Bilginin Sınırları: Gödel’in Eksiklik Teoremi ve İspatı

Posted on 8 Kasım 2022 by esrakorkmaz

Bu yazıda, bir önceki yazıda öğrenmiş olduğumuz kavramların da yardımıyla, Gödel’in Eksiklik Teoreminin olabildiğince sadeleşmiş bir ispatına yer vereceğiz. Ayrıca bu teoremin çözümünün başka hangi reaksiyonları tetiklediğini, ve bizleri, zihnimizin sınırlarını zorlar boyutta, ne tür problemlerle baş başa bıraktığını da göreceğiz. Hazırsak, başlayalım.

İlk olarak, doğal sayılar aritmetiğini kapsayan bir formal sistem bir ele alalım. Burada formal sistemden kastımız, simgeleri ve kuralları kesin olarak tanımlanmış bir sistemdir. Örneğin tüm sembolleri, bağlaçları ve kuralları ile önermeler mantığı bunun güzel bir örneğidir. Ele aldığımız bu sistemi, Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell’ın Principa Mathematica’sından ilham alarak PM ile gösterelim, ve PM’nin, temel matematiksel gerçekleri ispatlamaya olanak veren bir sistem olduğunu kabul edelim. (Burada, Principa Mathematica’nın amaçlarından birinin, az sayıda mantıksal önermeden matematiğin tüm temel önermelerini çıkarmak olduğunu hatırlamak önemlidir.)

Gödel ilk olarak her sembole, her formüle (yani semboller dizisine) ve her kanıta bir doğal sayı karşılık getirilebileceğini göstermiştir. Her sembolün, formülün ya da kanıtın bir etiketi gibi düşüneceğimiz bu sayıya, sembolün/formülün/kanıtın “Gödel sayısı” denir. Öncelikle bu numaralandırma sisteminin nasıl olduğuna biraz açıklık getirelim. İlk olarak 12 temel sembolün Gödel sayıları, aşağıdaki tablodaki gibi verilmiş olsun.

Bunların yanı sıra;

x, y ve z ile başlayan değişkenlerin Gödel sayıları 12’den büyük asal sayılar,
önerme değişkenleri, 12’den büyük asal sayıların karesi,
yüklem değişkenleri (predicate variables), 12’den büyük asal sayıların küpü ile numaralandırılmış olsun.

Şimdi de PM’deki formüllerin Gödel sayılarının elde ediliş yöntemini bir örnekle anlamaya çalışayım. $( \exists x ) ( x=sy )$ , yani “x, y’nin ardılı olacak şekilde bir x vardır” formülünü ele alalım. Yukarıda verilen tabloları kullanarak, her bir sembole ilgili Gödel sayısını karşılık getirelim:

Bu formülün Gödel sayısını elde etmek için, asal sayıları büyükten küçüğe dizelim ve yukarıda elde ettiğimiz sayılar dizisinin elemanlarını, sırasıyla bu asal sayıların bir üssü olarak yazalım. Bu durumda formülümüzün Gödel sayısı tüm bu üslü sayıların çarpımı, yani $m=2^8 * 3^4 * 5^{13} * 7^9 * 11^8 * 13^{13} * 17^5 * 19^7 * 23^{17} * 29^9$ olacaktır. Diğer taraftan, $\sim (2=3)$ , yani “2, 3’e eşit değildir” formülünün Gödel sayısını bulmak için, önce bu formülü, $\sim (ss0=sss0)$ biçiminde ifade etmemiz, daha sonra yukarıdaki gibi hesaplamamız gerektiğini unutmayalım.

Son olarak, ispat yaparken karşımıza çıkabilecek olan formül dizilerine karşılık gelen Gödel sayısının nasıl bulunabileceğini, yine bir örnek yardımıyla anlamaya çalışalım.

$(\exists x) \hspace{0.1cm} x=sy$ “y’nin en az bir ardılı vardır.”
$(\exists x) \hspace{0.1cm} x=s0$ “0’ın en az bir ardılı vardır. “

formül dizisini ele alalım. Bu iki ifadenin bir formül dizisi oluşturmasının sebebi, ikinci formülün, birincide $x$ yerine 0 koymakla elde edilmiş olmasıdır. İlk formülün Gödel sayısının m, ikincisinin ise n olduğunu kabul edersek, bu formül dizisine karşılık gelen Gödel sayısı $k=2^m * 3^n$ olacaktır. Burada yaptığımız şey, aslında, her bir formülün Gödel sayını, küçükten büyüğe doğru sıralanmış asal sayıların üstlerine sırasıyla yazmak, sonrasında elde edilen bu sayıları çarpmaktır.

Yukarıda, her bir formüle karşılık gelen Gödel sayısını nasıl bulabileceğimizden bahsetmiştik. Bu işlemin tersinin, yani verilen herhangi bir sayıyı çözümleyip, bunun bir formülün Gödel sayısı olup olmadığını, eğer öyle ise, hangi formüle karşılık geldiğini bulmanın da mümkün olduğunu söyleyebiliriz. Örneğin 243000000 sayısını ele alalım. $243000000=2^6 * 3^5 * 5^6$ biçiminde yazılabilir. Asal sayıların üslerine (6-5-6) karşılık gelen sembolleri yazarsak, $0=0$ formülünü elde ederiz.

Gödel tüm bunların yanı sıra üst-matematiksel (meta-mathematical) önermeleri de, içerisinde doğal sayıların birbirleriyle ilişkilerini barındıran özelliklere dönüştürmüştür. Şimdi ilk olarak, matematiksel ve üst-matematiksel arasındaki farkın ne olduğunu anlamaya çalışalım. Bunun için 2+3=5 önermesini ele alalım. Bu önerme matematiğe aittir. Fakat, bize bu önerme ile ilgili bilgiler veren “2+3=5 bir matematik formülüdür” ya da “2+3=5 eşitliği doğru değildir” ifadesi üst-matematiksel bir önermedir.

Peki, örneğin “ $\sim (0=0)$ formülünün ilk sembolü $\sim$ ‘dir.” üst matematiksel önermesini PM aritmetiğinde nasıl ifade edebiliriz? Öncelikle $\sim (0=0)$ önermesinin Gödel sayısının $a= 2^1 * 3^8 * 5^6 * 7^5 * 11^6 * 13^9$ olduğunu kolayca görebiliriz. Bu durumda, “2, a’nın bir çarpanıdır, fakat $2^2$ değildir” ifadesi, $a$ ‘nın $2^1$ ile başladığı anlamına gelir. Ayrıca, $\sim$ ‘nin Gödel sayısı 1 olduğundan, bu ifade aslında, $\sim (0=0)$ önermesinin ilk sembolünün $\sim$ olduğu anlamına gelir. Diğer taraftan, “x, y’nin bir çarpanıdır” demek, “ $(\exists z) \hspace{0.1cm} (y=z*x)$ demektir. Dolayısıyla “2, $a$ ‘nın bir çarpanıdır, fakat $2^2$ değildir” ifadesinin PM diline çevirisi şu şekilde olacaktır:

Yani, $a=z*2$ olacak şekilde bir $z$ vardır ve $a=z*2^2$ olacak şekilde bir $z$ yoktur.

Gödel’in ispatına girmeden, sonradan ihtiyacımız duyacağımız birkaç gösterimden bahsetmemiz gerekir.

dem(x,z) : “Gödel sayısı $x$ olan bir formüller dizisi, Gödel sayısı $z$ olan bir formülün PM içerisindeki bir kanıtıdır.” üst-matematiksel ifadesini ele alalım. Bu ifadeyi Dem(x,z) ile gösterelim. Burada $x$ ile $z$ arasında aritmetik bir bağıntı olacaktır. Bu bağıntı, tıpkı bir formüller dizisinin Gödel sayısını anlatırken verdiğimiz örnekte, $k=2^m * 3^n$ ile $n$ sayıları arasındaki bağıntıya benzer. $x$ ile $z$ arasındaki bu bağıntıyı, dem(x,z) ile gösterelim. (Burada dem, demonstration=kanıtlama,ispat’ kelimesinin kısaltmasıdır.)
sub(m,17,m) : Yukarıda, $(\exists x) \hspace{0.1cm} x=sy$ “y’nin en az bir ardılı vardır.” formülünün Gödel sayısını m ile göstermiştik. Bu formülde, Gödel sayısı 17 olan y değişkeninin yerine m koyarak $(\exists x) \hspace{0.1cm} (x=sm)$ formülünü elde edebiliriz. Diğer taraftan, $m=\underbrace{sss\ldots s0}_{m \hspace{0.1cm} \text{tane}}$ biçiminde yazılabildiğinden, yeni formülümüz; $(\exists x) \hspace{0.1cm} (x=\underbrace{sss\ldots s0}_{(m+1)\hspace{0.1cm} \text{tane}})$ şeklinde olacaktır. İşte, Gödel sayısı m olan bir formülde, Gödel sayısını 17 olan değişkenin yerine, m koymakla elde edilen yeni formülün Gödel sayısını sub(m,17,m) ile gösterelim. Bu ifadenin üst matematiksel ifadesi içinse Sub(m,17,m) gösterimini kullanalım.

Şimdi artık Gödel’in yaptığı ispattan bahsedebiliriz. İspatı 5 temel adımda ele alalım:

(1) İlk amacımız, “G, PM’nin kuralları kullanılarak kanıtlanamaz” ifadesini sağlayacak bir G formülü elde etmektir. Bunun için önce $(\exists x)$ Dem(x,z) formülünü ele alalım. Dikkat edersek bu formül bize, Gödel sayısı $z$ olan bir formülün kanıtlanabilir olduğunu söylüyor. Dolayısıyla $\sim (\exists x)$ Dem(x,z), Gödel sayısı $z$ olan bir formülün kanıtlanamaz olduğu anlamına geliyor.
Şimdi de $\sim (\exists x)$ Dem(x, Sub(y,17,y)), yani “Gödel sayısı sub(y,17,y) olan bir formül kanıtlamaz” anlamına gelen formülü ele alalım ve bunun Gödel sayısını n ile gösterelim. Burada, y yerine n koyarak, ulaşmak istediğimiz G formülünü elde edelim. Yani G, $\sim (\exists x)$ Dem(x, Sub(n,17,n)) olsun.
G’yi elde ederken, Gödel sayısı n olan bir formülde, Gödel sayısı 17 olan terimin (yani y’nin) yerine n koyduk. Dolayısıyla, G’nin Gödel sayısı sub(n,17,n) olacaktır. Diğer taraftan G bize, Gödel sayısı sub(n,17,n) olan formülün kanıtlanamayacağını söylüyor. Demek ki G, “G kanıtlanamaz” ifadesinden başka bir şey değil.

(2) Sıradaki amacımız, “G kanıtlanabilir $\Leftrightarrow$ $\sim G$ kanıtlanabilir” çift gerektirmesini ispatlamak olacak. Eğer G’nin kanıtlanabilir olsaydı, $\sim G$ (yani, “G, PM içinde kanıtlanabilirdir” formülü) de kanıtlanabilirdi. Gerektirmenin diğer yönünü de benzer bir akıl yürütme ile göstermek mümkündür.
Bir önceki yazıdan, tutarlı sistemler içinde, birbiriyle çelişen teorem çiftlerinin elde edilemeyeceğini hatırlayalım. Bu demek oluyor ki, tutarlı bir sistem içerisinde G’yi kanıtlamak mümkün değildir.

(3) G, doğru bir ifade, yani PM’nin bir teoremidir. Bunun sebebi, G’nin, (2)’de elde ettiğimiz sonuçla paralel olması, yani kendisinin PM içerisinde kanıtlanabilir olmadığını ifade etmesidir.

(4) G, onu oluşturmak için kullanılan aksiyomatik sistem içinde, doğru olduğunu halde kanıtlanamayan bir ifadedir. Demek ki PM tam değil, eksiklidir. Gödel ayrıca, bu sisteme, G’nin kanıtlanabilmesine yardım edecek aksiyomlar eklense bile, doğru fakat kanıtlamaz olan bir $G^\prime$ formülü oluşturmanın mümkün olduğunu, ve hatta bu sürecin sonsuza kadar devam ettirilebileceğini de göstermiştir.

(5) Bu son adımda, “PM tutarlıdır” varsayımı yapalım ve buradan çıkacak sonuçları inceleyelim. Bir önceki yazıdan,tutarlı bir aksiyomatik sistemde, aksiyomlardan türetilemeyecek, yani kanıtlanamayacak en az bir formül olması gerektiğini biliyoruz. Bu durumu, $(\exists y) \sim (\exists x)$ Dem(x,y), yani, “Gödel sayısı x olan hiçbir formül dizisi ile kanıtlanamayacak olan, y Gödel sayılı bir formül vardır” biçiminde ifade edebiliriz. Bu ifadeyi A ile gösterelim.
Diğer taraftan, “PM tam değildir” formülü bize bir yerlerden tanıdık geliyor mu, bir bakalım. “PM tam değildir”, önermesi PM içinde, doğru olan fakat kanıtlanamayan bir X formülü vardır anlamına gelir. Biraz önce tam da bu tarife uyan bir G formülü elde etmiştik. İşte bu sayede, “PM tam değildir” formülünü, “G, PM’de kanıtlanamaz” formunda ifade edebiliriz. Bu ifade ise aslında G’nin kendisidir.
Sonuç olarak; “PM tutarlıdır” formülü A, “PM tam değildir” formülü ise G ile gösterilebildiğinden, “PM tutarlı ise tam değildir” önermesi “ $A\Rightarrow G$ ” şeklinde ifade edilebilir. Her ne kadar burada göstermeyecek olsak da, $(A\Rightarrow G)$ ‘nin PM içinde kanıtlanabilir olduğu biliniyor.
Şimdi A formülünün PM içinde kanıtlanabilir olmadığını gösterelim. Tersine A, PM’de kanıtlanabilir olsun. Bu durumda, “ $A\Rightarrow G$ de kanıtlanabilir olduğundan, G de kanıtlanabilir olacaktır ve bu bir çelişkidir. Demek ki, PM’nin tutarlılığını PM içerisinde kanıtlamak mümkün değildir. Herhangi bir S sisteminin tutarlılığını kanıtlamak için daha güçlü bir T sistemine ihtiyaç vardır. Örneğin, Peano aksiyomlarının tutarlılığı küme teorisi kullanılarak gösterilebilir, ancak doğal sayılar teorisi kullanılarak gösterilemez.

Ve perde…

Gödel’in I. Eksiklik Teoremi: Temel aritmetiksel doğruları kanıtlayabilen herhangi bir tutarlı biçimsel sistem için, doğru olan ancak sistem içinde kanıtlanamayan bir aritmetiksel ifade oluşturmak mümkündür.

Gödel’in II. Eksiklik Teoremi: Temel aritmetiksel doğruları kanıtlayabilen herhangi bir tutarlı biçimsel sistem için, o sistemin tutarlılığına (kendi içinde) karar verebilmek için gerek ve yeter koşul sistemin tutarsız olmasıdır. (Yani aslında, “bu sistem tutarlıdır” sonucuna sistemin kendi olanaklarını kullanarak ulaşmak mümkün değildir.)

Gödel’in eksiklik teoremi, insan zihninin sınırlarına dair birçok felsefik tartışmaya sebep olmuştur. Ama bence en güzel yankısı, Cambridge üniversitesinde yüksek lisans öğrencisiyken bu teoremle tanışan Alan Turing’in zihninde olandır.

17. yüzyılda Alman matematikçi Leibniz, herhangi bir matematiksel ifadeyi girdi olarak okuyabilen ve matematiğin aksiyomlarına dayanarak doğru ya da yanlış olduğunu belirleyebilen bir makine fikrini öne sürmüştür. Turing, Leibniz’in açtığı yoldan yürüyerek, herhangi bir girdiyi işleyebilen ve bir sonucu hesaplayabilen makinelerin matematiksel tasarımını formüle etmeye çalışmıştır. En basit haliyle bir Turing makinesi, modern bir bilgisayar programına benzetilebilir.

Turing, günümüzde Durma Problemi (Halting Problem) olarak bilinen ve aşağıdaki gibi ifade edilebilecek olan bir problem üzerinde çalışmıştır:

“Başka bir programın durup durmayacağına karar verecek, (yani, program yürütmeyi bitirecek mi yoksa sonsuz bir döngüye mi girecek sorusuna cevap verebilecek) bir program olabilir mi?”

Turing, böyle bir programın var olamayacağını, Gödel’in çalışmasına benzer bir şekilde çelişkiye varma yöntemi kullanarak ispatlamıştır. Gödel matematiğin, Turing ise Bilgisayar Biliminin bir anlamda ‘eksik’ olduğunu kanıtlamış ve bu iki deha aslında bilmenin önündeki teorik sınırları ortaya koymuşlardır. Bunlara ek olarak, teoride çözebileceğimiz, ancak çözümü hesaplamak çok uzun sürdüğü için pratikte çözemeyeceğimiz başka problemler de vardır. İşte tam bu noktada konu, “P ve NP problemlerine” ve 1 milyon dolarlık “P=NP midir?” sorusuna gelir. Bu problemler nelerdir, “P=NP midir?” sorusuna bir yanıt bulunursa dünya nasıl değişir gibi konulara başka bir yazıda değinmek daha doğru olacaktır.

Kapanışı Gödel’in güzel bir sözüyle yapalım:

“Ya matematik insan zihni için fazla büyüktür ya da insan zihni bir makineden daha fazlasıdır.“

KAYNAKLAR
1) Ernest Nagel, James R. Newman, Gödel’s Proof, New York University Press, 1958.
2) Sebastian Bader, Godel’s Incompleteness Theorems, Knowledge Representation and Reasoning Seminar, April 25th, 2006.
3) Ernest Nagel, James R. Newman, Gödel Kanıtlaması, çev. Bülent Gözkan, Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi, 2007.
4) https://3010tangents.wordpress.com/2014/11/26/turing-leibniz-and-hilberts-entscheidungsproblem/

Gödel’in Eksiklik Teoremi : Tutarlılık, Tamlık ve Her Şeyin Teorisi

Posted on 16 Eylül 2022 by esrakorkmaz

Cevapla

Matematik ilk olarak doğa olaylarına ve somut problemlere cevap verme ihtiyacı üzerine ortaya çıkmıştır. Antik Yunan düşünürleri üç temel soruya odaklanmışlardır.

Bir açıyı cetvel ve pergelle üçe bölmek, verilen bir kübün hacminin iki katına eşit bir küp çizmek, ve verilen bir çemberin alanına eşit bir kare çizmek. Bu 3 problemin çözümünün imkansız olduğu kanıtlandığında, elimizde artık daha fazla matematiksel çıktı vardı. Çünkü çözümler, belli denklemleri sağlayan köklerin belirlenmesine bağlıydı. Yani Antik Yunanlılar 19. yüzyıla gelindiğinde ortalığın ne kadar karışacağını, matematiğin nasıl bir derinlik kazanacağını, ve hatta nasıl soyut bir hal alacağını asla öngöremezlerdi. İşte günümüzde de içinde bulunduğumuz bu durumu, Russell gayet güzel ifade etmiş:

Pür matematik, ne neden söz ettiğimizi, ne de söylediklerimizin doğru olup olmadığını bilmediğimiz bir alandır.

Öklid dışı geometrilerden bahsettiğimiz önceki yazılarda, Öklid’in “Bir doğruya dışındaki bir noktadan sadece bir tek paralel doğru çizilebilir” olarak ifade ettiği paralellik aksiyomunu, diğer aksiyomlarından yararlanarak elde etmenin olanaksız olduğunu belirtmiştik. Bu aksiyomu “Bir doğruya dışındaki bir noktadan birden fazla paralel doğru çizilebileceği veya hiçbir paralelin çizilemeyeceği” aksiyomları ile değiştiren Gauss, Bolyai, Lobatchevsky ve Riemann’ın çalışmaları sayesinde, matematiksel bir disiplindeki aksiyomların gözle görülen, apaçık gerçeklerden yola çıkılarak öne sürüldüğü inancı sarsılmaya başlamıştır.

Peki eğer aksiyomlar doğadan gelmiyorsa veya sezgiler yoluyla doğrulanamıyorsa, bir aksiyomatik sistemin tutarlı (consistent) olduğunu, yani bu aksiyomlardan ( $0=0$ ve $0\neq 0$ gibi) birbiriyle çelişen teorem çiftlerinin elde edilemeyeceğini nereden bilebiliriz? Bu sorunu çözmenin yollarından biri, sistemin soyut aksiyomlarının uygulanabileceği bir model bulmaktır. Örneğin,

Bir doğruya dışındaki bir noktadan hiçbir paralel doğru çizilemez (*)

varsayımını içeren Riemann geometrisi (eliptik geometri) için uygun olan model, küre yüzeyidir. Bu modele göre, “düzlem” küre yüzeyi, “nokta” küre üzerinde bir nokta, ve “doğru” küre yüzeyindeki büyük çemberler olarak yorumlanabilir. Bir büyük çembere, dışındaki bir noktadan geçen hiçbir paralel büyük çember çizilemediğinden, (*) aksiyomunun sağlandığı açıktır. Bulduğumuz bu model, Riemann geometrisini Öklid’in diline çevirir. Yani dolayısıyla Riemann geometrisinin tutarlılığını görmek, Öklid geometrisinin tutarlı olduğu varsayımı ile mümkündür. Peki Öklid’in aksiyomatik sisteminin tutarlı olduğunu nereden biliyoruz? Hilbert bunu göstermek için, Öklid’in aksiyomlarını cebirsel olarak yorumlama yoluna gitmiştir. Hilbert’in modelinde, “nokta” bir sayı çifti, “doğru” birinci dereceden doğrusal bir denklem, “çember” ikinci dereceden bir denklem olarak düşünülmüştür. Bu durumda, örneğin “iki farklı noktadan yalnızca bir doğru geçer” ifadesi “her farklı sayı çiftinin yalnızca bir doğrusal eşitlik belirlediği” cebirsel gerçeğine dönüşür. Peki içine girdiğimiz girdabı fark edeniniz oldu mu? Burada, Öklid geometrisinin tutarlı olması, cebirin tutarlı olması varsayımını gerektiriyor. Bu da demek oluyor ki, model yöntemi tutarlılık sorununa yeterince tatmin edici bir çözüm sunmuyor.

Şimdi, tutarlılığın mutlak kesinlikle nasıl kanıtlanabileceğini bir örnek yardımıyla anlamaya çalışalım. Bunun için Önermeler Mantığını ele alalım ve bu aksiyomatik sistemin tutarlı olmadığını kabul edelim. Bu durumda elimizde, hem $P$ hem de onunla çelişen $\sim P$ , sistemdeki aksiyomlardan elde edilebilecek (deducible) şekilde bir $P$ önermesi olmalıdır. Şimdi nasıl elde edildiğinin detaylarına girmeden, bu sistemdeki $p\rightarrow (\sim p \rightarrow q)$ teoremini ele alalım. Öncelikle Modus Ponens kuralını hatırlayalım: Eğer $P$ ve $P\rightarrow Q$ önermeleri aksiyomlardan elde edilebiliyorsa, $Q$ önermesi de elde edilebilir. Örneğin, “ $P=$ Bugün salıdır” ve “ $P\rightarrow Q=$ Bugün salı ise Ekin işe gidecek” ifadeleri bu sistemin aksiyomları yardımıyla elde edilebiliyorsa, “ $Q=$ Ekin işe gidecek” ifadesi de elde edilebilir. O halde bu kural gereği, $P$ ve $P\rightarrow (\sim P \rightarrow Q)$ önermelerinden ( $\sim P \rightarrow Q$ )’nun; $\sim P$ ve ( $\sim P \rightarrow Q$ ) önermelerinden ise $Q$ ‘nun elde edilebilirliği sonucuna ulaşırız. Burada $Q$ keyfi olduğundan, $Q$ ‘nun yerine yazabilecek her ifade bu sistemdeki bir çıkarım, yani bir teorem olacaktır. (Daha önce burada anlattığımız, Russell’ın, yanlış varsayımlarla istenilen her şeyin doğruluğunun gösterilebileceğine dair anekdotunu hatırlayalım. $1\neq 0$ ve $1=0$ aynı anda doğru olduğunda, Russell’ın papa olduğu sonucuna bile ulaşmak mümkün oluyordu.) Demek ki tutarsız bir sistemde elde edilebilecek her formül bir teoremdir. Tersine, bir sistemde her formül bir teorem değilse, yani aksiyomlardan türetilemeyecek en az bir formül varsa, bu durumda sistem tutarlıdır.

Tutarlılığın neye benzediğini anladıysak, Hilbert’in 1900 yılında öne sürdüğü, 23 sorudan oluşan meşhur problemler listesinin 2. maddesiyle tanışmaya hazırız demektir: Aritmetiğin aksiyomlarının tutarlı olduğunu kanıtlayınız. Burada kastedilen, tıpkı Peano aritmetiği gibi, doğal sayıları formalize eden bir aritmetik sistemin elde edilmesi, bu sistemin tüm matematiği formülize etmesi, ve sistemin tutarlılığının kendi içinde kanıtlanmasıdır. İnsanın bilim karşısındaki acizliğini anlatan “Ignoramus et ignorabimus (Bilmiyoruz ve bilmeyeceğiz)” sözüne karşılık, “Wir müssen wissen – wir werden wissen (Bilmeliyiz, bileceğiz) düsturunu benimseyen Hilbert,

“Bir bilimin temellerini araştırmakla meşgul olduğumuzda, o bilimin temel fikirleri arasında var olan ilişkilerin tam ve eksiksiz bir tanımını içeren bir aksiyomlar sistemi kurmalıyız.”

sözleriyle aslında, matematik disiplininde geçerli olan bir “Her Şeyin Teorisi” ortaya koyulmasını istemiştir. Matematiğin karar verilebilir, eksiksiz ve tutarlı olduğunu kanıtlamak isteyen Hilbert’in bu hayalini sona erdiren, daha sadece 25 yaşındayken yayımladığı ve onu büyük bir şöhrete kavuşturan Eksiklik Teoremleri (Gödel’s Incompleteness Theorems) ile ilgili makalesiyle, Kurt Gödel olmuştur.

Gödel’e göre, temel aritmetik doğrularını kanıtlayabilen herhangi bir tutarlı biçimsel sistem içinde, aksiyomlarımızın dışına çıkmadan, doğruluğunu da yanlışlığını da ispatlayamayacağımız bazı önermeler vardır. Bir aksiyomatik sistemde, sistem içinde ifade edilebilen her mantıksal ifadenin doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanabiliyorsa, bu sistem tamdır (complete) denir. Gödel’in teoremi, içinde aritmetiğin geliştirilebileceği herhangi bir aksiyomatik sistemin tam olamayacağını, yani eksikli olduğunu, ve hatta bu aksiyomlar kümesine sonlu sayıda yeni aksiyom eklense bile tamlığın sağlanamayacağını gösterir.

Gödel bu sonuçları nasıl elde etti, Gödel numaralandırması yöntemi nedir gibi sorulara bir sonraki yazıda değineceğiz. Çünkü, çocukluğunda Herr Warum (Mr Why/Bay Neden) lakabıyla bilinen Gödel’in, doktorasını bitirdikten yalnızca bir yıl sonra yaptığı bu ispatı anlamak, bizler için bir hayli çaba gerektirecek.

KAYNAKLAR
1) Ernest Nagel, James R. Newman, Gödel’s Proof, New York University Press, 1958.
2) https://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del
3) https://en.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert
4) https://www.privatdozent.co/p/kurt-godels-brilliant-madness

Cevapsız Sorular: Toeplitz Sanısı

Posted on 20 Haziran 2022 by esrakorkmaz

Cevapla

Sene 1911. Trablusgarp savaşı başlar ve dünya tarihindeki ilk hava saldırısı gerçekleşir. Başına geleceklerden habersiz Titanic, ilk kez denize indirilir. Ulusal anlamda ilk emekçi kadınlar günü düzenlenir. İnsanoğlu Güney Kutbu’na ilk kez başarıyla ulaşır. Tüm bu önemli gelişmeler meydana gelirken, Otto Toeplitz isimli bir Alman matematikçi, yaptığı bir konuşmada, “On some problems in topology (Topolojide bazı problemler)” başlığı altında şu soruyu ortaya atar:

Elimizde iki boyutlu uzayda verilmiş basit kapalı bir eğri (ne menem bir şey olduğundan burada bahsetmiştik) olduğu varsayalım. Acaba bu eğri üzerinde, birleştirildiğinde bir kare oluşturacak şekilde 4 nokta bulmak mümkün müdür?

Görünen o ki, Toeplitz bu problemin kanıtı ile ilgili bir makale yayınlamamıştır. Günümüzde bile tam anlamıyla çözülmemiş olan bu meşhur problem, Toeplitz Sanısı (diğer isimleriyle, Inscribed Square Problem ya da Square Peg Problem) olarak bilinmektedir. Yukarıdaki şekilde de görüldüğü üzere, çizilecek karenin tamamıyle eğrinin içinde kalması gerekmiyor.

Eğer elimizdeki eğri bir çember ya da elips ise, böyle bir çemberin mevcut olduğunu görmek gayet kolaydır. Dahası, eğrimiz bir kedi, tavşan ya da filse de işler gayet yolunda gidiyor 🙂

Toeplitz' conjecture asks wether every planar simple closed curve contains the vertices of a square. It is true for convex or smooth curves. https://t.co/rKWwgsaU6o pic.twitter.com/zIpu7U0imR
— Gabriel Peyré (@gabrielpeyre) May 6, 2021

Toeplitz Sanısı parçalı düzgün (piecewise smooth), parçalı analitik veya orijine göre simetrik eğriler gibi bazı özel ve iyi huylu denilebilecek eğriler için ispatlanmıştır. Sanıyı yerel monoton eğriler için ispatlayan Stromquist, mutlak çözüme en çok yaklaşan kişi olmuştur. Stromquist’e göre, eğer bir basit kapalı eğri “yeterince iyi” ise, istenilen karenin çizilmesi mümkün olacaktır. Peki burada eğrinin “yeterince iyi” olması ne demektir? Bunu anlamak için eğri üzerinde keyfi bir P noktası seçelim. Eğer eğrinin, P noktasını içeren bir parçası, bir $y=f(x)$ sürekli fonksiyonunun grafiği olacak şekilde bir koordinat sistemi bulabiliyorsak, eğrimizin yeterince iyi olduğunu söyleyebiliriz. Birçok matematikçi, Stromquist teoreminin tüm basit kapalı eğrilere genellenebileceğini düşünüyor. Çünkü sonuçta elle çizilebilecek tüm basit kapalı eğriler, Stromquist’in “yeterince iyi” tanımı ile örtüşüyor. Fakat Stromquist’in yaptıkları sanıyı tam anlamıyla ispatlamaya yetmiyor, çünkü ortada bir de, onun varsayımı ile örtüşmeyen, fraktal özelliğine sahip basit kapalı eğriler var.

Toeplitz Sanısı hala tam bir ispat bekliyor. 2017 senesinde, yaşayan en büyük matematikçi olarak değerlendirilen Terence Tao, bu asırlık probleme bir el atmıştır. Diğer taraftan, Covid-19 zamanında yaşadığımız karantina dönemini bir fırsata çeviren Joshua Greene and Andrew Lobb, sanının dikdörtgenler üzerine olan bir uyarlamasını ispatlamışlardır.

View this post on Instagram

A post shared by Quanta Magazine (@quantamag)

Dikdörtgenler için olan versiyonu daha iyi anlamak isteyenler, konu hakkında oldukça açıklayıcı bir anlatıma buradan ulaşabilirler.

İfade edildiğinde gayet kolay olduğu düşünülen bazı gerçekleri matematiksel olarak kanıtlayabilmek bazen çok zor ve hatta imkansız olabiliyor. İspat bekleyen tüm bu sanılar, bilim söz konusu olduğunda belki de sadece bir arpa boyu yol gittiğimizi fark etmemizi sağlıyor.

KAYNAKLAR
1) http://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/151918/2/151918.pdf
2) https://www.3blue1brown.com/lessons/inscribed-rectangle-problem
3) https://interestingengineering.com/two-mathematicians-crack-age-old-geometry-problem-in-quarantine
4)https://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_square_problem#:~:text=The%20inscribed%20square%20problem%2C%20also,and%20in%20other%20special%20cases.
5) https://www.webpages.uidaho.edu/~markn/squares/

Bağlantılılık vs Yol Bağlantılılık: Topolojicinin Sinüs Eğrisi

Posted on 27 Nisan 2022 by esrakorkmaz

Cevapla

Kompaktlık ve bağlantılılık topolojininin en önemli iki özelliğidir. Kompaktlık kelimesi, bu özelliğin neye benzediği hakkında pek bilgi vermese de, “bağlantılılık” tam da ismiyle müsemma bir özellik gibi duruyor. Örneğin, bağlantılı bir küme, tek bir parçadan oluşmalı ve içinde alınan her iki noktayı, yine kümenin içinde kalacak bir çizgi ile birleştirmek mümkün olmalıymış gibi geliyor. Çoğu küme için bu durum geçerli olabilir, fakat bazı patolojik kümeler için bu sezgisel yaklaşım pek de çalışmıyor. Örneğin aşağıdaki şekilde gösterilen sonsuz süpürge uzayını (infinite broom) ele alalım. Bu uzay, $(0,0)$ noktasından $(1,\frac{1}{n})$ noktasına giden doğru parçaları ile $(1,0)$ noktasının birleşiminden oluşur. x-ekseni üzerindeki $(0,1)$ aralığı ise kümeye dahil değildir.

Sonsuz süpürge temel olarak iki parçadan oluşur. Doğru parçaları ve tek başına duran $(1,0)$ noktası. Doğrular üzerinden aldığımız bir noktayı, küme içinde kalmak şartıyla, $(1,0)$ noktasına bağlamak mümkün görünmüyor. Fakat bu uzay topolojik olarak bağlantılı bir uzay. Demek ki, tek parça olma ve her iki noktayı birbirine bağlayabilme, bağlantılı küme tanımı için yeterli değil ve aslında iki farklı bağlantılılık kavramına ihtiyacımız var.

Bunlardan ilki, sezgisel olarak da bulabildiğimiz, “yol bağlantılılık”. Eğer bir $A$ kümesi içerisinde alınan her iki noktayı, yine $A$ ‘nın içinde kalacak bir yol ile birbirine bağlayabiliyorsak, $A$ kümesi yol bağlantılıdır diyeceğiz. Fakat burada yol kavramını matematiksel olarak ifade etmemiz gerekiyor.

Herhangi iki $a, b\in A$ noktası arasında bir yol ile kastedilen şey, $f:[0,1]\rightarrow A$ , $f(0)=a, f(1)=b$ özelliklerini sağlayan sürekli bir fonksiyondur.

Diğer taraftan bağlantılılık tanımı, alışılagelen tanımlamalardan biraz farklıdır. Çünkü bu kez önce “bağlantısız” olma tanımını yapıp, onun yardımıyla bağlantılılık tanımına gideceğiz.

Eğer uzayımız, boştan farklı, ayrık iki açık kümenin birleşimi olarak yazılabiliyorsa, bu uzay bağlantısızdır diyeceğiz. Bu şekilde bir yazım mümkün değilse de, kümemiz bağlantılı olacak.

Yol bağlantılı her uzay bağlantılıdır. Yani eğer her iki nokta arasında bir bağlantı kurmak mümkünse, kümeyi iki farklı parçaya ayırmak da mümkün olmayacaktır. Fakat tersi her zaman doğru değildir. Örneğin sonsuz süpürgenin yol bağlantılı olmadığı gayet açıktır. Diğer yandan bu küme bağlantılıdır, çünkü $n\rightarrow \infty$ iken, çizilen çubuklar $(1,0)$ noktası etrafında öyle sıklaşır ki, uzayı boştan farklı, ayrık açıkların birleşimi olarak yazmak mümkün olmaz.

Yol bağlantılı olmayıp bağlantılı olan kümelerin en güzel örneği, tanımı ve grafiği aşağıdaki gibi olan, Topolojicinin Sinüs Eğrisidir.

$S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : y=\sin(\frac{1}{x}), x\in (0,1]\}\cup (\{0\}\times [-1,1])$

Burada, sezgisel olarak, sonsuz süpürgeye benzer bir durum söz konusu. Yani salınımlar y-ekseni üzerindeki $[-1,1]$ aralığında oldukça sıklaşıyor. İşte bu nedenle kümeyi parçalamak olası görünmüyor. Diğer taraftan, $f(x)=\sin(\frac{1}{x})$ kısmından alınan bir nokta ile $S_0=\{0\}\times [-1,1]$ doğru parçası üzerinde alınan herhangi iki noktayı bağlayan bir yol bulunamıyor.

Şimdi biz, topoloji kitaplarınının vazgeçilmezi olan ve çoğunlukla kanıtsız verilen, “topolojicinin sinüs eğrisi bağlantılıdır fakat yol bağlantılı değildir” ifadesini ispatlamaya çalışalım.

Öncelikle $S$ kümesini $S_0=\{0\}\times [-1,1]$ ve $S_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : y=\sin(\frac{1}{x}), x\in (0,1]\}$ olmak üzere iki parçaya ayıralım. Burada $f(x)=\sin(\frac{1}{x})$ olmak üzere, $S_1=f((0,1])$ olduğu açıktır.

(1) Bağlantılı bir uzayın sürekli bir fonksiyon altındaki görüntüsü de bağlantılıdır.

O halde, $f$ fonksiyonu $(0,1]$ aralığında sürekli ve $(0,1]$ aralığı bağlantılı olduğundan, $S_1$ kümesinin de bağlantılı oluğunu açıktır.

(2) Bağlantılı bir kümenin kapanışı da bağlantılıdır.

Demek ki $S=\overline {S_1}$ olduğunu gösterebilirsek, $S$ ‘nin bağlantılı olduğu sonucuna ulaşabiliriz.

İlk olarak $S\subseteq \overline {S_1}$ kapsaması için bir $p\in S=S_0\cup S_1$ alalım.

(3) $(X,d)$ bir metrik uzay, $x\in X$ ve $A\subseteq X$ olsun. Bu durumda, $x\in \overline{A}$ olması için gerek ve yeter koşul, $x_n \rightarrow x$ olacak şekilde bir $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq A$ dizisi olmasıdır.

O halde, $p\in \overline {S_1}$ olduğunu görmek için, $S_1$ kümesinde, $x_n \rightarrow p$ olacak şekilde bir $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ dizisi elde etmeye çalışalım. Eğer $p\in S_1$ oluyorsa $x_n=(p,p,p,\ldots)$ olarak alabiliriz. Ama eğer $p\in S_0$ oluyorsa, diziyi yazmak öyle kolay olmayacak. Öncelikle $p\in S_0$ ise, $p=(0,y)$ ( $|y|\leq 1$ ) biçimindedir. Ayrıca $y=\sin \theta$ olacak şekilde bir $\theta \in [-\pi,\pi]$ vardır, çünkü $g(x)=\sin x$ , görüntü kümesi $[-1,1]$ olan örten bir fonksiyondur. Diğer taraftan, $g(x)=\sin x$ fonksiyonu $2\pi$ periyotlu olduğundan, her $n \in \mathbb{N}$ için $y=\sin(\theta+2n\pi)$ ‘dir. Şimdi, $x_n=\frac{1}{\theta+2n\pi}$ olarak seçersek, her $n$ için $\sin(\frac{1}{x_n})=y$ olur. Hatta, $n\rightarrow \infty$ iken $x_n \rightarrow 0$ olduğundan $(x_n, \sin(\frac{1}{x_n}))=(x_n,y) \rightarrow (0,y)$ elde edilir. Burada herhangi bir $|y|\leq 1$ için, elde ettiğimiz dizi aslında, x-eksenine paralel olan ve bu $y$ noktasından geçen doğrunun, $y=\sin(\frac{1}{x})$ ‘in grafiğini kestiği noktalardan oluşan dizidir.

Şimdi diğer kapsamayı, yani $\overline {S_1} \subseteq S$ olduğunu görmeye çalışalım. Öncelikle kümelerin tanımından $S_1\subseteq S$ olduğu açıktır. Burada eğer $S$ kümesinin kapalı olduğunu kanıtlayabilirsek, $\overline {S_1} \subseteq \overline {S}=S$ olur ve böylece amacımıza ulaşmış oluruz. Bunun için de, (3)‘ü kapalı bir $A$ kümesine uyarlayarak elde edebileceğimiz,

(4) $A$ kümesinin kapalı olması için gerek ve yeter koşul her $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq A$ , $x_n \rightarrow x$ dizisi için $x\in A$ olması (yani $A$ ‘nın, tüm limit noktalarını içermesidir)

teoremini kullanalım.

Bunun için $S$ kümesinde $(x_n,y_n) \rightarrow (x,y)$ olacak şekilde bir $\{(x_n,y_n)\}_{n\in \mathbb{N}}$ dizisi alalım ve $(x,y)\in S$ olduğunu gösterelim. Öncelikle, $x=\lim x_n$ ve $y=\lim y_n$ olduğundan, $x\geq 0$ ve $|y|=\lim|y_n|\leq 1$ özellikleri sağlanır. Eğer $x=0$ ise, $(x,y)=(0,y)$ ve $|y|\leq 1$ olduğundan, $(x,y)\in S$ elde etmiş oluruz. Şimdi ikinci olasılığı yani $x>0$ olma durumunu inceleyelim. Bunun için önce $x$ ‘in yalnızca pozitif sayılardan oluşan bir $\epsilon$ -komşuluğunu alalım. (Burada $\epsilon<|x|$ seçmemiz yeterli olacaktır.) $x_n \rightarrow x$ olduğundan, her $n>N$ için $x_n\in B(x,\epsilon)=(x-\epsilon, x+\epsilon)$ olacak şekilde bir $N$ doğal sayısının varlığından söz etmek mümkündür. Yani demek ki, $x_n$ dizisinin sonlu sayıdaki bazı elemanları hariç olmak üzere, $x_n>0$ varsayımını yapabiliriz. İşte bu sonsuz çoklukta eleman için $(x_n, y_n)\in S_1$ ve böylece $y_n= \sin(\frac{1}{x_n})$ ‘dir. Ayrıca, $f(x)=\sin(\frac{1}{x})$ fonksiyonu $(0,\infty)$ aralığında sürekli olduğundan,

$y=\lim y_n=\lim \sin(\frac{1}{x_n})=\sin(\frac{1}{x})$

sağlanır ve böylece $(x,y)\in S_1\subseteq S$ ‘dir.

Şimdi de, sinüs eğrisinin yol bağlantılı olmadığını gösterelim. Grafikten de anlaşılacağı gibi esas problem, $S_0$ ‘dan alınan bir nokta (örneğin (0,1) noktası) ile $S_1$ ‘den alınan bir nokta arasında bir yol bulunamamasıdır. Tabii bunu usulünce yapmak için, bu şekilde alınan iki noktayı birleştiren bir yol olduğunu kabul edip, bunun bir çelişkiye yol açacağını görmeye çalışalım. O halde, tersine, $h(0)\in S_1$ ve $h(1)=(0,1)\in S_0$ olacak şekilde sürekli bir $h:[0,1]\rightarrow S$ fonksiyonunun olduğunu varsayalım. $h$ sürekli olduğundan, özel olarak $\epsilon=\frac{1}{2}$ için, $1-\delta< t<1$ iken $||h(t)-(0,1)||< \frac{1}{2}$ olacak şekilde bir $\delta>0$ vardır. Burada $[1-\delta,1]$ aralığı bağlantılı olduğundan, (1)‘den $h([1-\delta,1])$ de bağlantılıdır.

$h(1-\delta)=(x_0,y_0)$ olsun. $p_1:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ , $p_1(x,y)=x$ birinci izdüşüm fonksiyonu olmak üzere, $p_1$ ile $h:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^2$ ‘nin bileşkesini, yani $p_1\circ h$ fonksiyonunu ele alalım. Öncelikle, izdüşüm fonksiyonları sürekli olduğundan, bu bileşke fonksiyonu da süreklidir. Bu nedenle $(p_1\circ h)([1-\delta,1])$ kümesi, $\mathbb{R}$ ‘nin bağlantılı bir alt kümesidir. Ayrıca $(p_1\circ h)(1)=0$ ve $(p_1\circ h)(1-\delta)=x_0$ olduğundan, bu küme 0’ı ve $x_0$ ‘ı içerir.

(5) $A\subseteq \mathbb{R}$ bağlantılı bir alt küme ise, $A$ bir aralıktır.

O halde $(p_1\circ h)([1-\delta,1])$ , yani $h([1-\delta,1])$ ‘deki noktaların x-koordinatlarının kümesi, tüm $[0,x_0]$ aralığını içerir. Böylece $x_1\in (0,x_0]$ için $h(t)=(x_1, \sin(\frac{1}{x_1}))$ olacak şekilde bir $t\in [1-\delta,1]$ vardır.

Şimdi, yeterince büyük bir $n\in \mathbb{N}$ için, özel olarak, $x_1=\dfrac{1}{2n\pi-\frac{\pi}{2}}$ olarak seçelim. Bu durumda $\sin(\frac{1}{x_1})=\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ ve böylece $t\in [1-\delta,1]$ için $h(t)=\big(\dfrac{1}{2n\pi-\frac{\pi}{2}}, -1\big)$ olur. Fakat bu durum, daha önce elde etmiş olduğumuz $||h(t)-(0,1)||< \frac{1}{2}$ koşulu ile çelişir. Çünkü, $||h(t)-(0,1)||=\sqrt{\big(\dfrac{1}{2n\pi-\frac{\pi}{2}}-0 \big)^2+(-1-1)^2}\geq 2$ olmalıdır.

Sonuç olarak, Topolojicinin Sinüs Eğrisi, bağlantılı fakat yol bağlantılı olmayan bir kümedir.

Kaynaklar
1) https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/topology/connnotpathconn.pdf
2) http://math.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/sinecurve.pdf

Riemann İntegrali vs Lebesque İntegrali

Posted on 21 Nisan 2022 by esrakorkmaz

“İntegral ne işe yarar?” sorusuna verilebilecek en klasik yanıt muhtemelen “eğri altında kalan alanı bulmayı sağlar” olacaktır. Bu yazıda, çok da derinlere inmeden, Riemann ve Lebesque integrallerinden bahsedeceğiz. Öncelikle Riemann integralinin tanımına kısaca bir göz atalım. Bu sayede, Riemann integralinin yetersiz yönlerini ve halihazırda bir integral hesaplama yöntemi varken, neden bir de Lebesque integraline ihtiyaç duyulduğunu da anlamış olacağız.

Elimizde bir $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu olsun. $y=f(x)$ eğrisinin altında kalan alanı bulmak için, $[a,b]$ aralığını n parçaya bölelim ve ilgili bölgede n adet dikdörtgen elde edelim. Daha sonra ise bu dikdörtgenlerin alanlarını toplayalım. Burada her bir dikdörtgenin kısa kenar uzunluğunun $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ olduğu açıktır. Uzun kenar için ise farklı seçimler yapmak mümkündür. Eğer, aşağıdaki şeklin sol kısmında görüldüğü gibi, $f$ ‘nin bu aralıkta aldığı değerlerin infimumunu seçersek, oluşturduğumuz toplama alt toplam denir. Şeklin sağında görüldüğü gibi, o aralıkta alınan değerlerin supremumunu seçersek, bu toplama üst toplam denir.

Şimdi biz, infimum ve supremum gibi özel seçimler yapmayı bırakıp, her bir aralıktan rastgele bir ${x_i}^\ast$ noktası seçelim ve uzun kenarı $f({x_i}^\ast)$ olan dikdörtgenler oluşturalım. Oluşturulan tüm bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı $\sum_{i=1}^n f({x_i}^\ast)\Delta x$ olacaktır. Bu şekilde elde edilen toplamın ismi ise Riemann toplamıdır. Burada dikkat edilmesi gereken şey, dikdörtgenlerin sayısı ne kadar çok olursa, hata payının o kadar az olacağı ve alanın gerçek değerine o kadar yaklaşılmış olacağıdır.

Bunun için de yapılması gereken, $[a,b]$ ‘nin parçalanma sayısı olan n’yi sonsuza yaklaştırmaktır. İşte Riemann integrali dediğimiz şey aslında

$\int_{a}^{b} f(x) dx =\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f({x_i}^\ast)\Delta x$

limitidir. Burada $f$ ‘yi $\mathbb{R}^2$ üzerinde bir fonksiyon olarak seçersek, integral hesabı yaparken kullandığımız yöntemi bir üst boyuta taşımamız gerekir. Bu kez tanım kümemizi belli parçalara bölüp, fonksiyonun altında kalan bölgenin dikdörtgen prizmalarından oluştuğunu ve bu prizmaların hacimlerini topladığımızı düşünebiliriz. Bundan sonra yapılacak şey ise, biraz önce kullanılan yönteme benzer şekilde, x ve y-eksenini ayırdığımız parçaların sayısını sonsuza götürmektir.

Peki $f$ ‘nin tanım kümesi herhangi bir n doğal sayısı için $\mathbb{R}^n$ ya da soyut bir $X$ uzayı olursa, bu kez nasıl bir yol izleyeceğiz? Daha geniş bir tanım kümesi ailesi için çözüm üretebilen bir integral alma yöntemimiz olsaydı fena olmaz mıydı? İşte Rieman integralinden daha genel bir integrale ihtiyaç duyulmasının sebeplerinden biri budur diyebiliriz.

Şimdi $f: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ , $f(x)= \begin{cases} 1 & x\in \mathbb{Q}\cap [0,1] \\ 0 & x\in \mathbb{I}\cap [0,1] \\ \end{cases}$ biçiminde tanımlı olan Dirichlet fonksiyonunu ele alalım. $f({x_i}^\ast)$ olarak, $f$ ‘nin bu aralıktaki en büyük değeri olan 1’i alırsak, Riemann toplamı $\sum_{i=1}^n f({x_i}^\ast)\dfrac{1}{n}= \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{n}=1$ olarak bulunur. Diğer taraftan, $f({x_i}^\ast)$ ‘nin en küçük değeri olan 0’ı kullandığımızda, Riemann toplamı $\sum_{i=1}^n f({x_i}^\ast)\dfrac{1}{n}=0$ olur. Bu iki toplam birbirinden farklı olduğundan, $f$ fonksiyonunun Riemann integrallenebilir olmadığını söyleyebiliriz. İşte Riemann integralinin diğer bir zayıf yönü de, sürekliliğe olan bağlılığıdır. Her sürekli fonksiyonun Riemann integrallenebilir olduğunu biliyoruz. Fakat karşımıza, Dirichlet fonksiyonu gibi sürekli olmayan bir fonksiyon çıktığında, bir integrallenebilme sorunu yaşamamız mümkündür. Bu problem, dikdörtgenlere ayırma işleminin imkansız göründüğü, Volterra fonksiyonu gibi patolojik fonksiyonlarda da karşımıza çıkacaktır.

Son olarak, Riemann integralinde, integral ve limit operasyonlarının sırasını kafamıza göre değiştirmenin mümkün olmadığını söyleyebiliriz. Yani bir $[a,b]$ aralığı üzerinde tanımlı, $\{{f_n}(x)\}_{n\in \mathbb{N}}$ sürekli fonksiyonlar dizisi verildiğinde

$\lim_{n\to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} \lim_{n\to \infty} f_n(x) dx$

eşitliğinin sağlanması için, bu fonksiyon dizisinin düzgün yakınsak olması gerekir.

Karşılaşılan tüm bu sorunları ve Riemann integralinden daha genel bir integrale neden ihtiyaç duyulduğunu anladığımıza göre, artık Lebesque integralinin elde ediliş yöntemine geçebiliriz. Riemann integralini anlatırken, ele aldığımız fonksiyonların tanım kümelerinin değişebileceğinden bahsetmiştik. Fakat dikkat edersek, tüm bu fonksiyonların görüntü kümesi $\mathbb{R}$ oluyor, yani aslında her biri reel değerli birer fonksiyon. O halde tanım kümesini parçalara ayırmak yerine, hiçbir zaman değişmeyen görüntü kümesini parçalara ayırmak gayet mantıklı bir yaklaşım olacaktır.

Yukarıdaki şekilde gösterilen $f(x)$ fonksiyonunu ele alalım. Burada x-ekseni $f$ ‘nin tanım kümesini temsil etsin. Yani burası sadece reel sayılar değil, herhangi bir $\mathbb{R}^n$ ya da soyut bir $X$ uzayı da olabilsin. Diğer taraftan y-ekseni $f$ ‘nin görüntü kümesini temsil ettiği için, onu reel eksen olarak ele alalım. Şimdi, y-eksenini parçalara ayıralım ve $f(x)$ fonksiyonunun her bir aralıkta ön görüntüsünü aldığımızı düşünelim. Yukarıdaki şekilde, iki aralığın birleşimi olan $A$ kümesi, fonksiyonun, $[c_{i-1}, c_i]$ aralığında kalan kısmının ön görüntüsüdür. Riemann integralini oluştururken, x-ekseni üzerinde elde ettiğimiz her bir parçanın görüntüsünü bulmuştuk ve fonksiyonumuz sürekli olduğundan, bu görüntülerin her biri bağlantılı bir küme olmuştu. Fakat görüyoruz ki, burada $A$ kümesi bağlantılı bir küme değil. Peki acaba $A$ kümesinin büyüklüğü, ya da ölçüsü nedir? Tanım kümesi $\mathbb{R}$ olsaydı uzunluğunu, $\mathbb{R}^2$ olsaydı alanını, $\mathbb{R}^3$ olsaydı hacmini ölçebilirdik. Fakat burada, birbirinden farklı her tanım kümesi için ayrı ayrı işlem yapmamak adına, genel bir ölçü tanımına ihtiyacımız olacaktır. Yani daha kapsamlı bir integral elde etmek istiyorsak, herhangi bir $X$ uzayında, kümelerin nasıl ölçülebileceğine dair bir tanımımız olması daha çok işimize yarayacaktır. Bu da bizi ölçü nedir, ölçü uzayı nasıl bir uzaydır gibi sorulara götürür. Bu kavramları daha detaylı öğrenmek isteyenler buradan devam edebilirler. Biz kabaca, ölçünün, bir $\sigma$ -cebiri üzerinde tanımlı ve belli özelliklere sahip bir dönüşüm olduğunu söyleyip yolumuza devam edelim. Elimizdeki $f$ fonksiyonun bir $\mathcal{M}$ ölçü uzayı üzerinde tanımlı olduğunu varsayalım ve bir $A$ kümesinin ölçüsünü $\mu(A)$ ile gösterelim.

$E_i=\{x : c_{i-1}\leq f(x) \leq c_i\}$ ve ${x_i}^\ast \in E_i$ herhangi bir nokta olmak üzere, genelleşmiş dikdörtgenlerin alanları toplamı $\sum_i f({x_i}^\ast)\mu(E_i)$ olacaktır. Bundan sonraki süreç tıpkı Riemann integralinde olduğu gibi işler. Örneğin $c_i$ ‘lerin seçimine göre alt ve üst toplamlar oluşur. Ekseni daha sık parçalara ayırmak ve tabii ki limit almak bizi Lebesque integralinin tanımına götürür:

$\int f(x) d\mu = \sum_i f({x_i}^\ast)\mu(E_i)$

Diyelim ki cebimizde bir miktar para var ve ne kadar olduğunu öğrenmek istiyoruz. Riemann integrali paraları cebimizden rastgele çıkarıp toplamaya benzer. Lebesque integrali ise, paraları önce türlerine göre sıralayıp (1 lira, 5 lira vs.) her birinden kaç tane olduğunu belirlemek ve her bir paranın değeri ile miktarını çarpıp daha sonra bunları toplamak gibidir.

Riemann integrallenebilir her fonksiyonun Lebesque integrallenebilir olduğunu söyleyebiliriz. Riemann integralinden daha genel olan bu integral sürekliliğe bağlı değildir, çünkü fonksiyonun süreksiz olduğu noktaların kümesini ölçmek mümkündür. Örneğin sonsuz adet süreksizlik noktası varsa ve bu noktaların kümesinin ölçüsü sıfırsa, bu durum integralimizin sonucunu etkilemez.

Bu arada, biraz önce Riemann integrallenebilir olmadığını gördüğümüz Dirichlet fonksiyonu Lebesque integrallebilirdir. Çünkü, yine kabaca anlatmak gerekirse, burada reel sayıların sayılabilir bir alt kümesi olan $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ ‘in Lebesque ölçüsü sıfırdır. Diğer taraftan $\mu(\mathbb{I}\cap [0,1])=1$ ‘dir ve böylece $\int_{0}^{1} f(x) d\mu=1\times \mu(\mathbb{Q}\cap [0,1])+0\times \mu(\mathbb{I}\cap [0,1])=0$ olarak bulunur.

Lebesque integrali, limit ile integral operatörlerinin yer değiştirilmesi ile ilgili de güzel sonuçlar ortaya koyar. Monoton Yakınsaklık Teoremi, Baskın Yakınsaklık Teoremi ve Fatou Lemma, bu yer değişimi ile ilgili üç farklı teoremdir.

Richard W. Hamming, “Lebesgue ve Riemann integralleri arasındaki farkın fiziksel bir anlamı olabileceğine, örneğin bir uçağın uçup uçmayacağının bu farka bağlı olabileceğine inanan var mı? Böyle bir iddia varsa, o uçakta uçmak umurumda değil” diyerek, bu iki integral arasındaki farkın gündelik hayatta pek de önem arz etmediğini iddia etmiştir. Fakat Lebesque integralinin olasılık teorisi, harmonik analiz birçok farklı teoriye ve uygulamaya katkısı vardır. Bu konuyla ilgili bir savunma metnine ise buradan ulaşmak mümkündür.

Kaynaklar
1) https://www.youtube.com/watch?v=PGPZ0P1PJfw
2) https://math.berkeley.edu/~brent/files/lebesgue_integral.pdf
3) https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum
4) https://calcworkshop.com/integrals/riemann-sum/
5) T. Gowers June Barrow-Green, Imre Leader, The Princeton companion to mathematics, Princeton University Press, 2008.
6) https://www.quora.com/What-is-the-intuitive-idea-behind-Lebesgue-integration-as-opposed-to-Riemann-integration
7) https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-algebra

Ütopya Sevenlere: Düzülke

Posted on 24 Şubat 2022 by esrakorkmaz

Cevapla

“Eğer bile bile gücünüz yettiğinden daha azını olmayı planlıyorsanız; sizi uyarırım, hayatınızın geri kalan kısmında mutsuz olacaksınız. Kendi yeteneklerinizden ve olanaklarınızdan kaçıyor olacaksınız.” Abraham Maslow

Beynimiz sadece üç boyuta sıkışmış olsa da, algılarımız bize yeni kapılar açıyor ve daha yüksek boyutların varlığından bile bahsedebiliyoruz. Örneğin Süper Sicim Teorisi evrenin 10 boyutlu olduğunu, M-teorisi ise 11 boyutlu olduğunu öne sürerken; Bozonik Sicim Teorisi 26 boyutun var olduğu fikrini ortaya koyuyor. İşte tüm bunlar bize, insanın sınırları aşma potansiyelini ve hevesini gösteriyor.

Yüksek boyutlardan ve onları nasıl algılayabileceğimizden bahsetmeden önce, boyutun ne olduğuna bir bakalım. Bunun için, elimizdeki matematiksel nesneden (doğru, düzlem, küre vs.) bir nokta alalım ve bu noktayı belirlemek için ihtiyacımız olan minimum koordinat sayısını düşünelim. İşte bu sayı bize, o nesnenin kaç boyutlu olduğunu söyleyecektir. Örneğin, bir düzlem üzerinde alınan bir noktayı ifade etmek için iki, bir küre üzerinde alınan bir noktayı ifade etmek için ise 3-koordinata ihtiyaç vardır.

Burada tüm koordinat eksenlerinin birbirine dik olduğuna dikkat edelim. 4-boyutlu bir nesneyi görselleşirmek için 4 adet koordinat eksenine ihtiyaç vardır ve tabii ki bu 4. eksen, diğer üçüne dik olmalıdır. Bunu anlamak pek de mümkün gibi görünmüyor, ama biz en azından, küpün 4-boyutlu bir analoğu olan tesseract‘ın neye benzediğini algılamaya çalışalım.

Tesseract, téssara-aktís yani dört-doğru demektir. Çünkü 3-boyutlu bir nesne olan küpte, her bir köşeden çıkan doğru sayısı üç iken, 4-boyutlu tesseractta bu sayı dörttür. Bir küp nasıl karelerden oluşuyorsa, tesseract da küplerden oluşur ve açıldığında tam olarak şöyle bir şeye benzer:

Tessaract’ın ne kadar popüler olduğunu anlamak için, birçok Marvel filminde yer aldığını ve Yıldızlararası (Interstellar) filmindeki Tesseract sahnesini hatırlamak yeterli olacaktır sanırım.

4. boyuttan bahsetmişken, “zaman” boyutundan bahsetmeden geçmek olmaz. Zaman da bir boyuttur, çünkü bir nesnenin uzaydaki yerini kesin olarak belirleyebilmek için zaman parametresine de ihtiyaç vardır. Bunu anlamak için, bir A noktasından B noktasına hareket ettiğimizi düşünelim. Aynı anda hem A hem de B noktasında olmamız mümkün değildir, yani konumumuz değişirken aslında zaman koordinatında da bir değişiklik yapmış oluruz. Tabii bu boyutta hareket, asla geriye doğru değil, sadece ileriye doğru olacaktır. Burada ilginç olan, uzayda ne kadar hızlı hareket edersek, zamanda o kadar yavaş hareket ettiğimiz, yani az yol katettiğimizdir. Demek ki ışık hızına ulaşabilmiş olsaydık, zaman boyutunda hiç hareket etmemiş olurduk. Uzmanı olmadığım bu konuda daha derine girmeyeceğim. Tüm bu anlattıklarım, zaman ve uzayın birbirinden ayrılamaz olduğunu ve zamanın da bir boyut olarak düşünülmesi gerektiğini görmek içindi.

Dördüncü boyut fikri aslında çok da yeni değildir. Örneğin Henry More 1659 tarihli Ruhun Ölümsüzlüğü (The Immortality of the Soul) isimli kitabında, ruhun dördüncü boyutta olduğundan bahsetmiştir. D’ Alambert 1754, Lagrange ise 1797 yılında dördüncü boyut kavramından dem vurmuşlardır. Zamanın dördüncü boyut olduğu fikrine ise, bilim kurgunun babası olarak bilinen H.G. Wells’in, 1895 yılında yazdığı Zaman Makinası kitabında yer verilmiştir:

“Zaman Gezgini, “Açıkçası,” diye sözünü sürdürdü, “herhangi bir gerçek cismin dört yönde uzantısı olmalıdır: Uzunluğu, Genişliği, Kalınlığı ve Sürekliliği olmalıdır. Ama insan doğasının birazdan açıklayacağım bir zaafı yüzünden görmezden gelmeye yatkınızdır. Aslında dört boyut vardır, bunların üçüne Uzay’ın üç düzlemi diyoruz, dördüncü boyut ise Zaman’dır. Ama ilk üç boyut ile dördüncü boyut arasında gerçekdışı bir ayrım yapma eğilimindeyizdir, bunun nedeni bilincimizin hayatımızın başından sonuna kadar bu dördüncü boyut boyunca kesik kesik ilerliyor olmasıdır.”

Dördüncü boyutu daha iyi kavramak için, önce iki boyutta yaşayanların dünyasını ziyaret edelim ve onların üçüncü boyutu nasıl algıladıklarına bir bakalım. Bunu yaparken başvuracağımız kaynak Edwin Abbott Abbott‘ın, Türkçe’ye Düzülke ismiyle çevrilmiş ve ilk olarak 1884 tarihinde yayınlanmış olan Flatland: A Romance of Many Dimensions kitabı olacak.

İsminden de anlaşılacağı gibi, Düzülke aslında 2-boyutlu bir dünya. Baş kahramanımız Kare, sakinleri düz çizgiler, üçgenler, kareler, beşgenler, altıgenler ve daha başka şekiller olan bir düzlemde yaşıyor. Şimdi kendimizi onun yerine koyalım. Karşıdan gelen bir Düzülke sakinine, örneğin bir beşgene baktığımızda, onu sadece bir çizgiden ibaret olarak görürüz. Bu nedenle bir şekli diğerinden ayırt edebilmek pek de mümkün değildir.

Fakat Düzülke sakinlerinin bunu anlamak için, sesleri ayırt etme gibi bazı yöntemleri vardır. Bu arada kitap sadece boyut kavramını değil, ülkenin iklimi, evleri ve sakinleri gibi konularda da detaylı bilgiler ve gerçekten güzel bir kurgu içeriyor.

Fazla uzatmayalım, onların takvimiyle 1999 yılının son günü, bizim Kare gaipten bir ses duyar. Daha sonra ise önünde, sürekli olarak büyüklüğü değişen bir şekil belirir.

Bazen tek bir nokta, bazense bir çembere benzeyen bu şekil, uzaydan geldiğini söyler ve uzayın aslında 3-boyutlu olduğunu iddia eder. Bir Uzayülke sakini olan bu kürenin olağanüstü güçleri de vardır. Mesela bir Düzülke sakininin kapalı kabul ettiği şeylerin içini görebilir. Kapalı bir kareye yukarıdan bakan biri olarak bunu anlamamız oldukça kolay değil mi? İlk başta Küre’yi bir sahtekar olmakla suçlayan Kare, Uzayülkeyi ziyaret eder ve atası olan Küp de dahil olmak üzere birçok 3-boyutlu cisim ile tanışır:

Ne olduklarını tam olarak algılayamasa da, Uzayülke sakinlerinin varlığına inanan kare, işi biraz daha ileri götürür ve Küre’den, ona dört boyut ülkesinden bahsetmesini ister. Fakat ilginçtir ki, Küre ona, böyle bir şeyi aklın almadığını ve bunun bir saçmalık olduğunu söyler.

Küre’nin saçmalık olarak nitelendirdiği dördüncü boyutu anlamak için, Abbott’un, çağının ötesinde olduğunu düşündüğüm bu kitabını mutlaka okumanızı öneririm. Çünkü Düzülke, üçüncü ve dördüncü boyut arasındaki ilişkinin mükemmel bir analojisidir.

Aslında bizler de, özellikle kalkülüs derslerinde, 3-boyutlu bir nesnenin neye benzediğini anlayabilmek için, o nesneyi, farklı seviyelerde yaşayan Düzülke sakinlerinin gözünden görmeye çalışıyoruz. Bunun için, $z=f(x,y)$ fonksiyonuyla verilen nesnemizi, $z=c$ düzlemleriyle kesiyoruz ve her bir kesişimde elde ettiğimiz şekle, bir seviye eğrisi (level curve) diyoruz. (Tabii nesneyi daha iyi tanımak için, aynı zamanda $x=c$ ve $y=c$ düzlemleri ile kesmeyi de ihmal etmiyoruz.) Sonuç olarak 3-boyutlu cismimiz, tüm bu kesişim eğrilerinin üst üste konmasıyla oluşan bir cisim oluyor.

Benzer şekilde, $w=f(x,y,z)$ ile verilen 4-boyutlu bir nesneyi anlamak için, bu cismi $w=c$ ‘lerle keserek, $c=f(x,y,z)$ yüzeylerini elde ediyor ve elde ettiğimiz şekillere birer seviye yüzeyi (level surface) diyoruz.

Boyut konusu, bu kadar az bilgiyle sınırlandırılamayacak kadar geniş ve zihnimizi alt üst edecek kadar karışık. Fakat yine de daha fazla şey görmek/öğrenmek isteyenler için aşağıdaki videolar iyi bir başlangıç olacaktır.
https://www.youtube.com/watch?v=Q_B5GpsbSQw

https://www.youtube.com/watch?v=YMuc3m4wnZE

KAYNAKLAR
1) F. Cajori, Origins of Fourth Dimension Concepts, The American Mathematical Monthly 33(8), 397-406,1926.
2) Edwin Abbott Abbott, Düzülke, Alfa Yayınları, 2015.
3) https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract
4) https://plato.stanford.edu/entries/henry-more/

Explained: Arşimet (Archimedean) Özelliği

Posted on 11 Şubat 2022 by esrakorkmaz

Matematikte, kendisinden uzun uzun bahsedilmeyen, ne işe yaradığı çok da bilinmeyen, fakat aslında kanıksadığımız birçok gerçeğin nedenini anlamamıza yardımcı olan, ve hatta çoğu ispatta alttan alta kullanılan bazı temel özellikler vardır. İşte şimdi, bu özelliklerden biri olan Arşimet (Archimedean) özelliğinden bahsedeceğiz. Küçük bir uyarı: Anlatacağım özelliğin meşhur “Eureka Anı” ile hiçbir ilgisi yok. Avusturyalı matematikçi Otto Stolz’un bu özelliğe “Arşimet özelliği” demesinin sebebi, orijinal halinin, Arşimet’in Küre ve Silindir Üzerine isimli çalışmasında V. aksiyom olarak bulunması.

Aksiyomun orijinal ve günümüzdeki ifadesinden bahsetmeden önce geniş bir terminolojiye ihtiyacımız olacak. O halde işin en temeline inelim ve işe, sıralı cisimlerin tanımı ile başlayalım.

Bir $S$ kümesi üzerinde bir sıralama (order), aşağıdaki özellikleri sağlayan bir $<$ bağıntısıdır:
$\bullet$ Her $x,y\in S$ için $x<y, x=y$ ya da $y<x$ ‘dir.
$\bullet$ Her $x,y,z\in S$ için $x<y$ ve $y<z$ ise $x<z$ ‘dir.

Bir $<$ sıralaması için, $x\leq y$ gösterimi $x<y$ ya da $x=y$ anlamına gelirken; $x>y$ gösterimi, $y<x$ ‘in bir diğer ifade ediliş biçimidir.

Şimdi $(F,+, .)$ bir cisim ve <, $F$ üzerinde bir sıralama olsun. Eğer bu sıralama, her $x,y,z\in F$ için
1) $x<y$ ise $x+z<y+z$ ,
2) $0<x$ ve $0<y$ ise $0<x.y$
özelliklerini sağlanıyorsa $F$ ‘ye bir sıralı cisim denir. Örneğin reel sayılar, üzerindeki bilinen sıralama ile bir sıralı cisimdir. Fakat kompleks sayılar üzerinde bu özelliklere sahip bir sıralama tanımlanamaz. Peki neden? Eğer böyle bir sıralama olsaydı, $i\neq 0$ olduğundan, sıralamanın özelliğinden dolayı, elimizde iki durum olurdu:
(i) i>0: Öncelikle 2’den $i.i=i^2=-1>0$ olur. Burada yine aynı özellik kullanılırsa, 1=(-1).(-1)>0 elde edilir ve bu iki durum birbiriyle çelişir.
(ii) i<0: Bu durumda 1’den $0=i+(-i)<0+(-i)=-i$ ve böylece 2’den $0<(-i).(-i)=(-1).i.(-1).i=1.i^2=-1$ olur. Burada yine 1’i kullanırsak, $1=0+1<(-1)+1=0$ elde ederiz. Diğer taraftan (i)’de gösterildiği gibi $1>0$ olacaktır, ki bu iki durum birbiriyle çelişir.

Şimdi özel bir sıralı cisim olan ve sıralı olmasının yanı sıra tamlık (completeness) gibi bir özelliği sağlayan reel sayılarla devam edelim. Bunun için önce üstten sınırlılık ve supremum kavramlarının neyi ifade ettiğinden bahsetmek gerekir. İsminden de anlaşılacağı gibi, bir $S\subseteq F$ altkümesi verildiğinde, her $x\in S$ için $x\leq b$ olacak şekilde bir $b\in F$ bulunabiliyorsa, $S$ kümesi üstten sınırlıdır denir. Tabii bu durumda $b\in F$ , $S$ kümesi için bir üst sınır olarak adlandırılır. Örneğin $S=(0,1)\subseteq \mathbb{R}$ kümesi için $b=1, b=2.5, b=125$ gibi elemanların her biri birer üst sınırdır. İşte biz bu üst sınırların en küçüğüne S kümesinin supremumu (ya da kısaca $sup S$ ) diyeceğiz. $S=(0,1)$ kümesi için $sup S=1$ olduğuna dikkat edelim. Bu örnek sayesinde bir kümenin supremumunun kümenin içinde olması gerekmediğini de görebiliriz.

İşte tamlık aksiyomu (ya da diğer ismiyle, en küçük üst sınır özelliği) diyor ki “Üstten sınırlı her kümenin bir supremumu vardır”

Tamlıkla ilgisi olmasa da, hazır yeri gelmişken supremum ve maksimum arasındaki farktan da bahsetmek gerekir. Maksimum, kümeye ait olan en büyük elemandır ve küme üstten sınırlı bile olsa, her zaman var olması gerekmez. Yine $(0,1)$ kümesini ele alırsak, bu kümenin bir maksimum elemanının olmadığını söyleyebiliriz. Çünkü hem bu kümede ikamet edip, hem de kümedeki her elemandan daha büyük olan bir eleman bulunamaz. Fakat eğer elimizde $S=(0,1]$ kümesi olsaydı, burada $sup S=maks S=1$ olduğunu söyleyebilirdik. Genel olarak bir $S$ kümesinin maksimumu varsa, $maks S=sup S$ olacağına dikkat edelim.

Reel sayılar tamlık özelliğini sağlar ve hatta tamlık aksiyomunu sağlayan her sıralı cisim birbirine izomorf olduğundan, reel sayıların, bu özelliğe sahip tek sıralı cisim olduğu söylenilebilir. Ama örneğin rasyonel sayılar tamlık aksiyomunu sağlamaz. Bunu görmek için $S=\{r\in \mathbb{Q} : r^2<2\}\subseteq \mathbb{Q}$ alt kümesini ele alalım. Öncelikle $1\in S$ olduğundan üzerinde çalışacağımız bu küme boştan farklıdır, yani ispat yaparken boşa kürek çekmiş olmayız. Ayrıca $r\in S$ için $r^2<2<16$ olduğundan $r<4$ olur. Yani kümenin bir üst sınırı vardır. Şimdi tersine, $sup S=b$ var olduğunu kabul edelim. Rasyonel sayılar sıralı bir cisim olduğundan $b^2=2$ , $b^2<2$ ya da $b^2>2$ olmalıdır. Fakat;

$\bullet$ $q^2=2$ özelliğine sahip bir $q\in \mathbb{Q}$ olmadığından $b^2=2$ olamaz.

$\bullet$ $b^2<2$ ise, rasyonel sayılar reel sayılarda yoğun olduğundan $b<q<\sqrt{2}$ olacak şekilde bir $q\in \mathbb{Q}$ vardır. Ayrıca, $q^2<2$ olduğundan $q\in S$ olması gerekir. Fakat bu durumda, kümenin bir üst sınırı olan $b$ ‘den daha büyük bir eleman bulunmuş olur ve bu durum bir çelişkiye yol açar.

$\bullet$ $b^2>2$ ise, $b>q>\sqrt{2}$ olacak şekilde bir $q\in \mathbb{Q}$ vardır. Burada $q^2>2$ olduğundan, $S$ kümesinin tanımı gereği, her $r\in S$ için $r<q$ ‘dir. Bu da aslında $q$ ‘nun $S$ için bir üst sınır olması anlamına gelir. Fakat bu durum yine bir çelişkiye yol açar, çünkü $b>q$ olduğundan, en küçük üst sınır olan $b$ ‘den daha küçük bir üst sınır bulunmuş olur.

Sonuç olarak üstten sınırlı $S$ kümesinin bir supremumu yoktur ve bu nedenle $\mathbb{Q}$ tamlık özelliğini sağlamaz.

Şu an Arşimet özelliğinden bahsetmek için gereken tüm bilgilere sahibiz:

$F$ bir sıralı cisim ve $x,y\in F$ , $x>0$ olmak üzere, $nx>y$ olacak şekilde bir $n\in \mathbb{N}$ varsa, $F$ cismi Arşimedyandır ya da Arşimet özelliğini sağlar denir.

The Archimedean Property - Infinity is Really Big

Arşimet’in orijinal metninde bu özellik $x,y$ sayılarıyla değil de, doğal olarak, büyüklüğü birbirine eşit olmayan iki doğru, yüzey ya da katılar yardımıyla ifade edilmiştir. İzini sürebildiğimiz ilk hali ise, bir önceki yazıda bahsettiğimiz Eudoxus’a aittir.

Arşimet özelliğini sağlamayan bir sıralı bir cisimde, her $\mathbb{N}$ için $n\epsilon<y$ olacak şekilde $\epsilon>0$ sayıları vardır. Dikkat edersek bu sayılar, ne kadar büyük doğal sayılarla çarpılırlarsa çarpılsın, sistemdeki hiçbir sayıyı aşamayacak kadar küçüktür. Yani aslında bu sayılar sonsuz küçük sayılardır. Dolayısıyla, Arşimet özelliğini sağlayan sıralı cisimlerde sonsuz küçük sayılara yer yoktur diyebiliriz.

Şimdi reel sayıların Arşimet özelliğini sağladığını görelim: Bunun için tersine, reel sayıların bu özelliğe sahip olmadığını, yani her $n\in \mathbb{N}$ için $nx< y$ olacak şekilde $x,y\in\mathbb{R}$ , $x>0$ sayılarının olduğunu kabul edelim. Bu durumda $A=\{nx : n\in \mathbb{N}\}$ kümesi $y$ ile üstten sınırlıdır. Bu nedenle, $\mathbb{R}$ ‘nin tamlık özelliğinden $b=sup(A)$ vardır. Burada $b-x<b$ olduğundan $b-x$ bu küme için bir üst sınır olamaz. Çünkü en küçük üst sınır $b$ ‘dir ve bundan daha küçük olan bir sayının üst sınır olması beklenemez. Şimdi aklımızda bir sayı doğrusu çizelim ve $A$ kümesini burada bir aralık gibi düşünelim. $b-x$ , $A$ kümesini üstten sınırlamıyorsa bu şu anlama gelir: $A$ ‘nın, $b-x$ ‘den büyük olan en az bir elemanı olmalıdır. Yani, $b-x<mx$ olacak şekilde bir $m\in \mathbb{N}$ vardır. Bu son eşitsizlikle biraz oynarsak, $b<mx+x=(m+1)x$ elde ederiz. Burada, $A$ kümesinin tanımı gereği $(m+1)x\in A$ olması gerekir. Fakat $A$ ‘nın bir elemanı nasıl olur da $b=sup A$ sayısından daha büyük olabilir? Demek ki bu durum bize bir çelişki verir ve bizi bu çelişkiye ulaştıran kabulün yanlış olduğunu söyleyebiliriz. Yani, reel sayılar Arşimedyandır.

Son olarak, bu özelliğe sahip olmayan sıralı cisimlerin var olduğuna dair bir örnekle konuyu kapatalım. $\mathbb{R}[x]$ , katsayıları reel sayılar olan tüm polinomların kümesini göstersin. Öncelikle, $\mathbb{R}$ bir cisim olduğundan, $\mathbb{R}[x]$ bir halkadır. Şimdi bu halkayı kullanarak, rasyonel polinomlar cismini inşa etmeye çalışalım. Bunun için, $\mathbb{R}(x)=\{\frac{p(x)}{q(x)} : p(x),q(x)\in \mathbb{R}[x], q(x)\neq 0\}$ kümesini tanımlayalım. Burada, rasyonel polinomların en sade hallerinde olduklarını ve $q(x)$ ‘in baş katsayısının 1 olduğunu kabul edelim (değilse bile, bu forma getirmek mümkündür.) İşte bu yolla edilen $\mathbb{R}(x)$ bir cisimdir. Bu cisimde bir $\frac{p(x)}{q(x)}$ elemanının pozitif olması için gerek ve yeter koşul, $p(x)$ ‘in baş katsayısının (yani en yüksek dereceli teriminin katsayısının) pozitif olması olsun. Pozitif elemanlar yardımıyla, $\mathbb{R}(x)$ üzerinde, “ $P, Q\in \mathbb{R}(x)$ için $P<Q \Leftrightarrow Q-P>0$ ” biçiminde bir sıralama tanımlayabiliriz.

Şimdi $h(x)=\frac{x}{1}\in \mathbb{R}(x)$ olsun ve Arşimet özelliğinin sağlanmadığını görmek için $h(x),1\in \mathbb{R}(x)$ ikisini ele alalım. Her $n\in \mathbb{N}$ için $h-n1=\frac{x-n}{1}$ pozitif, yani $h-n1=\frac{x-n}{1}>0$ olduğundan $n1<h$ olacaktır. İşte bu nedenle $\mathbb{R}(x)$ Arşimedyan değildir.

Farkında olmasak da Arşimet özelliğini birçok ispatta kullanıyoruz. Ama genelde yukarıdaki ifadeyi değil de, ona denk olan “Her $\epsilon>0$ için $\frac{1}{n}<\epsilon$ olacak şekilde bir $n\in \mathbb{N}$ vardır” ifadesini. En basitinden $\frac{1}{n}$ dizisinin limitinin 0 olduğunu ya da doğal sayıların üstten sınırlı olmadığı gösterirken bile bu özelliği kullanmamız gerekiyor. Oldukça uzun bir yazı olduğu için ispata girmeyelim ama sebebini merak edenler için buraya bırakalım. Son olarak teoremin tüm diğer sonuçlarını görmek isteyenler ise buraya bir göz atabilirler.

Kaynaklar
1) https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_field
2) https://infinityisreallybig.com/2021/01/19/definitions-of-ordered-set-and-ordered-field/
3) https://infinityisreallybig.com/2021/06/07/the-archimedean-property/
4) https://www.stumblingrobot.com/2015/07/02/prove-that-the-rationals-satisfy-the-archimedean-property-but-not-the-least-upper-bound-axiom/
5) https://www.mathcounterexamples.net/a-non-archimedean-ordered-field/
6) https://www.uobabylon.edu.iq/eprints/paper_12_27257_140.pdf
7) https://www.impan.pl/~pmh/teach/algebra/additional/nonarchimedian.pdf
8) http://users.uoa.gr/~apgiannop/Sources/Hjelmslev-1950-Centaurus.pdf

Sonsuz Küçükler: “Epiyce yaklaşmışım, duyuyorum, anlatamıyorum”

Posted on 3 Şubat 2022 by esrakorkmaz

Cevapla

$\Delta x=x-x_0$ , $x$ -koordinatındaki, $\Delta y=y-y_0$ ise $y$ -koordinatındaki değişimi göstermek üzere, bir doğrunun eğiminin $\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{y-y_0}{x-x_0}$ olduğunu biliyoruz. Peki bir eğrinin eğimi ile neyi kastediyoruz? Yani örneğin $y=x^2$ parabolünün belli bir noktada eğimini bulmak ne anlama gelir? İşte bunu anlamak için önce sonsuz küçüklerin dünyasına bir giriş yapmamız gerekir.

$P=(x_0,y_0)$ ve $Q=(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$ bu eğri üzerinde alınmış iki farklı nokta olmak üzere, eğrinin bu noktalar arasındaki ortalama eğimi (ya da değişimi) $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ‘dir. Yani aslında bu iki noktadan geçen doğrunun eğimine eşittir. Şimdi Pisagor teoreminden bu eğimin neye eşit olduğunu bulalım.

Öncelikle $P$ ve $Q$ noktaları bu eğri üzerinde olduğundan, $y_0={x_0}^2$ ve $y_0+\Delta y=({x_0+\Delta x})^2$ eşitliklerinin sağlandığını söyleyebiliriz. Burada 2.eşitliği 1. ‘den taraf tarafa çıkarırsak,

$y_0+\Delta y-y_0=\Delta y=({x_0+\Delta x})^2-{x_0}^2=2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2$

elde ederiz. Bu durumda ortalama eğim $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=2 x_0 + \Delta x$ olur. Burada son eşitliği yazmak, yani $\Delta x$ ‘leri sadeleştirebilmek için, $\Delta x\neq 0$ koşulunun sağlanması gerektiğine dikkat edelim. Çünkü aksi halde $\frac{0}{0}$ belirsizliği ile karşılaşırız.

Peki acaba $P=(x_0, y_0)$ noktasındaki eğimi nasıl bulabiliriz? Tamam, $\Delta x$ yine 0’dan farklı olsun, ama 0’a da çok yakın olsun. Yani o kadar küçük olsun ki, $Q$ noktası $P$ noktasının iyice yakınında bulunsun. İşte bu durumda, 0’a çok yakın olan bu $\Delta x$ sayısını ihmal ederek, $P$ noktasındaki eğimin $2 x_0$ değerine oldukça yakın olacağını söyleyebiliriz. Bu durumda örneğin $(2,4)$ noktasındaki eğim yaklaşık olarak 4’e eşit olacaktır.

Burada asıl sorun bu “ihmal etme” işini neye göre yaptığımız. Yani hangi sayılar ihmal edilecek kadar küçük, hangileri değildir? İşte bir matematikçi olarak bize düşen, her zaman yaptığımız gibi, buna bir standart getirmek ve bir tanım yapmaktır.

Eğer her $a\in \mathbb{R}$ için $-a<\epsilon <a$ oluyorsa, bu $\epsilon$ sayısına sonsuz küçük (infinitely small, infinitesimal) denir.

Burada, sonsuz küçüklerin birer reel sayı değil, her pozitif reel sayıdan daha küçük olan yeni bir sayı türü olduklarına dikkat edelim. Farklı isimlerle de olsa, sonsuz küçük kavramının kullanımı çok eskilere dayanır. Arşimet ve hatta ondan yaklaşık iki asır önce Eudoxus, eğrilerle sınırlı bir bölgenin alanını bulmak için, bu bölgeyi, alanı bilinen küçük ve oldukça fazla bölgeyle doldurma yöntemini kullanmışlardır. Hatta ileri Analiz derslerinden tanıdık gelecek ve bir sonraki yazıda bahsedeceğimiz Arşimet (Archimedean) özelliği de aslında yine sonsuz küçüklerle ilgilidir. Bu özelliği sağlayan (örneğin reel sayılar gibi) bir sistemde sonsuz küçükler yoktur.

17. yüzyılda büyük gökbilimci Johannes Kepler, ikinci düğünü için malzeme satın alırken, tüccarların şarap fıçısının içindeki şarap miktarını belirlemek için kullandıkları yanlış yöntemlerden memnun kalmamıştır. Bunun üzerine, konik kesitlerin bazı eksenler etrafında döndürülmesiyle elde edilen yaklaşık 100 dönel cismin hacmini bulmaya çalışmıştır.

Kepler, hacim hesabı yapmak için sonsuz küçük geometrik nicelikler kullanmıştır. Örneğin, şarap fıçısının her biri silindir olan tabakalardan oluştuğunu düşünmüş ve hacmini hesaplamak için bu tabakaların hacimlerini toplamıştır.

Kepler’in bu buluşu ışığında, İtalyan matematikçi Bonaventura Cavalieri, 1635 yılında alanları ve hacimleri hesaplamak için bölünmezler (indivisibles) yöntemini ortaya koymuştur. Bölünmezler, bulunduğu cismin/şeklin bir boyut düşüğünde yaşarlar. Örneğin, bir kitabın sayfalarını iki boyutlu olarak düşünürsek, bu iki boyutlu bölünmezler yardımıyla üç boyutlu bir kitabın hacmini hesaplayabiliriz. Tıpkı günümüzde integral hesabında yaptığımız gibi.

Sonsuz küçükler, Newton ve Leibniz’in kalkülüsünde de kullanılmışlardır. Örneğin diferansiyel dediğimiz şey aslında bir değişkendeki sonsuz küçük değişimleri temsil eder. Aşağıdaki videoda, limit kullanmadan, sadece sonsuz küçükler yardımıyla $\sin(x)$ fonksiyonunun türevinin $\cos x$ olduğunun gayet güzel bir ispatı mevcut. Newton, Leibniz ve sonrasında gelen birçok kişi, kalkülüse tıpkı bu şekilde, yani sonsuz küçüklerin işin içinde olduğu sezgisel yollarla yaklaşmışlardır.

Sonsuz küçük kavramı öyle sezgiseldir ki, var olduklarını kabul etsek bile tam olarak ne oldukları hakkında bir fikir sahibi olamayız. Yani öyle bir şey ki; “Bir sayı var biliyoruz. Epiyce yaklaşıyoruz, duyuyoruz, anlatamıyoruz.” Şu an bile aklımızı böylesine zorlayan bu kavram, haliyle o zamanlar da birçok itiraza sebep olmuştur. Örneğin George Berkeley, The Analyst isimli kitabında sonsuz küçükleri “ölmüş niceliklerin hayaletleri” olarak tanımlamıştır ve ayrıca

“Ne kadar küçük olursa olsun bir şey ihmal ediliyorsa, hızın kesin bir değere değil ancak yaklaşık bir değere sahip olduğunu söyleyebiliriz. (…) Artışların yok olduğunu varsayıyorsak, artışların var olduğu yönündeki ilk varsayım terk edilmiş demektir, bu durumda o ilk varsayımın sonuçlarından biri sayesinde elde edilmiş bir sonuçla karşılaşırız, ki bu da yanlış bir akıl yürütmedir.”

diyerek tepkisini ortaya koymuştur. Fakat biliyoruz ki, tüm bu itirazlara rağmen, sonsuz küçüklere dayalı integral ve türev hesabı şuan bile geçerliliğini koruyor. Hatta Abraham Robinson sayesinde, bugün sonsuz küçükleri kullanarak da kalkülüs yapılabilineceği biliniyor. Robinson’un ortaya koyduğu ve standart olmayan (non-standart) analiz ismiyle bilinen bu sistem, tüm reel sayıları ve 0 dışındaki tüm sonsuz küçükleri içeren Hiperreel Sayılar üzerine kurulmuştur. Kalkülüsün sonsuz küçükler yardımıyla baştan sona nasıl inşa edildiğini merak edenler, H. Jerome Keisler’ın bu konuda yazılmış oldukça kapsamlı kitabına buradan ulaşabilirler. Modern analize büyük ölçüde yön vermiş olan sonsuz küçükleri anlamak, hem birçok fikrin nasıl doğduğuna şahit olmamızı sağlayacak, hem de aslında neyi ifade etmeye çalıştıklarını anlamamızı kolaylaştıracaktır.

Kaynaklar
1) M.T. Carroll, S.T. Dougherty, D.Perkins, Indivisibles, Infinitesimals and a Tale of Seventeenth-Century Mathematics, Mathematics Magazine, 86, 239–254, 2013.
2) https://people.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
3) https://infinityisreallybig.com/2019/11/30/infinitesimal-calculus-and-calculus-rules/
4) http://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic3/3a/3a_4history_3.html
5) https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/kepler-the-volume-of-a-wine-barrel-introduction

Çarpım Topolojisi vs Kutu Topolojisi

Posted on 22 Ocak 2022 by esrakorkmaz

Cevapla

Elimizde $X$ ve $Y$ gibi iki topolojik uzay olsa ve bizden, $X\times Y$ çarpım kümesi üzerinde bir topolojik uzay tanımlamamız istense ne yaparız? Sanırım ilk aklımıza gelen, $X$ uzayından alınan $U$ açıkları ile $Y$ uzayından alınan $V$ açıklarını çarparak, $U\times V$ kümelerinden oluşan bir uzay oluşturmak olur. Aslında oldukça mantıklı görünüyor. Fakat şöyle bir sorun var ki, elde ettiğimiz bu kümeden $U_1\times V_1$ ve $U_2\times V_2$ gibi iki eleman seçip birleştirdiğimizde, $\footnotesize{(U_1\times V_1 ) \cup (U_2\times V_2)=(U_1\cup U_2)\times (V_1\cup V_2)}$ eşitliği sağlanmadığından, topoloji olmanın temel koşullarının biri olan birleşimden sınıfta kalıyoruz. Yani keyfi birleşim orada kalsın, sonlu sayıda elemanın birleşimi bile kümeye ait olamıyor. Fakat yine de panik yok, çünkü kümemiz bir topoloji için taban olma koşullarını sağlıyor. İşte $\{U\times V : U\subseteq X \hspace{0.1cm} \textrm{a\c{c}{\i}k}, V\subseteq Y \hspace{0.1cm}\textrm{a\c{c}{\i}k}\}$ kümesinin taban olduğu bu topolojiye, $X\times Y$ üzerinde çarpım topolojisi diyoruz.

Şimdi işe farklı bir açıdan bakalım ve süreklilik kavramını kullanarak bir tanım yapmaya çalışalım. Bunun için önce $p_1: X\times Y\rightarrow X, p_1((x,y))=x$ ve $p_2: X\times Y\rightarrow Y, p_2((x,y))=y$ biçiminde tanımlı olan izdüşüm fonksiyonlarını hatırlayalım. İzdüşüm fonksiyonlarının tanımı gereği, $U\subseteq X$ ve $V\subseteq Y$ kümeleri için $p_1^{-1}(U)=U\times Y$ ve $p_2^{-1}(V)=X\times V$ eşitlikleri sağlanacaktır. Acaba $X\times Y$ çarpım kümesi üzerinde, bu iki fonksiyonu aynı anda sürekli yapacak bir topoloji nasıl oluşturulabilir? Bir fonksiyonun sürekliliğini “her açık kümenin ön görüntüsünün de açık olması” biçiminde tanımlayabileceğimizi biliyoruz. Bu nedenle, $p_1$ fonksiyonunun sürekli olması için, her $U\subseteq X$ açık kümesi için $p_1^{-1}(U)$ kümesinin, oluşturmak istediğimiz topolojide bulunması gerekir. Yine aynı sebepten, $p_2$ ‘nin de sürekli olması için, her $V\subseteq Y$ açık kümesi için $p_2^{-1}(V)$ ‘nin de bu topolojide olmasını bekleriz. Gönül isterdi ki $\mathcal{S}=\{p_1^{-1}(U) : U\subseteq X \hspace{0.1cm} \textrm{a\c{c}{\i}k}\}\cup \{p_2^{-1}(V) : V\subseteq Y \hspace{0.1cm} \textrm{a\c{c}{\i}k}\}$ ailesi bizim aradığımız topoloji olsun. Fakat maalesef $\mathcal{S}$ bir topoloji olmadığı gibi, taban olma koşullarını da sağlamıyor. Bu da bizim için bir sorun değil, çünkü biliyoruz ki boştan farklı bir kümenin alt kümlerinden oluşan bir aile, bu küme üzerinde bir topolojinin alt tabanıdır. Yani, bu ailenin sonlu kesişimlerini alarak elde ettiğimiz aile bir topoloji tabanıdır. Burada, $p_1^{-1}(U)\cap p_2^{-1}(V)=(U\times Y)\cap (X\times V)=U\times V$ olduğundan, $\mathcal{S}$ ailesinin ürettiği topoloji biraz önce $X\times Y$ üzerinde elde ettiğimiz çarpım topolojisinin ta kendisi olur.

Yukarıdaki yöntemle üretilen topolojilere başlangıç topolojisi denir ve aslında çarpım topolojisi, kartezyen çarpım kümesi üzerinde, izdüşüm fonksiyonları kullanılarak elde edilen bir başlangıç topolojisidir. Şimdi aynı yöntemi kullanarak, keyfi bir $I$ indeks kümesi için $\prod_{\alpha\in I} X_\alpha$ çarpım kümesi üzerindeki çarpım topolojisini oluşturmaya çalışalım. Bu kez yapmamız gereken, $x\in \prod_{\alpha\in I} X_\alpha$ için $p_\alpha: \prod_{\alpha\in I} X_\alpha \rightarrow X_\alpha, p_\alpha(x)=x_\alpha$ biçiminde tanımlı izdüşüm fonksiyonlarını sürekli kılacak bir topoloji bulmak olacak. Burada, $U_\alpha \subseteq X_\alpha$ açık kümesi için,

$p_{\alpha}^{-1}(U_\alpha)=\prod_{\beta \in I} U_\beta$ , $\qquad$ $\quad$ $U_\beta= \begin{cases} X_\alpha & \beta \neq \alpha \\ U_\alpha & \beta=\alpha \end{cases}$

olacaktır. Daha açık ifade etmek gerekirse, $p_{\alpha}^{-1}(U_\alpha)$ kümesi, $\prod_{\alpha\in I} X_\alpha$ çarpım kümesinin, $\alpha.$ bileşeni $U_\alpha$ , diğer tüm bileşenleri ise $X_\alpha$ olan bir alt kümesidir. $\{p_{\alpha}^{-1}(U_\alpha) : \alpha\in I, U_\alpha \subseteq X_\alpha \hspace{0.1cm} \textrm{a\c{c}{\i}k}\}$ ailesinin çarpım topolojisi için bir alt taban olduğundan bahsetmiştik. O halde bu küme üzerinde sonlu kesişim işlemi ile elde edilen

$\mathcal{B}=\{p_{\alpha_1}^{-1}(U_{\alpha_1})\cap p_{\alpha_2}^{-1}(U_{\alpha_2})\cap \ldots p_{\alpha_n}^{-1}(U_{\alpha_n}) : U_{\alpha_i} \subseteq X_{\alpha_i} \hspace{0.1cm} \textrm{a\c{c}{\i}k}, 1\leq i \leq n\}$

çarpım topolojisinin tabanı olacaktır. Burada,

$\bigcap_{i=1}^n p_{\alpha_i}^{-1}(U_{\alpha_i})=\prod_{\beta \in I} U_\beta$ , $\qquad$ $\quad$ $U_\beta=\begin{cases} X_\alpha & \beta \notin \{\alpha_1, \alpha_2\ldots \alpha_n\} \\U_{\alpha_i} & \beta=\alpha_i \end{cases}$

biçiminde olacaktır. Yani sonlu sayıda $U_{\alpha_i}$ ve sonsuz sayıda $X_\alpha$ ‘lardan oluşan elemanlar, çarpım topolojisinin taban elemanları olacaktır.

Daha açıklayıcı olması için $I=\mathbb{N}$ ve her $n\in \mathbb{N}$ için $X_n=\mathbb{R}$ alalım. $U\subseteq \mathbb{R}$ açık bir küme olmak üzere, $\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \ldots \times \mathbb{R} \times U\times \mathbb{R} \times \ldots$ alt tabanın bir elemanı olacaktır. Şimdi sonlu sayıda alt taban elemanı alalım ve keyfi bir taban elemanı elde edelim. $G_1=U_1\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \ldots$ , $G_2 =\mathbb{R} \times U_2 \times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \ldots,$ $G_3 =\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times U_3 \times \mathbb{R}\times \ldots,$ $\ldots \ldots$ , $G_n=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\times \ldots U_n \times \mathbb{R}\times \ldots$ alt taban elamanlarının kesişimi $\bigcap_{i=1}^n G_i=U_1\times U_2\times \ldots U_n\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \ldots$ olacaktır. İşte çarpım topolojimizin tüm taban elemanları benzer formda olacak, yani sonsuz sayıda bileşen $\mathbb{R}$ ‘ye eşit olacaktır.

Keyfi çarpımlarda, sonlu durumdan farklı olarak, $U_\alpha \subseteq X_\alpha$ açık kümeleri için $\prod_{\alpha \in I} U_\alpha$ biçimindeki elemanların taban olduğu topolojinin, izdüşüm dönüşümleri yardımıyla elde edilen topolojiden farklı olduğuna dikkat edelim. Çarpım kümesi üzerinde $\prod_{\alpha \in I} U_\alpha$ elemanlarının taban olduğu topoloji, kutu topolojisi (box topology) olarak adlandırılır. Bu topolojiye neden kutu topolojisi denildiğini anlamak hiç zor değil. Bunun için yine $I=\mathbb{N}$ ve her $n\in \mathbb{N}$ için $X_n=\mathbb{R}$ olarak seçelim. Reel sayıları doğal topoloji ile ele alıp, $U_n$ kümelerini de açık aralıklar olarak seçersek, “kutu” isminin bu açık aralıkların çarpımına gönderme yaptığını görebiliriz.

Kutu topolojisi çarpım topolojisinden daha ince bir topolojidir. Yani, daha küçük komşuluklara sahip olan bu topoloji, çarpım topolojisinden daha fazla açık küme içerir. Genelde analiz derslerinde gördüğümüz, “vektör değerli bir $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$ , $f(x)=(f_1(x), f_2(x),\ldots, f_n(x))$ fonksiyonun sürekli olması için, her bir $f_i:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ bileşeninin sürekli olması gerekir” bilgisini hatırlayalım. İşte çarpım topolojisi bu özelliğin genelleşmiş halini sağlar. Yani, $Y$ herhangi bir topolojik uzay ve $X=\prod_{\alpha\in I} X_\alpha$ çarpım topolojisi olmak üzere, $f:Y\rightarrow X, f(y)=(f_\alpha (y))_{\alpha\in I}$ fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter koşul her $\alpha\in I$ için $f_\alpha :Y\rightarrow X_\alpha$ bileşeninin sürekli olmasıdır. Fakat gayet kullanışlı olan bu özellik, kutu topolojisinde her zaman doğru değildir.

(Sebebini merak eden ayrıntı severler buradan devam edebilirler: Bunu görmek için, $Y=\mathbb{R}$ , $I=\mathbb{N}$ ve her $n\in \mathbb{N}$ için $X_n=\mathbb{R}$ olarak seçelim. Reel sayıları doğal topolojiyle ele alalım ve kutu topolojisiyle donatılmış çarpım kümesini $\mathbb{R}^\omega$ ile gösterelim. Bu durumda $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^\omega, f(x)=(x,x,x,\ldots)$ fonksiyonunun her bir bileşeni süreklidir ancak $f$ fonksiyonu sürekli değildir. Çünkü $U=\prod_{n=1}^\infty (-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ açık kümesinin ön görüntüsü $f^{-1}(U)$ açık değildir. Eğer açık olsaydı $0\in f^{-1}(U)$ bir iç nokta olurdu ve bu nedenle $0\in (-\delta,\delta)\subseteq f^{-1}(U)$ olacak şekilde bir $\delta>0$ bulunması gerekirdi. Bu durumda, $f(\frac{\delta}{2})=(\frac{\delta}{2},\frac{\delta}{2},\ldots)\in U$ olurdu. Fakat $n>\frac{2}{\delta}$ için $\frac{\delta}{2}>\frac{1}{n}$ olduğundan, bu durum bir çelişkidir.)

Sonuç olarak, kartezyen çarpım kümesi üzerinde, sonsuz durumda aralarında daha birçok fark bulunan bu iki farklı topoloji elde etmiş ve böylece genel topoloji derslerinin en çok kafa karıştıran konularından biri olan çarpım topolojilerine kısa bir giriş yapmış olduk.

Kaynaklar
1) James R. Munkres, Topology; A First Course. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1974.

Evliliğin Matematiği

Posted on 29 Aralık 2021 by esrakorkmaz

Cevapla

Rönesans’ın en büyük gök bilimcilerinden biri olan Johannes Kepler, eşi Barbara’yı koleradan kaybettikten sonra ikinci bir evlilik yapmaya karar verir. İlk evliliğinde mutluluğu yakalayamadığından olsa gerek, ikincisine bir matematikçi titizliği ile yaklaşmayı düşünür. 11 adayla görüşmeler yapar ve her birinin artı ve eksilerini not ederek bir evlilik stratejisi bulmaya çalışır.

Tüm bunlardan üç asır sonra Arthur Cayley (1821-1895), Kepler’in yapmaya çalıştığı istatistiksel eş seçiminin ardındaki matematiği inceler. Cayley, evlilik sorununun aslında optimal durma (optimal stopping) teorisi olarak adlandırılan bir sorun olduğunu belirtir. Yani aslında işin özü, kaç adayla görüştükten sonra görüşmelere bir son vereceğimizi saptamaktır. İşte matematikçilerin de bu konuda bazı teşebbüsleri olmuştur ve sekreter problemi (secretary problem), telaşlı talip problemi (fussy suitor problem) ya da sultanın çeyizi problemi (sultan’s dowry problem) gibi farklı isimlerle bilinen bir problem ortaya koymuşlardır. Buna göre yapmanız gereken şey, tüm ciddi adayların sayısını 2.71828’ye (yani e sayısına) bölmektir. Daha sonra, o sayıya kadar olan adaylardan daha iyi olduğunu düşündüğünüz ilk adayla hayatınızı birleştirebilirsiniz. Gayet kolay değil mi 🙂 Şu an biliyoruz ki, hayatının iki yılını bu seçime adayan Kepler’in tek yapması gereken, 5. adaydan sonra kararını bir an önce vermekti.

Evlilik söz konusu olduğunda teoremler bununla bitmiyor. Şimdi sırada, kiminle evleneceğimizden ziyade, bir eşlemenin mümkün olup olmadığına karar vermemize yardımcı olacak olan Hall’ın evlilik teoremi var. Bu teorem bize, elimizde belli sayıda kadın ve erkek adayın arasındaki olası eşleşmelerin bir listesi olduğunda, herkesin uygun bir eşleşmeyle evlenebilmesinin mümkün olması için, listenin hangi özellikleri sağlaması gerektiğini söylüyor. Teoremi ifade etmeden önce SDR kavramından bahsedelim.

$\{A_1, A_2, \ldots A_n\}$ , bir $A$ kümesinin alt kümelerinden oluşan bir aile olsun. Bu durumda,
(i) $x_i\in A_i, i=1,2\ldots n$ ,
(ii) $x_i\neq x_j, i\neq j$
koşulunu sağlayan $(x_1, x_2,\ldots x_n)$ elemanlarından oluşan bir sisteme farklı temsilciler sistemi (system of distinct representatives ya da SDR) denir.

Verilen her küme ve onun alt kümelerinden oluşan bir aile için, yukarıdaki gibi bir seçim yapmak her zaman mümkün değildir. Örneğin $A_1=\{x,y\}, A_2=\{x,y\}, A_3=\{x,y\}$ veya $A_1=\{x,y\}, A_2=\{x,y\}, A_3=\{x,y\}, A_4=\{y,z,t,w\}$ ailelerinin her ikisinden de bir SDR seçilemez. Çünkü seçilen ilk 3 elemanın birbirinden farklı olmalarının imkanı yoktur.

Yukarıdaki her iki durumda da bir SDR bulamamızın sebebini şöyle açıklayabiliriz. Bize verilen kümelerden keyfi sayıda seçelim. Örneğin ikinci örnekte $A_1, A_2$ ve $A_3$ kümelerini alalım. Bu kümelerden seçilebilecek olası temsilcilerin sayısını bulalım, yani aslında kümelerin birleşiminde kaç eleman olduğuna bakalım. Örneğimizde seçilebilecek temsilciler x ve y elemanlarıdır. İşte elimizdeki kümelerin sayısı, bu temsilcilerin sayısından çok olduğundan bir SDR elde edemiyoruz. Çünkü burada $\mid A_1\cup A_2 \cup A_3 \mid=2<3$ oluyor.

Peki hangi koşullar altında böyle bir SDR bulmak söz konusudur. Bu sorunun cevabı, iki büyük dünya savaşı görmüş ve grup teori üzerine çalışmalar yapmış İngiliz matematikçi Philip Hall’dan geliyor.

$\{A_1, A_2, \ldots A_n\}$ kümelerinden oluşan bir ailenin bir SDR’ye sahip olması için gerek ve yeter koşul her $\{i_1,i_2,\ldots, i_k\}\subseteq \{1,2,\ldots, n\}$ kümesi için $\mid \bigcup_{j=1}^k A_{i_k}\mid \geq k$ olmasıdır.

Peki Hall’ın elde etmiş olduğu bu sonucun evlilik teoremi olarak bilinmesinin sebebi nedir? Bunu görmek için erkeklerden oluşan sonlu bir küme alalım. Bunların her birinin tanıyor olduğu kızların kümesinin de sonlu olduğunu varsayalım. Acaba hangi koşul altında her bir erkeğin tanışıyor olduğu kızlardan biriyle evlenmesi mümkündür? Burada erkeklerin sayısı n ise ve j. erkeğin tanışıyor olduğu kızların kümesi $A_j$ ile gösterilirse, soru yukarıdaki teoreme kolayca uyarlanabilir. O halde istenilen koşulun sağlanması için, seçilen her $k<n$ erkek için, erkeklerin tanıyor oldukları kızların toplamının erkeklerin sayısından fazla olması gerekir.

İlgilenenler için, teoremin güzel bir ispatı burada mevcut. Bunun yanı sıra, çizge teorisi veya lineer cebir kullanarak yapılan ispatlar da oldukça popüler. Fakat bence işin en güzel kısmı, çok alakasız görünse bile, teoremin sadece genel topoloji bilgisi kullanılarak bile ispatlanabiliyor olması. Şimdi durumu biraz daha zorlaştıralım ve sonsuz sayıda erkek olduğunu varsayalım. Fakat her bir erkeğin tanıyor olduğu kızların sayısı yine sonlu olsun. $B$ tüm erkeklerin kümesi ve her $b\in B$ için $G(b)$ , $b$ ‘nin tanışık olduğu kızların kümesi olsun. Her bir $G(b)$ kümesini ayrık topoloji ile ele alalım. Bu durumda her $G(b)$ , kompakt Hausdorff bir uzay olacaktır. O halde Tychonoff Teoremi‘nden $G=\Pi_{b\in B} G(b)$ kartezyen çarpımı da kompakt bir kümedir. Şimdi keyfi sonlu $\{b_1, b_2\ldots, b_n\}$ kümesi için

$H=\{g\in G : i\neq j \hspace{0.1cm} (i, j=1,2,\ldots n) \hspace{0.1cm} \textrm{i\c{c}in} \hspace{0.1cm} b_i\neq b_j \}$

kümesini tanımlayalım. Önce H’nin kapalı bir küme olduğunu gösterelim: $G_i \times G_j$ kümesi sonlu ve ayrık bir uzaydır. (Sonsuz sayıda ayrık topolojik uzayın çarpımı ayrık olmasa da, sonlu durumda bu iş mümkün.) Bu nedenle bu uzayın her alt kümesi kapalıdır. (Çünkü ayrık uzayda her alt küme hem açık hem de kapalıdır.) $G_{ij}=\{(x,y) : x\neq y\}\subseteq G_i\times G_j$ ve $p: G\rightarrow G_i\times G_j$ izdüşüm fonksiyonu olmak üzere, $H_{ij}=p^{-1}(G_{ij})\subseteq G$ kümesi $G$ uzayında kapalıdır. Çünkü bu küme, kapalı bir kümenin sürekli bir fonksiyon olan p altındaki ön görüntüsüdür. Ayrıca $H=\bigcap_{i,j} H_{ij}$ olduğundan H da kapalı bir kümedir.

Elimizde her sonlu $\{b_1, b_2\ldots, b_n\}$ için bir H kümesi olur. İşte bu H kümelerinin ailesi sonlu arakesit özelliğini sağlar, yani sonlu sayıda H kümesinin kesişimi yine sonlu olur. Çünkü işin temelindeki $G(b)$ kümeleri zaten sonludur.

Bir uzay kompakt ise, sonlu arakesit özelliğine sahip kapalı kümelerden oluşan her aile için, bu ailenin tüm elemanlarının kesişiminin boştan farklı olduğunu biliyoruz. Bu nedenle tüm H kümelerinin kesişimi boştan farklıdır. O halde kesişimde $b\neq b'$ için $g(b)\neq g(b')$ olacak şekilde bir eleman vardır. İşte bu elemanın varlığı bize tüm erkeklerin farklı biriyle evlenebilmesinin mümkün olduğunu söyler. Yani her $b$ kişisinin evleneceği bir $g(b)$ vardır ve her $b$ ‘ye farklı bir $g(b)$ karşılık getirilebilir.

İşte bütün mesele bu 🙂

KAYNAKLAR
1) https://www.whitman.edu/mathematics/cgt_online/book/chapter04.html
2) https://mattbaker.blog/2014/06/25/the-mathematics-of-marriage/
3) P. R. Halmos, H. E. Vaughan, The Marriage Problem, American Journal of Mathematics 72(1), 214-215, 1950.
4) https://www.npr.org/sections/krulwich/2014/05/15/312537965/how-to-marry-the-right-girl-a-mathematical-solution
5) https://www.stuff.co.nz/science/83284666/finding-the-right-formula-for-love

Topolojik bir oluşum!

Author Archives: esrakorkmaz

Bilginin Sınırları: Gödel’in Eksiklik Teoremi ve İspatı

Gödel’in Eksiklik Teoremi : Tutarlılık, Tamlık ve Her Şeyin Teorisi

Cevapsız Sorular: Toeplitz Sanısı

Bağlantılılık vs Yol Bağlantılılık: Topolojicinin Sinüs Eğrisi

Riemann İntegrali vs Lebesque İntegrali

Ütopya Sevenlere: Düzülke

Explained: Arşimet (Archimedean) Özelliği

Sonsuz Küçükler: “Epiyce yaklaşmışım, duyuyorum, anlatamıyorum”

Çarpım Topolojisi vs Kutu Topolojisi

Evliliğin Matematiği