalnızca 1 canlı komşusu olduğundan, bir sonraki nesilde ölecek.

Yeşil: canlı hücreler ; Beyaz: ölü hücreler

2) 2 ya da 3 canlı komşuya sahip olan canlı bir hücre, canlı kalmaya devam eder. Aşağıdaki şanslı velet gibi.

3) 3’ten fazla canlı komşusu olan canlı bir hücre (kalabalıktan) ölür. 4 canlı hücreye sahip olan aşağıdaki hücrenin ve belki de yakın bir gelecekte insanoğlunun başına geleceği gibi.

4) Tam olarak 3 komşusu olan ölü bir hücre, sonraki nesilde hayata döner. Yaşam sevinci ile dolu olan aşağıdaki ölü hücre gibi.

Oyun basit görünebilir ama altında yatan anlam çok derin. Çünkü yaşamın bilinçsiz basit hücrelerden, nasıl olup da bu kadar karmaşık hale geldiğinin bir göstergesi aslında.

Şimdi biraz da çoğu kişinin Hayat Oyunu ile tanıdığı ve 1960’lı yılların sonlarında tanımlamış olduğu Conway grupları ile yıldızı parlamaya başlayan John Horton Conway’in bu yazımıza konu olan ilginç fonksiyonundan bahsedelim.

İşe, bu fonksiyonun hangi duruma bir karşıt örnek olduğunu açıklayarak başlayalım. Bunun için önce, Analiz derslerinden aşina olduğumuz Ara Değer Teoremini hatırlayalım:

$f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda $f(a)<y<f(b)$ olacak şekilde her $y\in \mathbb{R}$ için $f(x)=y$ olacak şekilde bir $x\in (a,b)$ vardır. (İşimizi kolaylaştırmak adına, bu son kısmı ara değer özelliği olarak adlandıralım. Dolayısıyla teorem ” $[a,b]$ aralığı üzerinde tanımlı reel değerli her fonksiyon ara değer özelliğini sağlar” biçiminde olacaktır.)

Bu teoremin tersinin doğru olmadığı, yani ara değer özelliğini sağlayan ve kapalı sınırlı bir aralık üzerinde tanımlı olan reel değerli her fonksiyonun sürekli olması gerekmediğini biliyoruz. Örneğin;

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon $\mathbb{R}$ üzerinde süreklidir. Bu nedenle Darboux Teoremi’nden $f^\prime$ türevi $\mathbb{R}$ ‘de ara değer özelliğini sağlar. Fakat $f^\prime$ fonksiyonu $x=0$ noktasında sürekli değildir.

Aslında oldukça güzel bir örnek ama yine de biraz zayıf. Yani her yerde ara değer özelliğini sağlayan fakat yalnızca sonlu sayıda değil, hiçbir noktada sürekli olmayan bir fonksiyona sahip olsaydık, işte o zaman sezgilerimizi tamamen bir kenara bırakmak zorunda kalırdık. O halde şimdi bu özelliklere sahip olan ve Conway’in 13 tabanını kullanarak tanımlamış olduğu fonksiyona bir bakalım.

Bir sayıyı n tabanında yazmak için 0’dan n-1’e kadar olan rakamların kullanıldığını biliyoruz. Dolayısıyla, 13’lük sayma sisteminde kullanacağımız temel semboller, yani rakamlar, $0,1,\ldots 10,11,12$ olacaktır. Şimdi 13 tabanında yazılmış 1056 sayısını ele alalım. Dikkat edersek burada şöyle bir karmaşa oluyor. Bu sayı 10-5-6 rakamlarından mı yoksa 1-0-5-6 rakamlarından mı oluşuyor? İşte bu karışıklıktan kurtulmak için, 10, 11 ve 12 rakamlarını, sırasıyla A, B ve C harfleriyle gösterelim. Conway orijinal çalışmasında A, B ve C yerine sırasıyla +,- ve . sembollerini kullanmış ve bunları 10’luk tabandaki versiyonlarından ayırmak için altlarını çizmiştir. (Yani örneğin + değil de + gibi.)

Artık $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonunu tanımlamaya hazırız. Bunun için bir $x\in \mathbb{R}$ alalım ve $x$ ‘in 13 tabanında ondalık gösterimini yapalım. Burada ufak bir ayrıntı: Yazdığımız sayının sonsuz sayıda C ile bitmesine izin yok. Bu durumu 10’luk sistemde 0.99999… sayısına izin vermemek, bunun yerine 1’i kullanmak gibi düşünebiliriz. Şimdi $x_i, y_i\in \{0,1,\ldots 9\}$ olmak üzere, $x$ ‘in 13 tabanındaki gösterimi bir noktadan sonra $A x_1 x_2\ldots x_n C y_1 y_2\ldots$ formunda oluyorsa $f(x)=x_1 x_2\ldots x_n .y_1 y_2\ldots$ ; $B x_1 x_2\ldots x_n C y_1 y_2\ldots$ formunda oluyorsa $f(x)=-x_1 x_2\ldots x_n .y_1 y_2\ldots$ ; bu iki durumdan hiçbiri sağlanmıyorsa $f(x)=0$ olarak tanımlayalım. Burada $f$ fonksiyonunun çıktılarının 10 tabanında yazılmış sayılar olduklarını da eklemek gerekiyor. Bu fonksiyonu daha iyi anlayabilmek bazı noktaların $f$ altındaki görüntüsüne bakalım.

a) $x$ ‘in 13 tabanındaki gösterimi 14584A146C4546 olsun. Bu gösterim bir yerden sonra A146C4546 serisini içeriyor. O halde burada $f(x)=146.4546$ olur.

b) $x$ ‘in 13 tabanındaki gösterimi B4146C4ise $f(x)=-4146.4$ olur.

c) $x$ ‘in 13 tabanındaki gösterimi 1C234A566 ise $f(x)=0$ olur.

Conway’in 13 tabanında A, B ve C yerine +,- ve . kullandığından bahsetmiştik. Dikkat edersek fonksiyonu tanımlarken biz de bu sembollerin 10’luk sistemdeki versiyonlarını kullanıyoruz.

Yukarıda tanımlanan $f$ fonksiyonu her yerde ara değer özelliğini sağlayan bir fonksiyondur. Bunu göstermek için bir $r\in \mathbb{R}$ alalım ve $f(c)=r$ olacak şekilde bir $c\in (a,b)$ bulmaya çalışalım. İlk olarak $r$ ‘nin 10’luk tabandaki gösteriminde ondalık sayı noktasının olduğu yere C koyalım. Örneğin $r=-3.245$ ise bunu $3C245$ ‘e dönüştürelim. Daha sonra bu sayının başına $r>0$ ise A ; $r<0$ ise B koyalım. Bu durumda r=-3.245’in son hali $\hat{r}=B3C245$ olacaktır. Burada $f(\hat{r})=r$ olduğunu kolayca görebiliriz. Şimdi $\hat{c}\in (a,b)$ herhangi bir sayı olmak üzere, $\hat{c}$ ‘nın sonuna $\hat{r}$ eklemekle oluşan $c$ sayısı hem $(a,b)$ aralığındadır hem de $f(c)=r$ özelliğini sağlar.

Diğer taraftan $f$ fonksiyonu hiçbir noktada sürekli değildir. Bir fonksiyonun bir $x$ noktasında sürekli olması, kabaca, $x$ ‘in civarındaki noktaların görüntülerinin de $f(x)$ ‘in civarında olması anlamına gelir. Eğer $f$ fonksiyonu $x$ noktasında sürekli ise, bu noktada yerel sınırlı olmalı, yani $x$ ‘in civarındaki bir aralıkta sınırlı olmalıdır. (Burada sınırlılık $|f(x)|\leq M$ olacak şekilde bir $M>0$ sayısının olması anlamına gelir.) Fakat fonksiyonumuz her $I$ açık aralığı için $f(I)=\mathbb{R}$ özelliğine sahiptir ve bu nedenle her $x$ noktası için, bu noktanın civarındaki tüm aralıklarda sınırsızdır.

Yine ufak bir örnek: 13 tabanındaki gösterimi $320A3B20C12$ olan $x$ reel sayısını ele alalım. Burada $f(x)= -20.12$ olacaktır. Bu sayıya oldukça yakın olan fakat görüntüsü $f(x)$ ‘in yakınından bile geçmeyecek olan bir $y$ sayısı elde etmek mümkündür. 13 tabanında böyle bir $y$ sayısı elde etmek için şu adımları izleyelim:

(i) $x$ ‘e yakın bir sayı elde edebilmek için önce $x$ ‘in yanına birkaç tane 0 ekleyelim: $320A3B20C120000$
(ii) Yukarıda elde edilen sayının yanına, $f(y)$ hesaplanırken bu kısmı tamamen geçersiz kılacak birkaç rakam/sembol koyalım: $320A3B20C120000AA$
(iii) (ii)’de elde edilenin sonuna $f(y)$ değeri $f(x)$ ‘in civarında olmayacak şekilde bir sayı dizisi getirelim: $320A3B20C120000AA3000C7$ . İşte bu sayı $y$ ‘nin 13 tabanındaki gösterimi olmak üzere, $f(y)=3000.7$ olacaktır.
Bu hileyi her nokta için yapmak mümkün olduğundan, $f$ ‘nin hiçbir noktada sürekli olmadığını söyleyebiliriz.

Söz konusu matematik olduğunda, patolojik nesneleri anlatmakla bitiremeyiz. Çünkü aslında varlıklarına alıştığımız için bize tuhaf görünmeyen bile birçok patolojik nesne/durum var. Yani örneğin irrasyonel veya kompleks sayılar bu anlattıklarımızdan daha mı az patolojik sizce? Peki kenarları 1 birim olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün $\sqrt{2}$ birim olması ya da (0,1) aralığı ile reel sayılar arasında bire-bir örten bir dönüşüm yazılabilmesi? Burada sadece üç örnekle bile zihnimizin sınırlarını zorlayan matematik sezgi dışı canavarlar üretmeye devam ediyor ve bizler var oldukça da devam edecek.

Kaynaklar
1) https://beltoforion.de/en/game_of_life/
2) https://plus.maths.org/content/maths-minute-cellular-automata
3) http://nebula2.deanza.edu/~karl/Sites/Bios/JohnConwayBio.pdf
4) https://www.youtube.com/watch?v=xKvX9hIPDbs
5) https://en.wikipedia.org/wiki/Conway_base_13_function
6) Greg Oman, The Converse of the Intermediate Value Theorem: From Conway to Cantor to Cosets and Beyond, Missouri J. Math. Sci. 26 (2), 134–150, 2014.

Patolojik Nesneler II- Alexander’ın Boynuzlu Küresi

Posted on 15 Kasım 2021 by esrakorkmaz

Cevapla

Bir önceki yazıda, matematikte sezgiye aykırı nesnelerden ve böyle nesnelerle oynamanın matematik severler için tam bir eğlence kaynağı olduğundan bahsetmiştik. Tabii bir de sırtımızı Asimov’a dayayarak bu konuda ne kadar haklı olduğumuz konusundaki fikrimizi pekiştirmiştik.

O zaman aklımızın sınırlarını zorlayan bu nesneleri anlatmaya devam edelim. Sıradaki örneğimiz topolojiden gelecek ama öncesinde hangi kanıyı çürütmek amacıyla tanımlandığından kısaca bahsetmek gerekiyor.

Düzlemde kendini kesmeyen kapalı bir eğriye basit kapalı eğri (simple closed curve) ya da bir Jordan eğrisi denir. Örneğin çember ve elips birer basit kapalı eğridir. 1887 yılında Fransız matematikçi Camille Jordan, bu eğriler üzerine, görünüşte “ee ne var bunda” denilebilecek fakat ispatlaması hiç de kolay olmayan bir teorem ortaya koymuştur. Jordan eğri teoremi olarak bilinen bu teoremin ifadesi şöyledir:

Düzlemde her basit kapalı eğri (“her Jordan eğrisi” diyecek hali yok tabii) düzlemi iç ve dış olmak üzere iki bölgeye ayırır. Yani tam olarak şöyle bir şey. Jordan, teoremi ispatlamış ispatlamasına ama maalesef kanıtı hatalıymış. Teoremin ilk doğru ispatı 1905’te Amerikalı matematikçi Oswald Veblen tarafından yapılmıştır. Daha sonra Arthur Schoenflies bunu görmüş ve arttırmış ve “Elde edilen bu iki bölge düzlemde bir çemberin içine ve dışına homeomorfiktir” demiştir.

Peki acaba Schoenflies’in iddiasının üç boyutta doğru olmadığına dair bir örnek verilebilir mi? Yani uzayı iki parçaya ayırsa da, içi ve dışı kürenin içine ve dışına homeomorfik olmayacak şekilde bir nesne bulmak mümkün olabilir mi? İşte bu soruya yanıt veren, 1924 yılında yayınladığı ve iki sayfa bile sürmeyen An Example of a Simply Connected Surface Bounding a Region which is not Simply Connected isimli çalışmasıyla James Waddell Alexander olmuştur. Basit bağlantılılığın bu işle ne ilgisi olduğunu biraz sonra anlayacağız ama biz önce Alexander’ın ortaya koyduğu örneğe bir bakalım. İşte karşınızda Alexander’ın Boynuzlu Küresi:

Oldukça karışık görünen bu nesnenin nasıl oluşturulduğuna birlikte bakalım.

Önce bir küre alalım ve üzerine iki disk çizip bunları yukarı doğru iki parmak ya da boynuz gibi çektiğimizi düşünelim. Burada boynuzların uçları karşılıklı birer disk şeklinde olacak ve birbirine asla değmeyecek. Daha sonra her bir diskten ikişer boynuz çıkarıp aşağıdaki gibi birbirine kenetleyelim.

Şuan elimizde bir öncekinden daha küçük dört adet disk var. Bunların her birinden yine ikişer boynuz çıkararak işleme devam ediyoruz ve bu işlemi sonsuza kadar sürdürüyoruz. İşte bu şekilde elde edilen nesne Alexander’ın boynuzlu küresi olarak adlandırılır ve bu gerçekten de bir küredir, yani en azından topolojik olarak. Bunun sebebi aslında elde ettiğimiz diskleri birbirine çok yaklaştırsak da asla birleştirmememiz. Örneğin yukarıdaki şeklin bir oyun hamurundan yapıldığını düşünürsek, hiçbir parçayı kırmaya ya da kesmeye gerek duymadan, boynuzları iterek şekli ilk haline döndürebiliriz.

Bu kürenin içinin açık (yani sınırı dahil olmayan) bir top olduğunu ve bu nedenle bir kürenin içine homeomorfik olduğunu söyleyebiliriz. Fakat dışı standart bir kürenin dışına homeomorfik olmaz. Bunun için, daha önce burada bahsetmiş olduğumuz basit bağlantılılık tanımını hatırlayalım. Kürenin dışında aldığımız her kapalı eğriyi, yine kürenin dışında kalacak bir noktaya büzebildiğimiz için, kürenin dışı basit bağlantılıdır. Diğer taraftan boynuzlu kürenin dışı basit bağlantılı değildir.

Bunu görmek için kürenin dışında yukarıdaki gibi kapalı bir eğri alalım. Bu eğriyi boynuzlu küreden dışarı çıkarmak için paralel disklerin arasına taşımamız gerekir. Hatırlarsak paralel diskleri elde etme sürecimiz sonsuz bir süreçti. Dolayısıyla eğriyi taşıdığımız diskler küçüldükçe eğri de küreye yaklaşacak, hatta bir yerden sonra değecektir. Bu nedenle eğriyi kürenin dışında bir noktaya büzme hayallerimiz de suya düşer.

Demek ki boynuzlu kürenin dışı, standart bir kürenin dışına homeomorfik değildir, yani Schoenflies’in teoremi üç boyutta geçerli olmaz. Bu örneğe rağmen matematikçiler bu teoremin hangi nesneler sınıfı üzerinde doğru olacağını araştırmaya devam etmişlerdir. Bu konuda (birbirlerinden bağımsız olarak) başarıya ulaşan Brown ve Mazur teoriye katkılarından ötürü Veblen ödülüne layık görülmüşlerdir. Hani Jordan’dan yıllar sonra, onun teoremine ilk doğru ispatı veren Oswald Veblen vardı ya, işte onun anısına verilen geometri/topoloji ödülüne.

Bir sonraki yazıda algı kapılarını en az boynuzlu küre kadar zorlayan bir başka örnekle devam edeceğiz ve aşağıdaki gibi, kafasında bir boynuzlu küre ile resmedilen adamın tanımlamış olduğu ilginç fonksiyonu inceleyeceğiz.

(Dipnot: Son olarak, adam deyip geçmeden, geçen sene COVID-19 sebebiyle kaybettiğimiz Conway‘in eşsiz bir zekaya sahip olduğunu hatırlatmak isterim.)

John Horton Conway, the Genius at Play - The New York Times

Kaynaklar
1) Dmitry Fuchs, Serge Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, 2007.
2) T. C. Hales, Jordan’ s Proof of the Jordan Curve Theorem, Studies in logic, grammar and rhetoric 10, 45-60, 2007.
3) https://mathworld.wolfram.com/JordanCurve.html
4) https://en.wikipedia.org/wiki/Schoenflies_problem

Patolojik Nesneler I- Weierstrass’ın Canavarı

Posted on 9 Kasım 2021 by esrakorkmaz

Cevapla

Sanat sanat için oluyor da neden “matematik matematik için” olmasın? Binlerce yıl boyunca hesap kitap, zaman-takvim, miras dağılımı, inşaat işleri filan derken “işe yarar” şeylerde yeterince kullanılmış (ve hala da kullanılmakta olan) matematiğin biraz da günlük yaşamdan uzaklaşıp sezgilere aykırı işlerle uğraşmaya hakkı yok mu? Isaac Asimov, Matematikçinin Galaksi Rehberi kitabının önsözünde bu tür işleri hayal gücü için yaratıcı bir sığınak olarak nitelendiriyor ve diyor ki:

İşte şimdi bahsedeceğim konu, olağan dışı ve sezgilere aykırı olarak görülen ve ayrıca, evrensel olarak geçerli olduğu düşünülen bazı teoremleri ihlal etmek için özel olarak oluşturulmuş “patolojik nesneler”.

Sürekli bir fonksiyon denildiğinde akla gelen ilk şeyin “grafiğini, kalemimizi kaldırmadan çizebileceğimiz” bir fonksiyon olduğunu biliyoruz. Yani sezgisel olarak, sürekli bir fonksiyon sıçramaları (jumps) olmayan bir fonksiyondur.

Diğer taraftan, bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması, o noktada bir teğet doğrusunun bulunabilmesidir. Bunu ise, kabaca, fonksiyonun o noktada bir köşesinin (corner) veya sivri ucunun (cusp) olmaması olarak yorumlayabiliriz.

19. yüzyılın ortalarına kadar matematikçiler arasındaki genel inanış, sürekli bir fonksiyonun türevlenemediği noktalar olsa da, bunların arasında mutlaka türevlenebilirliğin sağlandığı parçaların var olduğu yönündeydi. (Örneğin testere dişlerinin oluşturduğu fonksiyonu düşünelim.)

Hatta bu iddia Fransız matematikçi Andre Marie Ampere tarafından da ispatlanmıştır. Fakat Ampere, türevlenebilirliğin sağlandığı bölümler sonsuz küçüklükte olursa neler olacağını düşünmemiş ve hatta buna gerek olmadığını iddia etmiştir. 1860’larda ortalıkta gezinen söylentiler Ampere’nin yaptıklarına olan güveni sarsmaya başlamıştır. Konuşulanlara göre, Riemann öğrencilerine hiçbir noktada türevlenemeyen sürekli bir fonksiyon bildiğini söylemiş fakat bu konuda bir ispat yayınlamamıştır. Yalnızca Ampere’nin değil birçok çağdaşının sahip olduğu popüler inanışı sona erdiren şey ise Weierstrass’ın 1872 yılında yarattığı her yerde sürekli fakat hiç bir yerde türevlenebilir olmayan “canavar” olmuştur. Şimdi bu fonksiyona bir bakalım:

$0<a<1$ , b pozitif tek bir tamsayı ve $ab>1+\frac{3\pi}{2}$ olmak üzere bir Fourier serisi olarak tanımlanan

fonksiyonun sürekliliği Weierstrass M-testinden gelir. $M_n=a_n$ olarak alırsak, serinin düzgün yakınsak olduğunu söyleyebiliriz. Bu nedenle yakınsadığı fonksiyon olan $f$ sürekli olur. Hiçbir yerde türevlenebilir olmadığının kanıtını merak edenlerse şöyle buyursunlar.

Weierstrass’ın canavarı olarak da bilinen bu sevimli(!) yaratığın ismini ne kadar hak ettiği gayet ortada sanırım:

Günümüzde bilgisayarlar yardımıyla kolayca görselleştirilebilen bu fonksiyon, o zamanlar neye benzediği bilinmeyen, sezgilerle açıklanamayan bir ucube olarak nitelendirilmiştir. Weierstrass’ın, çoğu matematikçiye yabancı olan ispat tekniği de bunu iyice pekiştirmiş ve matematik çevrelerinde oldukça yankı getirmiştir. Émile Picard,”Newton böyle bir fonksiyonun varlığını bilseydi, kalkülüsü hiç icat etmezdi” demiştir. Bu tür fonksiyonları canavar olarak adlandıran ilk kişi olan Henri Poincaré ise, Weierstrass’ın fonksiyonunun sağduyuya karşı bir hakaret olduğunu, atalarımızın mantığının hatalı olduğunu göstermek için bilerek bulunduğunu söylemiş ve faydasız olduğunu iddia etmiştir.

Peki tüm bunlardan sonra ne mi olmuş? Aynı Asimov’ın değindiği gibi, bu fonksiyon birçok yerde kullanım alanı bulmuştur. Örneğin Albert Einstein 1904 yılında bir sıvıdaki parçacıkların rastgele hareketi üzerine tanımladığı Brownian hareketi teorisinde Weierstrass’ın fonksiyonunu kullanmıştır. Çünkü su moleküllerinin çarpışmaları öyle sıktır ki izledikleri yörünge asla düzgün (smooth) olmaz ve bu nedenle hiçbir yerde türevlenemez.

Geometriden finansa birçok alanda kullanılmış olan bu fonksiyon, patolojik nesnelerin en güzel örneklerinden biridir. İsterseniz artık beynimize daha fazla işkence etmeyelim ve diğer örnekleri bir sonraki yazıya bırakarak, ustaya en içten saygılarla konuyu noktalayalım.

Dosya:Karl Weierstrass 2.jpg - Vikipedi — Karl Theodor Wilhelm Weierstraß

Kaynaklar

Anlamsız Gerçekler: Topolojide Boş Küme Meselesi

Posted on 27 Ekim 2021 by esrakorkmaz

Cevapla

Önermeler liseden itibaren öğrenmeye başladığımız en temel konulardan biri. Mevcut lise eğitimi hakkında yorum yapacak kadar bilgi sahibi olmadığımdan, ispat yapmaya ve olan bitenin mantığını anlamaya yardımcı olacak bu konunun, lise aşamasında ne işe yaradığının gösterilip gösterilmediğini açıkçası bilmiyorum. Fakat 1. sınıflara bu konuyu anlatırken, ise ( $\Rightarrow$ ) bağlacının doğruluk tablosu için şuan hatırlamadığım tuhaf bir ezber yöntemiyle karşılaşmış olmam sebebiyle, çoğu öğrenci tarafından yalnızca ekstra konu yükü olarak görüldüğünü düşünüyorum.

O zaman biz şimdi söz konusu ise ( $\Rightarrow$ ) bağlacının doğruluk tablosu ile işe başlayalım ve aşağıdaki meşhur tabloya biraz yakından bakalım.

İlk olarak “yanlış bir önermeden yine yanlış bir önerme çıkması mümkün müdür?” sorusuna yanıt arayalım. “ $p: 0=1$ ” önermesi olsun. p’nin yanlış bir önerme olduğu gayet açıktır. Bu önermede, eşitliğin her iki yanına 1 eklersek, “ $q: 1=2$ ” yanlış önermesini elde ederiz. Yani “ $0=1$ ise $1=2$ ” olur. Bu ise “ $Y \Rightarrow Y \equiv D$ ” olduğuna dair gayet güzel bir örnektir.

Yine “ $p: 0=1$ ” önermesini ele alalım. $0=1$ ise $1=0$ olduğu açıktır. Şimdi bu iki eşitliği alt alta yazıp, taraf tarafa toplayalım ve “ $q: 1=1$ ” doğru önermesini elde edelim. Bakın burada yanlış bir önerme ile yola çıkıp, doğru bir önerme elde ettik ve böylece “ $Y \Rightarrow D \equiv D$ ” olacak şekilde bir örnek bulmuş olduk.

Bu konuda filozof matematikçi Bertrand Russell’ın şöyle bir anekdotu vardır. Russell bir gün sınıfında, yanlış varsayımlarla istenilen her şeyin doğruluğunun gösterilebileceğinden bahsetmiştir. Bunun üzerine bir öğrencisi ondan 1=0 olduğunu kabul ederek, kendinin Papa olduğunu ispatlamasını istemiştir. Russell’ın bu soruya cevabı ise şöyledir:

0 = 1 olduğunu varsayalım. Eşitliğin her iki tarafına 1 eklersek 1=2 olur. Papa ile beni bir odaya koyarsanız odada 2 kişi olacaktır. Fakat 2 = 1 olduğundan odada aslında 1 kişi olduğunu söyleyebiliriz. Yani, ben Papa’yım.

Şimdi de $\Rightarrow$ bağlacının doğruluk tablosunu bir örnekle anlamaya çalışalım. Bir arkadaşınız size, “Derslere katılmazsan, matematik bölümünden mezun olamazsın” diyor. Burada “p: Derslere katılmıyorsun” ve “q: Matematik bölümünden mezun olamadın” önermeleri olsun ve biz arkadaşımızın söylediği $p\Rightarrow q$ önermesinin doğruluk değerini inceleyelim. Bunun için tüm ihtimalleri gözden geçirelim:

Derslere katılmazsınız ve mezun olamazsınız. ( $p\equiv D, q\equiv D$ )
Derslere katılmazsınız ve mezun olursunuz. ( $p\equiv D, q\equiv Y$ )
Derslere katılırsınız ve mezun olamazsınız. ( $p\equiv Y, q\equiv D$ )
Derslere katılırsınız ve mezun olursunuz. ( $p\equiv Y, q\equiv Y$ )

Burada arkadaşınızın doğruyu söylemediği tek durum 2. durumdur. Çünkü derslere katılmadınız fakat mezun oldunuz. Yani $D\Rightarrow Y\equiv Y$ oldu. 1. durumun doğruluğu ise ( $D\Rightarrow D\equiv D$ ) gayet açıktır. 3. ve 4. durumda da arkadaşınızın doğruyu söylemediğini iddia edemezsiniz çünkü derse katılırsanız ne olacağı konusunda bir fikir beyan etmemişti. Demek ki $Y\Rightarrow D\equiv D$ ve $Y\Rightarrow Y\equiv D$ ‘dir.

İşte yukarıda anlattığımız ufacık $\Rightarrow$ bağlacının, olmaz gibi görünen bazı şeyleri oldurmaya gücü yetiyor. Nasıl mı? Bunun için artık asıl konumuza giriş yapalım ve boş kümenin topoloji tanımında ne işi var, olmasaydı başımıza ne işler açardı, ona bir bakalım.

Bunun için önce açık kümelerin komşuluklar yardımıyla tanımını hatırlayalım. $X$ bir küme ve $\mathcal{U}_x$ bir komşuluk sistemi olsun. Burumda $G\subseteq X$ kümesinin açık olması için gerek ve yeter koşul her $x\in G$ için $U\subseteq G$ olacak şekilde bir $U\in \mathcal{U}_x$ olmasıdır. Diğer bir deyişle, her $x$ için, “ $x\in G \Rightarrow \exists U\in \mathcal{U}_x$ ; $U\subseteq G$ ” koşulu sağlanmalıdır. Dikkat edersek $\emptyset$ bu koşulu sağlıyor çünkü önermenin $x\in \emptyset$ kısmı her zaman yanlış oluyor. Bu nedenle, $\Rightarrow$ önermesinin özelliği gereği, diğer kısmının doğruluğu ya da yanlışlığı bizi pek de ilgilendirmiyor. ( $Y\Rightarrow D\equiv D$ ve $Y\Rightarrow Y\equiv D$ olduğunu hatırlayalım.)

Burada olduğu gibi, sadece öncülü (yani ise önermesinin sol kısmı) yanlış olduğu için doğru olan durumlar, mantıkta anlamsız gerçek (vacuous truth) olarak adlandırılıyor. Örneğin bulunduğunuz odada hiç cep telefonu yoksa “Odadaki tüm cep telefonları açıktır” ifadesi bir anlamsız gerçektir. (“p: Cep telefonu odadadır. q: Cep telefonu çalıyor” gibi düşünebilirsiniz. ) Anneler babalar dikkat: Mantık diyor ki, eğer çocuğunuz tabağına hiç yemek koymamışsa ve “tabağımdaki tüm yemekleri yedim” diyorsa, teknik olarak size doğruyu söylemiş oluyor.

Boş kümenin topolojide olması da anlamsız bir gerçek olabilir fakat bizi bir çok yükten kurtarıyor. Örneğin topoloji tanımındaki “iki açık kümenin kesişimi de açıktır” koşulunu ele alalım. Eğer boş küme açık olmasaydı, ayrık (yani kesişimleri boş küme olan) iki açık küme aldığınızda kesişimleri açık olmayacaktı. Dolayısıyla tanımı “ayrık olmayan iki açık kümenin kesişimi” olarak güncellemeniz gerekecekti. Ayrıca birçok ispatta elinizdeki kümelerin ayrık olması ihtimalini ayrıca incelemeniz gerekecek, ayrık olmaları hiç işinize gelmeyecek ve bunun olması ihtimali bile sizi ürkütmeye yetecekti.

Diğer taraftan, kapalı kümeler açık kümelerin tümleyenleri olduğundan, $X$ kapalı bir küme olmayacak, bu nedenle $X$ ‘in kapanışı nedir sorusu cevapsız kalacaktı. Ayrıca, en basitinden $f: (X,\tau_1)\rightarrow (Y,\tau_2), f(x)=c$ sabit fonksiyonu bile sürekli olmayacaktı. Çünkü $c\notin G$ olacak şekildeki $G\in \tau_2$ için, $f^{-1}(G)=\emptyset \notin \tau_1$ olacaktı.

Son bir gözlem: Burada bahsetmiş olduğum “boş ailenin birleşiminin boş olması” gerçeğini ve açık küme aksiyomlarından biri olan “açık kümelerin keyfi birleşimi açıktır” koşulunu kullanarak da boş kümenin topolojide olacağı gerçeğine ulaşabilmek mümkündür.

KAYNAKLAR
1) Ali Nesin, Önermeler Mantığı, Bilgi Üniversitesi Yayınları, 2001.
2) https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuous_truth
3) https://nesinkoyleri.org/wp-content/uploads/2019/05/zafer_ercan-topoloji.pdf

Ufak Dokunuşlar, Yepyeni Uzaylar

Posted on 19 Ekim 2021 by esrakorkmaz

Cevapla

Gora’yı izleyenler ve hatta izlemeyenler bile Arif Işık’ın meşhur repliğini bilirler. Sanırım Pisagor bugün yaşasaydı onunla aynı fikirde olmazdı. Çünkü hakkında birbirinden ilginç rivayetler bulunan bir tarikatın önderi olan Pisagor, her şeyin sayı olduğunu iddia ediyor ve evrenin yasalarını matematik sayesinde çözebileceğimize inanıyordu. Sayılar sayesinde geldiğimiz noktaya bakılırsa üstadın pek de yanılmış olmadığı anlaşılabilir. Bu durum size çok da doğru gelmiyorsa, Netflix’in bu işe bir el atması ve matematik bilen herkesin hafızasının bir gecede silindiği bir dizi yayınlaması, olayın önemini anlamamıza yardımcı olacaktır.

Pisagor’dan yüzyıllar sonra, Leopold Kronecker (1823-1891) isimli bir zat-ı muhterem “Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk” yani “Tanrı tam sayıları yarattı, geri kalan her şey insan işidir” demiştir. İşte matematikte her taşın altından çıkan reel sayılar da insan elinin değdiği işlerin en önemlilerinden biridir. Reel sayılar hakkında yazılacak çok şey var aslında fakat burada bahsedeceğim şey $\mathbb{R}$ ‘ye iki nokta farklı eleman eklenmesiyle elde edilen genişletilmiş reel sayılar kümesinin topolojik özellikleri olacak.

O halde önce $\mathbb{R}$ ‘yi alalım ve ona her $x\in \mathbb{R}$ için $-\infty<x<\infty$ özelliğini sağlayacak şekilde iki farklı elemanı, yani $-\infty$ ve $\infty$ ‘u ekleyelim. Burada $-\infty$ ve $\infty$ ‘a baktığımızda, klasik anlamda sonsuzu değil, $\mathbb{R}$ ‘de olmayan iki farklı nokta gördüğümüzü düşünelim. Elde ettiğimiz yeni kümeyi $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,\infty\}$ biçiminde gösterebilir ve genişletilmiş reel sayılar kümesi olarak adlandırabiliriz.

Bilindiği gibi topolojide tabanlar, bizi bir topolojinin içindeki onca elemanla uğraşmaktan kurtaran ve o topolojinin iskeleti olarak düşünülebilecek yapılardır. Yani örneğin cebirciler tüm $\mathbb{R}^3$ ‘ü $(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$ biçiminde, yani sadece $(1,0,0), (0,1,0)$ ve $(0,0,1)$ elemanlarını kullanarak elde edebiliyorlarsa bizim onlardan neyimiz eksik? “Birleşimi bir nevi toplama işlemi olarak düşünerek, topolojinin tüm elemanlarını, tabanın bazı elemanları yardımıyla ifade edebilmek bizim de hakkımız” düşüncesinden yola çıkarak tanımlanmış olan taban kavramı, $\overline{\mathbb{R}}$ üzerinde bir topolojik uzay tanımlamamıza yardımcı olacak.

$\mathcal{B}=\{(a,b) : a,b\in \mathbb{R}\}\cup \{[-\infty,a): a \in \mathbb{R}\}\cup \{(b,\infty] : b\in \mathbb{R}\}$

ailesinin $\overline{\mathbb{R}}$ kümesi üzerinde bir topoloji tabanı olduğunu göstermek mümkündür. İşte üzerinde çalışacağımız topolojik uzay bu aile ile üretilen uzay olacak.

Analizde bir reel sayı dizisinin limitini $\mp \infty$ bulduğumuzda bu dizinin ıraksak olduğunu söylüyorduk. Dikkat edersek $\overline{\mathbb{R}}$ üzerinde bir dizinin $\mp \infty$ ‘a yakınsama hakkı vardır. Yani örneğin, bir $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \overline{\mathbb{R}}$ dizisi verildiğinde, $\infty$ elemanını içeren her $B\in \mathcal{B}$ elemanı için, “ $n>N$ iken $x_n\in B$ ” olacak şekilde bir $N\in \mathbb{N}$ bulunabiliyorsa, $(x_n)$ dizisi $\infty$ elemanına yakınsar denir.

Reel sayılar üzerinde açık aralıklar yardımıyla tanımlanan doğal topolojiyi ele alalım. Bu topolojiye göre $\mathbb{R}$ ‘nin kompakt olmadığını söyleyebiliriz. Bu sonucu elde etme sebebimiz aslında $\mathbb{R}$ ‘nin sınırsız bir küme olmasıdır. Ama bir üst ve alt sınıra sahip olan $\overline{\mathbb{R}}$ ‘miz tam da kendisinden beklendiği gibi kompakt olacaktır. (Dikkat!!! Bu kısımdan sonrası teknik ispat içerir.)

Bunu görmek için $\overline{\mathbb{R}}$ ‘nin bir $\mathcal{G}=\{G_i : i\in I\}$ açık örtüsünü alalım. $\mp \infty\in \overline{\mathbb{R}}$ ve $\overline{\mathbb{R}}=\bigcup_{i\in I} G_i$ olduğundan $-\infty \in G_{i_1}$ ve $\infty \in G_{i_2}$ olacak şekilde $G_{i_1}, G_{i_2}\in \mathcal{G}$ elemanları bulunabilir. Ayrıca, tabanın özelliğinden dolayı $-\infty \in [\infty, a)\subseteq G_{i_1}$ ve $\infty \in (b, \infty] \subseteq G_{i_2}$ olacak şekilde $a,b\in \mathbb{R}$ vardır. $G_{i_1}, G_{i_2}$ elemanları $\overline{\mathbb{R}}$ ‘nin $(b, \infty]$ ve $[\infty, a)$ parçalarını örtüyor. Demek ki geri kalan tüm $G_i$ ‘ler $[a,b]$ kısmını örtecektir. $[a,b]$ aralığı bu topolojiye göre kompakt olduğundan, bu $G_i$ ‘lerden sonlu tanesi ile $[a,b]$ ‘yi örtmek mümkündür. O halde bu sonlu sayıda elemanı ve $G_{i_1}, G_{i_2}$ elemanlarını alarak elde ettiğimiz sonlu örtü, $\overline{\mathbb{R}}$ ‘yi de bir güzel örtecektir. Yani $\overline{\mathbb{R}}$ kompakttır.

KAYNAKLAR
1) https://math.rice.edu/~semmes/math443.pdf

İki Orijinli Doğru

Posted on 4 Eylül 2021 by esrakorkmaz

Cevapla

Lisans derslerinde karşımıza çok fazla çıkmıyor olsa da, topolojide birçok özel ve ilginç uzay mevcuttur: İki orijinli doğru, topolojicinin sinüs eğrisi, Havai küpesi, Cantor’un sızdıran çadırı vs. bunlardan bazılarıdır. Bu yazımızda iki orijinli doğruyu tanımaya çalışalım.

İlk olarak sayı doğrusundan orijini çıkarıp yerine (reel sayı olmayan) iki farklı nokta ekleyerek bir $X$ kümesi oluşturalım. Yani $\mathbb{R}^\ast=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ olmak üzere $X=\mathbb{R}^\ast \cup \{p,q\}$ olsun. Şimdi de $a>0$ , $a\in \mathbb{R}$ olmak üzere aşağıdaki kümeleri tanımlayalım:

$G_a=(-a,0)\cup \{p\}\cup (0,a)$ ve $H_a=(-a,0)\cup \{q\}\cup (0,a)$ . Bu durumda,

$\mathcal{B}=\{G_a : a>0\} \cup \{H_a : a>0\}\cup \{(b,c) : b,c\in \mathbb{R}, 0\notin (b,c)\}$

ailesi $X$ üzerinde bir topoloji tabanıdır. İşte $\mathcal{B}$ ‘nin taban olduğu bu uzay iki orijinli doğru olarak adlandırılır. Burada yapılan işe biraz daha yakından bakalım.

Öncelike $\mathbb{R}^\ast \cup \{p\}$ ile $\mathbb{R}$ ‘nin topolojik olarak aynı olduklarını söyleyebiliriz. $\mathbb{R}$ ‘nin 0’ı içermeyen açıkları $\mathbb{R}^\ast\cup \{p\}$ uzayında değişmeden kalırken, 0’ı içeren bir $U$ açığı yerine $(U\setminus \{0\})\cup \{p\}$ açığı gelecektir. Aslında burada yapılan şey 0’ı çıkarıp yerine $p$ noktasını koymaktır ve bu değişiklik topolojik olarak herhangi bir fark yaratmaz. Bunu matematiksel olarak ifade etmenin yolu ise bu iki uzay arasında bir homeomorfizma olduğunu göstermektir.

$f: \mathbb{R}^\ast \cup \{p\} \rightarrow \mathbb{R}$ , $f(p)=0$ ve $x\neq p$ ise $f(x)=x$ olarak tanımlanan $f$ fonksiyonu bu iki uzay arasında bir homeomorfizma, yani bire-bir, örten, tersi ve kendisi sürekli olan bir fonksiyondur. Sonuç olarak, orijin çıkarıldığında eklenen $p$ noktası bizim için belki de “porijin” olarak adlandırılabilecek olan yeni bir orijinden başka bir şey değildir.

Benzer işlemleri $q$ için de yapmak mümkündür. Yani $\mathbb{R}^\ast \cup \{q\}$ ile $\mathbb{R}$ topolojik olarak aynıdır ve kümeye eklenen $q$ noktası da yeni bir orijin olan “qorijin”dir 🙂

Özetle sürecin şöyle ilerlediğini görebiliriz: Bir doğruyu alıp önce orijini çıkarıyoruz ve yerine yenisini (porijin) koyup başladığımız yere geri dönüyoruz. Daha sonra bu doğruya bir orijin daha (qorijin) ekliyoruz ve iki orijinli doğruyu elde etmiş oluyoruz.

İki orijinli doğrunun bölüm uzayları yardımıyla bir diğer elde edilme yöntemi de vardır. Merak edenler ve daha fazlasını öğrenmek isteyenler buraya bir tık. Sadece meraktan geldim, bu kadarı yeter diyenlerle daha ilginç uzaylarda görüşmek üzere.

KAYNAKLAR
1) https://www.mathcounterexamples.net/the-line-with-two-origins/

Peçete Halkası Paradoksu

Posted on 1 Eylül 2021 by esrakorkmaz

Cevapla

Chateau Wooden Napkin Ring | Pottery Barn

Bundan yıllar yıllar önce, yemek yeme işi yalnızca karın doyurma amaçlı yapılırken, genel yiyici kitlesi sunumsuz yakalanma telaşına düşmemiş ve dahi peçete halkası bile icat edilmemişken, Japonya’da Edo döneminde yaşamış bir zat-ı muhteremin bugün Peçete Paradoksu (Napkin Ring Paradox) olarak bilinen problemden ilk olarak bahsettiği rivayet olunur. Peki nedir Peçete Paradoksu?

Elimizde herhangi bir küre olsun. Bu kürenin içini bir silindirle oyup çıkartıyoruz ve peçete halkasına benzeyen bir cisim elde ediyoruz. İddia şu: Farklı yarıçaplara sahip kürelerden elde edilen peçete halkalarının, yükseklikleri eşit oldukları sürece hacimleri de eşittir.

Küremiz ceviz, kavun ve hatta Dünya büyüklüğünde olabilir. Eğer yükseklikler eşitse, hacimler mutlaka eşit olacaktır. Küçük olandan elde edilenin daha kalın bir halkası olacak, ancak her biri tam olarak aynı hacme sahip olacaktır. Gelin bunu iki farklı yöntem kullanarak hesaplayalım.

Yukarıdaki şekilde, içinden a yarıçaplı silindir çıkarılmış r yarıçaplı bir kürenin merkezi bir kesiti gösterilmektedir. Burada peçete halkasının hacmini (V) hesaplamak için kürenin hacminden silindirin hacmini (kırmızı kısım) ve ayrıca sağ ve solda kalan küçük parçaların hacmini (mavi kısımlar) çıkarmamız gerekir. Yani,

$V= \frac{4}{3}\pi r^3-2\pi a^2 h-$ (Mavi kısmın hacmi)

(Burada silindirin yüksekliği 2h olduğundan hacmi $\pi a^2 (2h)=2\pi a^2 h$ olur.)

Mavi kısımlardan birinin hacmini hesaplamak için disk yöntemini kullanırsak,

$\int_{h}^{r} \pi (r^2-x^2) dx= \pi \left[r^2 x-\frac{x^3}{3}\right]_h^r =\pi \left [\frac{2r^3}{3}-r^2h+\frac{h^3}{3}\right]$

elde ederiz. (V’yi hesaplarken bunu 2 ile çarpmamız gerektiğini unutmayalım!) O halde Şekil I’den kolayca görebileceğimiz $a^2= r^2-h^2$ eşitliğini de kullanarak,

$V=\frac{4}{3}\pi r^3- 2\pi a^2 h-\frac{4}{3}\pi r^3+2\pi r^2 h-\frac{2}{3}\pi h^3$
$= \pi (2r^2 h-2h a^2- \frac{2}{3}h^3)= \pi (2r^2 h-2h (r^2-h^2)- \frac{2}{3}h^3)= \frac{4}{3} \pi h^3$

buluruz. Demek ki hacmi hesaplanırken yalnızca yükseklik kullanılır ve bu nedenle yüksekliklerin eşit olması, hacimlerin de eşit olması anlamına gelir.

Şimdi ikinci yönteme bir bakalım. Bunun için önce Cavalieri Prensibini öğrenelim/hatırlayalım.

Yukarıdaki gibi eşit yükseklikte iki katı cismimiz olsun. Eğer bunların birbirine karşılık gelen kesit alanları eşitse, hacimleri de birbirine eşittir. İntegralin uygulamalarında, kesit alma yöntemini kullanırken yaptığımız şey de tam olarak budur. Kesit alanlarını hesaplarız ve integral yardımıyla bunları toplayıp hacmi buluruz. Şimdi bu prensibi uygulayarak sonuca ulaşmak için aşağıda gösterilen kesitin alanını bulmaya çalışalım.

Burada $R$ =Kürenin yarıçapı, $r_k$ =Kesitin dış yarıçapı, $r_s$ =Silindirin ve dolayısıyla kesitin iç yarıçapı, $h$ = Silindirin yüksekliği ve $y$ = Ekvatorun üstünden alınmış enine kesitin yüksekliği olsun. Kesit alanını bulmak için $\pi {r_k}^2-\pi {r_s}^2$ işlemini yapmamız, yani büyük dairenin alanından küçük dairenin alanını çıkarmamız gerekir.

Pisagor teoremini kullanarak, ${r_s}^2=R^2-(\frac{h}{2})^2$ ve ${r_k}^2= R^2-y^2$ olduğunu görebiliriz. Demek ki ,

Kesit alanı $\pi(R^2-y^2)-\pi(R^2-(\frac{h}{2})^2)=\pi((\frac{h}{2})^2-y^2)$ olarak bulunur. Peçete halkalarının yükseklikleri, yani $h$ değerleri eşit olacağından, birbirine karşılık gelen kesit alanları da eşit olacaktır. (Birbirine karşılık gelen kesitler alındığında $y$ ‘lerin de eşit olacağına dikkat edelim.)

Bu problemin bir paradoks olarak nitelendirilmesinin nedeni, çakıl taşı ve Dünya büyüklüğündeki kürelerden elde edilen peçete halkalarının hacimlerinin eşit olduğu gerçeğini sezgilerimizin kabul etmemesidir. Unutmayalım, sezgiler bizi yanıltabilir fakat matematik ve bilim bizi çoğu zaman gözlemle ulaşamayacağımız sonuçlara götürür.

KAYNAKLAR
1) https://www.maa.org/external_archive/devlin/NapkinRing.pdf
2) https://www.youtube.com/watch?v=J51ncHP_BrY
3) https://en.wikipedia.org/wiki/Napkin_ring_problem

Kuratowski Kapanış-Tümleyen Teoremi

Posted on 26 Ağustos 2021 by esrakorkmaz

Cevapla

KURATOWSKI - Encyklopedia w INTERIA.PL — Kazimierz Kuratowski

Kuratowski Kapanış-Tümleyen Teoremi, 1922 yılında Kazimierz Kuratowski tarafından ortaya koyulmuş, sadece topolojik değil cebirsel olarak da nitelendirilebilecek bir teoremdir. Genel Topoloji dersini almaya yeni başlamış olanlar bile oldukça kolay ispatlayabilir yada ispatını anlayabilirler. Hadi o zaman biraz ispat ve beyin jimnastiği yapalım.

Öncelikle işe birkaç gösterimle başlayalım. $(X,\tau)$ bir topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere, $k(A)=\overline{A}$ ( $A$ ‘nın kapanışı) ; $t(A)=X\setminus A$ ( $A$ ‘nın tümleyeni) ; $i(A)=A^\circ$ ( $A$ ‘nın içi olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır:

(t1) $t^2(A)=t(t(A))=A$ .
(t2) $A\subseteq B \Rightarrow t(B)\subseteq t(A)$ .
(k1) $k^2(A)=k(k(A))=k(A)$ .
(k2) $A\subseteq B \Rightarrow k(A)\subseteq k(B)$ .
(i1) $i(A)\subseteq A$ .
(i2) $t(k(t(A)))=t(t(i(A)))=i(A)$ . Ya da daha tanıdık gelecek bir gösterimle, $X\setminus \overline{X\setminus A}=X\setminus (X\setminus A^\circ)= A^\circ )$ . Bunu gösterirken $k(t(A))=t(i(A))$ (yani $\overline{X\setminus A}=X\setminus A^\circ)$ özelliği kullanılabilir.

Şimdi sıra teoremde: Kuratowski’ye göre $A$ kümesine kapanış ve tümleyen operatörlerini uygulayarak en fazla 14 farklı küme elde edebiliriz. Bu operatörleri bir ondan bir öbüründen gibi farklı şekillerde uygulayacağız. Sadece bir tanesini uygulamak ya da hiçbirini uygulamamak gibi seçenekler de bu işleme dahil olacak. Ayrıca $t^2(A)=A$ ve $k^2(A)=k(A)$ olduğuna da dikkat edeceğiz. İşte bütün bu şartlar altında elde edeceğimiz kümeler şu şekildedir:

$A, t(A), k(A), tk(A), kt(A)$ , $tkt(A), ktk(A), tktk(A), ktkt(A)$ , $tktkt(A), ktktk(A)$ , $tktktk(A), ktktkt(A), tktktkt(A)$ .

Buradan sonra uygulayacağımız her operatörde elimizde olan kümelerden biriyle karşılaşırız. Bunu görmek için $ktktktk(A)=ktk(A)$ eşitliğini ispatlamamız yeterli olacaktır. Çünkü yukarıdaki diziyi devam ettirmek istersek, sıradaki elemanlar $ktktktk(A)=ktk(A)$ ile $tktktktk(A)=tktk(A)$ olur ki bunlar daha önce zaten yazılmıştır. Burada hem fikirsek $ktktktk(A)=ktk(A)$ eşitliğinin doğru olduğunu gösterip ispatı sonlandırabiliriz.

$\underline{ktktktk(A)\subseteq ktk(A)}$ : Öncelikle (i2)‘den $tkt=i$ olduğundan $tktktk(A)=tkt(ktk(A))=i(ktk(A))$ ‘dır. Bu nedenle (i1)‘den $tktktk(A)\subseteq ktk(A)$ ‘dir. Burada kapsamanın her iki tarafına $k$ operatörü uygularsak (k2)‘den $ktktktk(A)\subseteq kktk(A)=ktk(A)$ elde ederiz.

$\underline{ktk(A)\subseteq ktktktk(A)}$ : Bu kez, $tktk(A)= tkt(k(A))$ kümesi $k(A)$ ‘nın içi olduğundan $tktk(A)\subseteq k(A)$ elde edilir. Şimdi bu kapsamaya art arda 3 operatör uygulayarak sonuca ulaşacağız. Tabii (t2) ve (k2) özelliklerine dikkat ederek.
$\bullet$ Önce $k$ ile başlayalım: $ktktk(A)\subseteq kk(A)=k(A)$
$\bullet$ Son elde ettiğimize $t$ uygulayarak devam edelim: $tk(A) \subseteq tktktk(A)$
$\bullet$ Şimdi bir $k$ operatörü daha: $ktk(A) \subseteq ktktktk(A)$ .

Her iki kapsamadan istenilen eşitliğe ulaşmak mümkündür. Teoremin geri kalanı, bu operatörleri uygulayarak maksimum sayıda, yani 14 tane küme elde edebileceğimiz bir uzayın var olduğunu söylüyor. İşte örnek:

$X=\mathbb{R}$ ve $A=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap \mathbb{Q})$ olsun. Bu durumda elde edeceğimiz kümeler şunlardır:

1) $A=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap \mathbb{Q})$
2) $k(A)=[0,2]\cup \{3\}\cup [4,5]$
3) $t(A)=(-\infty,0]\cup \{1\}\cup [2,3)\cup (3,4)\cup ([4,5]\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}))\cup (5,\infty)$
4) $kt(A)=(-\infty,0] \cup \{1\} \cup [2,\infty)$
5) $tk(A)= (-\infty,0) \cup (2,3)\cup (3,4)\cup (5,\infty)$
6) $ktk(A)= (-\infty,0] \cup [2,4]\cup [5,\infty)$
7) $tkt(A)= (0,1)\cup (1,2)$
8) $ktkt(A)=[0,2]$
9) $tktk(A)=(0,2)\cup (4,5)$
10) $ktktk(A)=[0,2]\cup [4,5]$
11) $tktkt(A)= (-\infty,0) \cup (2,\infty)$
12) $ktktkt(A)= (-\infty,0]\cup [2,\infty)$
13) $tktktk(A)= (-\infty,0)\cup (2,4)\cup (5,\infty)$
14) $tktktkt(A)=(0,2)$

Peki bu teoremin cebirsel olarak nitelendirilmesinin sebebi nedir? $G=\{g_i : i\in I\}$ , bir $S$ kümesi üzerindeki operatörlerin kümesi olmak üzere, $G$ ‘nin elemanlarının bileşkesini alarak yeni operatörler elde edebiliriz. Bileşke işlemi birleşme özelliğini sağladığından, birbirinden farklı operatörlerin kümesi bileşke işlemi ile bir monoid olur. Herhangi bir $(X,\tau)$ topolojik uzayı üzerindeki tümleyen ve kapanış operatörleri ile üretilen monoid, $X$ uzayının Kuratowski monoidi olarak adlandırılır. İşte bu Kuratowski monoidleri yardımıyla topolojik uzayları sınıflandırmak mümkündür. İlgilenenler ve daha fazlasını isteyenler buyursunlar.

KAYNAKLAR
1) Gardner, B. J., M. Jackson, The Kuratowski closure-complement theorem, New Zealand Journal of Mathematics 38, 9-44, 2008.
2) https://math.stackexchange.com/questions/876436/a-question-on-the-proof-of-14-distinct-sets-can-be-formed-by-complementation-and

Süreklilik vs Düzgün Süreklilik

Posted on 22 Ağustos 2021 by esrakorkmaz

Süreklilik ve düzgün süreklilik, tanım olarak birbirine oldukça yakın görünen iki kavram. Peki bunları birbirinden farklı kılan o ince ayrıntı nedir. İleri analiz dersi almış olanlar tanımları arasındaki farkı mutlaka biliyorlardır. İşte şimdi bu tanımların geometrik olarak ne anlattığına bir bakalım.

Bunun için ilk olarak önce sürekliliği anlamak/hatırlamak gerekiyor. İnternette üstünkörü bir araştırma yaptığınızda, “bir fonksiyonun sürekli olması, onun grafiğini kaleminizi hiç kaldırmadan çizebilmenizdir” gibi açıklamalarla karşılaşırsınız. Bu tam olarak da doğru sayılmaz aslında. Tamam, bu şekilde çizilebilen her fonksiyon sürekli olabilir fakat her sürekli fonksiyon ille de bu özelliği sağlayacak diyemeyiz. Örneğin,

$f(x)= \begin{cases} x sin {\frac{1}{x}} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \\ \end{cases}$

parçalı fonksiyonunu elimizi kaldırmadan çizmemiz mümkün olmayacaktır. Hatta, orijinde sonsuz kez salınım yaptığından, teknik olarak, grafiği elle çizmemiz dahi mümkün olmayacaktır. Fakat bu fonksiyon reel sayılar üzerinde süreklidir.

Şimdi reel sayılar üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonun bir $x_0$ noktasında sürekliliğini şöyle bir oyunla anlamaya çalışalım. Karşınızdaki kişi size herhangi bir $\epsilon>0$ versin. y-ekseni üzerinde $(f(x_0)-\epsilon, f(x_0)+\epsilon)$ aralığını işaretleyelim. Soru şu: Acaba $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ aralığındaki tüm noktaların görüntüleri $(f(x_0)-\epsilon, f(x_0)+\epsilon)$ aralığının içinde kalacak şekilde en az bir $\delta>0$ sayısı bulabilir misiniz? İşte size verilen her $\epsilon$ için bunu başarabilirseniz, fonksiyonunuz o noktada sürekli olur, yani kazanan siz olursunuz.

Yukarıdaki $f$ fonksiyonunda her $\epsilon>0$ için başarı sağlamak mümkün. Fakat $g$ fonksiyonu umutsuz vaka. Şekildeki gibi seçilen $\epsilon$ sayısına karşılık, koşula uyan bir $\delta$ maalesef bulunamaz. Çünkü ne seçersek seçelim, $x_0$ ‘ın solundaki noktaların görüntüsü bu aralığın dışına düşer.

Matematiksel olarak ifade edecek olursak,

$\forall \epsilon>0$ , $\exists \delta>0$ ; $(x_0-\delta<x< x_0+\delta)\Rightarrow (f(x_0)-\epsilon<f(x)< f(x_0)+\epsilon)$

ya da ilk eşitsizliğin her tarafından $x_0$ , ikincisinden ise $f(x_0)$ çıkarırsak,

$\forall \epsilon>0$ , $\exists \delta>0$ ; $(-\delta<x-x_o< \delta) \Rightarrow (-\epsilon<f(x)-f(x_0)< \epsilon)$ .

Buradan da mutlak değere geçersek,

$\forall \epsilon>0$ , $\exists \delta>0$ ; $\mid x-x_0 \mid < \delta \Rightarrow \mid f(x)-f(x_0)\mid <\epsilon$ .

(Şunu da eklemekte fayda var; burada mutlak değer yerine metrik fonksiyonu ya da komşuluklar kullandığımızda metrik ve topolojik uzaylarda süreklilik tanımını elde edebiliriz.)

Görüldüğü gibi süreklilik oldukça lokal, yani noktasal bazda bir kavram. Diyelim ki fonksiyonunuz tanım kümesindeki her noktada sürekli. Demek ki her $x_0$ noktasında, her $\epsilon>0$ sayısına karşılık en az bir $\delta$ bulma oyununu kazanmışsınız. Fakat muhtemelen her nokta için farklı bir $\delta$ sayısı bulmuşsunuzdur. Yani bulduğunuz $\delta$ , hem $\epsilon$ ‘a hem de $x_0$ noktasına bağlıdır. İşte her nokta için ayrı bir $\delta$ bulmak yerine her bir nokta için iş görebilecek ortak bir $\delta$ bulunabiliyorsa bunun ismi düzgün süreklilik olur. Burada oyunu kazanmak biraz daha zorlaşıyor çünkü her kapıyı açacak bir anahtar bulmaya çalışıyorsunuz. Bunun doğal bir sonucu her düzgün sürekli fonksiyonun sürekli olması fakat tersinin her zaman doğru olmamasıdır.

Sürekli fonksiyonların grafiklerinden farklı olarak, düzgün sürekli fonksiyonların grafiklerinde ani bir artış ya da azalma olmaz. Yani grafiğin yalnızca sürekli bir fonksiyon görüntüsüne sahip olması yetmez, ayrıca çok dik de olmamalıdır.

Yukarıdaki şekilde görülen $f(x)=\frac{1}{x}$ fonksiyonunun grafiğine bakalım. Bu fonksiyon $(0,\infty)$ aralığında sürekli olmasına rağmen düzgün sürekli değildir. Öncelikle grafiğin ne kadar dik olduğuna dikkat edelim. Şekildeki gibi seçilen bir $\epsilon$ için bulunan $\delta$ sayıları sola doğru gidildikçe küçüldüğünden, seçilebilecek ortak $\delta$ sayısını sürekli daha da küçültmemiz gerekir. Bu işlem sonsuza kadar süreceği için ortak bir $\delta$ bulmak mümkün olmaz. Sezgisel olarak da oldukça ani azalış gösteren böyle bir fonksiyonun düzgün sürekli olması beklenmezdi.

Diğer taraftan yine aynı fonksiyon $[1,\infty)$ aralığında düzgün süreklidir. Aralığın en sol ucundaki $\epsilon$ ‘a karşılık gelen $\delta$ , tüm aralıkta iş görecektir.

Bir tanımı, problemi mümkün olduğunca görselleştirmek bizi ezberin gereksiz yükünden ve anlaşılmazlığından kurtarır. Yukarıda anlatılanlar düzgün süreklilik ile ilgili teoremleri ve kuralları da daha kolay yorumlamamıza yardımcı olacaktır.

KAYNAKLAR
1) https://math.fel.cvut.cz/mt/txtb/3/txe3ba3g.htm

Aklımıza Takılanlar I: Boş Ailenin Kesişim ve Birleşimi

Posted on 16 Ağustos 2021 by esrakorkmaz

Kümeler Teorisinin iki meşhur operatörü birleşim ve kesişim, kullanması ve anlaması gayet kolay işlemlerdir. Elimizde sonsuz sayıda küme bile olsa bu operatörleri nasıl uygulamamız gerektiğini biliriz. Hatırlayalım:

$X$ herhangi bir küme, $I$ bir indeks kümesi ve $A_i\subseteq X (i\in I)$ olmak üzere, $\bigcup_{i\in I} A_i$ kümesi $X$ ‘in, en az bir $A_i$ ‘nin içinde olan tüm elemanlarının kümesidir. Diğer taraftan $\bigcap_{i\in I} A_i$ kümesi, $X$ ‘in, her bir $A_i$ ‘nin içinde ortak olarak bulunan tüm elemanlarını içerir. Daha formal bir şekilde ifade etmek gerekirse;

$\bigcup_{i\in I} A_i=\{x\in X: \exists i, (i\in I) \wedge (x\in A_i)\}$

$\bigcap_{i\in I} A_i=\{x\in X: \forall i, (i\in I) \Rightarrow (x\in A_i)\}$ .

İşte her şeye hakim olduğumuzu düşünürken ve hatta birleşim ve kesişim benden sorulur kafasına bile gelebilmişken karşımıza şöyle bir problem çıkıyor.

Yukarıdaki tanımda indeks kümesi boş küme olursa ne olur? Yani $\bigcup_{i\in \emptyset} A_i$ ve $\bigcap_{i\in \emptyset} A_i$ nedir? Tabii ki aklımıza ilk gelen her ikisinin de boş küme olması gerektiğidir. Yani indeks kümesi boş olduğundan, elimizde aslında hiç küme yok ve biz olmayan kümelerin birleşim ve kesişiminden söz ediyoruz. Fakat ne yazık ki sezgilerimiz bizi yanıltıyor. Her ne kadar tuhaf görünse de doğru cevap şöyle:

$\bigcup_{i\in \emptyset} A_i=\emptyset$ ve $\bigcap_{i\in \emptyset} A_i=X$ .

Lisans eğitimimde hiç unutmadığım anlardan biri de 3. sınıfta, topoloji dersinde hocanın tahtaya bunları yazdığı andır. Bölümdeki ilk senemde her ne kadar reddetmiş olsa da, zamanla “ $\epsilon$ şu olsun, $\delta$ bu olsun” gibi kabullere alışmış olan beynim o an muhtemelen “her ne kadar mantık dışı görünse de lütfen bunlar da birer kabul olsun ve ben de inanayım” demiş olmalı. Fakat aslında bunlar yukarıda verdiğimiz tanımların doğal birer sonucudur.

Önce birleşimle başlayalım. $I=\emptyset$ olmak üzere, birleşim tanımını uygularsak

$\bigcup_{i\in \emptyset} A_i = \{x\in X: \exists i, (i\in \emptyset) \wedge (x\in A_i)\}$

elde ederiz. Burada $(i\in \emptyset)$ önermesi yanlış olduğundan $(i\in \emptyset) \wedge (x\in A_i)$ her zaman yanlıştır. Aslında sağdaki önermenin hiçbir önemi yok, bir tanesinin bile yanlış olması, $\wedge$ bağlacının özelliği gereği ifadeyi yanlış kılar.) Yani burada istenilen koşulu sağlayan hiç bir $x\in X$ elemanı yoktur ve bu nedenle birleşim boş kümedir.

Şimdi de kesişim tanımına bakalım.

$\bigcap_{i\in I} A_i= \{x\in X: \forall i, (i\in \emptyset) \Rightarrow (x\in A_i)\}$

Burada yine $(i\in \emptyset)$ önermesi yanlış olduğundan $\Rightarrow$ bağlacının özelliği gereği, $(i\in \emptyset) \Rightarrow (x\in A_i)$ her zaman doğrudur. Demek ki burada $X$ kümesinin her elemanı istenilen koşulu sağlıyor. O halde kesişim kümenin kendisine eşit olmalıdır.

İşte bütün mesele bu 🙂

KAYNAKLAR

1)https://www.coopertoons.com/education/emptyclass_intersection/emptyclass_union_intersection.html

Topolojik bir oluşum!

Category Archives: Genel

Patolojik Nesneler III – Conway’in Base-13 Fonksiyonu

Patolojik Nesneler II- Alexander’ın Boynuzlu Küresi

Patolojik Nesneler I- Weierstrass’ın Canavarı

Anlamsız Gerçekler: Topolojide Boş Küme Meselesi

Ufak Dokunuşlar, Yepyeni Uzaylar

İki Orijinli Doğru

Peçete Halkası Paradoksu

Kuratowski Kapanış-Tümleyen Teoremi

Süreklilik vs Düzgün Süreklilik

Aklımıza Takılanlar I: Boş Ailenin Kesişim ve Birleşimi