Çarpım Topolojisi vs Kutu Topolojisi

Posted on by

Elimizde X ve Y gibi iki topolojik uzay olsa ve bizden, X\times Y çarpım kümesi üzerinde bir topolojik uzay tanımlamamız istense ne yaparız? Sanırım ilk aklımıza gelen, X uzayından alınan U açıkları ile Y uzayından alınan V açıklarını çarparak, U\times V kümelerinden oluşan bir uzay oluşturmak olur. Aslında oldukça mantıklı görünüyor. Fakat şöyle bir sorun var ki, elde ettiğimiz bu kümeden U_1\times V_1 ve U_2\times V_2 gibi iki eleman seçip birleştirdiğimizde, \footnotesize{(U_1\times V_1 ) \cup (U_2\times V_2)=(U_1\cup U_2)\times (V_1\cup V_2)} eşitliği sağlanmadığından, topoloji olmanın temel koşullarının biri olan birleşimden sınıfta kalıyoruz. Yani keyfi birleşim orada kalsın, sonlu sayıda elemanın birleşimi bile kümeye ait olamıyor. Fakat yine de panik yok, çünkü kümemiz bir topoloji için taban olma koşullarını sağlıyor. İşte \{U\times V : U\subseteq X \hspace{0.1cm} \textrm{a\c{c}{\i}k}, V\subseteq Y \hspace{0.1cm}\textrm{a\c{c}{\i}k}\} kümesinin taban olduğu bu topolojiye, X\times Y üzerinde çarpım topolojisi diyoruz.

Şimdi işe farklı bir açıdan bakalım ve süreklilik kavramını kullanarak bir tanım yapmaya çalışalım. Bunun için önce p_1: X\times Y\rightarrow X, p_1((x,y))=x ve p_2: X\times Y\rightarrow Y, p_2((x,y))=y biçiminde tanımlı olan izdüşüm fonksiyonlarını hatırlayalım. İzdüşüm fonksiyonlarının tanımı gereği, U\subseteq X ve V\subseteq Y kümeleri için p_1^{-1}(U)=U\times Y ve p_2^{-1}(V)=X\times V eşitlikleri sağlanacaktır. Acaba X\times Y çarpım kümesi üzerinde, bu iki fonksiyonu aynı anda sürekli yapacak bir topoloji nasıl oluşturulabilir? Bir fonksiyonun sürekliliğini “her açık kümenin ön görüntüsünün de açık olması” biçiminde tanımlayabileceğimizi biliyoruz. Bu nedenle, p_1 fonksiyonunun sürekli olması için, her U\subseteq X açık kümesi için p_1^{-1}(U) kümesinin, oluşturmak istediğimiz topolojide bulunması gerekir. Yine aynı sebepten, p_2‘nin de sürekli olması için, her V\subseteq Y açık kümesi için p_2^{-1}(V)‘nin de bu topolojide olmasını bekleriz. Gönül isterdi ki \mathcal{S}=\{p_1^{-1}(U) : U\subseteq X \hspace{0.1cm} \textrm{a\c{c}{\i}k}\}\cup \{p_2^{-1}(V) : V\subseteq Y \hspace{0.1cm} \textrm{a\c{c}{\i}k}\} ailesi bizim aradığımız topoloji olsun. Fakat maalesef \mathcal{S} bir topoloji olmadığı gibi, taban olma koşullarını da sağlamıyor. Bu da bizim için bir sorun değil, çünkü biliyoruz ki boştan farklı bir kümenin alt kümlerinden oluşan bir aile, bu küme üzerinde bir topolojinin alt tabanıdır. Yani, bu ailenin sonlu kesişimlerini alarak elde ettiğimiz aile bir topoloji tabanıdır. Burada, p_1^{-1}(U)\cap p_2^{-1}(V)=(U\times Y)\cap (X\times V)=U\times V olduğundan, \mathcal{S} ailesinin ürettiği topoloji biraz önce X\times Y üzerinde elde ettiğimiz çarpım topolojisinin ta kendisi olur.

Yukarıdaki yöntemle üretilen topolojilere başlangıç topolojisi denir ve aslında çarpım topolojisi, kartezyen çarpım kümesi üzerinde, izdüşüm fonksiyonları kullanılarak elde edilen bir başlangıç topolojisidir. Şimdi aynı yöntemi kullanarak, keyfi bir I indeks kümesi için \prod_{\alpha\in I} X_\alpha çarpım kümesi üzerindeki çarpım topolojisini oluşturmaya çalışalım. Bu kez yapmamız gereken, x\in \prod_{\alpha\in I} X_\alpha için p_\alpha: \prod_{\alpha\in I} X_\alpha \rightarrow X_\alpha, p_\alpha(x)=x_\alpha biçiminde tanımlı izdüşüm fonksiyonlarını sürekli kılacak bir topoloji bulmak olacak. Burada, U_\alpha \subseteq X_\alpha açık kümesi için,

p_{\alpha}^{-1}(U_\alpha)=\prod_{\beta \in I} U_\beta, \qquad \quad U_\beta= \begin{cases} X_\alpha & \beta \neq \alpha \\ U_\alpha & \beta=\alpha \end{cases}

olacaktır. Daha açık ifade etmek gerekirse, p_{\alpha}^{-1}(U_\alpha) kümesi, \prod_{\alpha\in I} X_\alpha çarpım kümesinin, \alpha. bileşeni U_\alpha, diğer tüm bileşenleri ise X_\alpha olan bir alt kümesidir. \{p_{\alpha}^{-1}(U_\alpha) : \alpha\in I, U_\alpha \subseteq X_\alpha \hspace{0.1cm} \textrm{a\c{c}{\i}k}\} ailesinin çarpım topolojisi için bir alt taban olduğundan bahsetmiştik. O halde bu küme üzerinde sonlu kesişim işlemi ile elde edilen

\mathcal{B}=\{p_{\alpha_1}^{-1}(U_{\alpha_1})\cap p_{\alpha_2}^{-1}(U_{\alpha_2})\cap \ldots p_{\alpha_n}^{-1}(U_{\alpha_n}) : U_{\alpha_i} \subseteq X_{\alpha_i} \hspace{0.1cm} \textrm{a\c{c}{\i}k}, 1\leq i \leq n\}

çarpım topolojisinin tabanı olacaktır. Burada,

\bigcap_{i=1}^n p_{\alpha_i}^{-1}(U_{\alpha_i})=\prod_{\beta \in I} U_\beta, \qquad \quad U_\beta=\begin{cases} X_\alpha & \beta \notin \{\alpha_1, \alpha_2\ldots \alpha_n\} \\U_{\alpha_i} & \beta=\alpha_i \end{cases}

biçiminde olacaktır. Yani sonlu sayıda U_{\alpha_i} ve sonsuz sayıda X_\alpha‘lardan oluşan elemanlar, çarpım topolojisinin taban elemanları olacaktır.

Daha açıklayıcı olması için I=\mathbb{N} ve her n\in \mathbb{N} için X_n=\mathbb{R} alalım. U\subseteq \mathbb{R} açık bir küme olmak üzere, \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \ldots \times \mathbb{R} \times U\times \mathbb{R} \times \ldots alt tabanın bir elemanı olacaktır. Şimdi sonlu sayıda alt taban elemanı alalım ve keyfi bir taban elemanı elde edelim. G_1=U_1\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \ldots, G_2 =\mathbb{R} \times U_2 \times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \ldots, G_3 =\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times U_3 \times \mathbb{R}\times \ldots, \ldots \ldots, G_n=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\times \ldots U_n \times \mathbb{R}\times \ldots alt taban elamanlarının kesişimi \bigcap_{i=1}^n G_i=U_1\times U_2\times \ldots U_n\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \ldots olacaktır. İşte çarpım topolojimizin tüm taban elemanları benzer formda olacak, yani sonsuz sayıda bileşen \mathbb{R}‘ye eşit olacaktır.

Keyfi çarpımlarda, sonlu durumdan farklı olarak, U_\alpha \subseteq X_\alpha açık kümeleri için \prod_{\alpha \in I} U_\alpha biçimindeki elemanların taban olduğu topolojinin, izdüşüm dönüşümleri yardımıyla elde edilen topolojiden farklı olduğuna dikkat edelim. Çarpım kümesi üzerinde \prod_{\alpha \in I} U_\alpha elemanlarının taban olduğu topoloji, kutu topolojisi (box topology) olarak adlandırılır. Bu topolojiye neden kutu topolojisi denildiğini anlamak hiç zor değil. Bunun için yine I=\mathbb{N} ve her n\in \mathbb{N} için X_n=\mathbb{R} olarak seçelim. Reel sayıları doğal topoloji ile ele alıp, U_n kümelerini de açık aralıklar olarak seçersek, “kutu” isminin bu açık aralıkların çarpımına gönderme yaptığını görebiliriz.

Kutu topolojisi çarpım topolojisinden daha ince bir topolojidir. Yani, daha küçük komşuluklara sahip olan bu topoloji, çarpım topolojisinden daha fazla açık küme içerir. Genelde analiz derslerinde gördüğümüz, “vektör değerli bir f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n, f(x)=(f_1(x), f_2(x),\ldots, f_n(x)) fonksiyonun sürekli olması için, her bir f_i:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} bileşeninin sürekli olması gerekir” bilgisini hatırlayalım. İşte çarpım topolojisi bu özelliğin genelleşmiş halini sağlar. Yani, Y herhangi bir topolojik uzay ve X=\prod_{\alpha\in I} X_\alpha çarpım topolojisi olmak üzere, f:Y\rightarrow X, f(y)=(f_\alpha (y))_{\alpha\in I} fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter koşul her \alpha\in I için f_\alpha :Y\rightarrow X_\alpha bileşeninin sürekli olmasıdır. Fakat gayet kullanışlı olan bu özellik, kutu topolojisinde her zaman doğru değildir.

(Sebebini merak eden ayrıntı severler buradan devam edebilirler: Bunu görmek için, Y=\mathbb{R}, I=\mathbb{N} ve her n\in \mathbb{N} için X_n=\mathbb{R} olarak seçelim. Reel sayıları doğal topolojiyle ele alalım ve kutu topolojisiyle donatılmış çarpım kümesini \mathbb{R}^\omega ile gösterelim. Bu durumda f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^\omega, f(x)=(x,x,x,\ldots) fonksiyonunun her bir bileşeni süreklidir ancak f fonksiyonu sürekli değildir. Çünkü U=\prod_{n=1}^\infty (-\frac{1}{n},\frac{1}{n}) açık kümesinin ön görüntüsü f^{-1}(U) açık değildir. Eğer açık olsaydı 0\in f^{-1}(U) bir iç nokta olurdu ve bu nedenle 0\in (-\delta,\delta)\subseteq f^{-1}(U) olacak şekilde bir \delta>0 bulunması gerekirdi. Bu durumda, f(\frac{\delta}{2})=(\frac{\delta}{2},\frac{\delta}{2},\ldots)\in U olurdu. Fakat n>\frac{2}{\delta} için \frac{\delta}{2}>\frac{1}{n} olduğundan, bu durum bir çelişkidir.)

Sonuç olarak, kartezyen çarpım kümesi üzerinde, sonsuz durumda aralarında daha birçok fark bulunan bu iki farklı topoloji elde etmiş ve böylece genel topoloji derslerinin en çok kafa karıştıran konularından biri olan çarpım topolojilerine kısa bir giriş yapmış olduk.

Kaynaklar
1) James R. Munkres, Topology; A First Course. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1974.

Yorum bırakın