Aralık | 2021 | Topolojik bir oluşum!

Rönesans’ın en büyük gök bilimcilerinden biri olan Johannes Kepler, eşi Barbara’yı koleradan kaybettikten sonra ikinci bir evlilik yapmaya karar verir. İlk evliliğinde mutluluğu yakalayamadığından olsa gerek, ikincisine bir matematikçi titizliği ile yaklaşmayı düşünür. 11 adayla görüşmeler yapar ve her birinin artı ve eksilerini not ederek bir evlilik stratejisi bulmaya çalışır.

Tüm bunlardan üç asır sonra Arthur Cayley (1821-1895), Kepler’in yapmaya çalıştığı istatistiksel eş seçiminin ardındaki matematiği inceler. Cayley, evlilik sorununun aslında optimal durma (optimal stopping) teorisi olarak adlandırılan bir sorun olduğunu belirtir. Yani aslında işin özü, kaç adayla görüştükten sonra görüşmelere bir son vereceğimizi saptamaktır. İşte matematikçilerin de bu konuda bazı teşebbüsleri olmuştur ve sekreter problemi (secretary problem), telaşlı talip problemi (fussy suitor problem) ya da sultanın çeyizi problemi (sultan’s dowry problem) gibi farklı isimlerle bilinen bir problem ortaya koymuşlardır. Buna göre yapmanız gereken şey, tüm ciddi adayların sayısını 2.71828’ye (yani e sayısına) bölmektir. Daha sonra, o sayıya kadar olan adaylardan daha iyi olduğunu düşündüğünüz ilk adayla hayatınızı birleştirebilirsiniz. Gayet kolay değil mi 🙂 Şu an biliyoruz ki, hayatının iki yılını bu seçime adayan Kepler’in tek yapması gereken, 5. adaydan sonra kararını bir an önce vermekti.

Evlilik söz konusu olduğunda teoremler bununla bitmiyor. Şimdi sırada, kiminle evleneceğimizden ziyade, bir eşlemenin mümkün olup olmadığına karar vermemize yardımcı olacak olan Hall’ın evlilik teoremi var. Bu teorem bize, elimizde belli sayıda kadın ve erkek adayın arasındaki olası eşleşmelerin bir listesi olduğunda, herkesin uygun bir eşleşmeyle evlenebilmesinin mümkün olması için, listenin hangi özellikleri sağlaması gerektiğini söylüyor. Teoremi ifade etmeden önce SDR kavramından bahsedelim.

$\{A_1, A_2, \ldots A_n\}$ , bir $A$ kümesinin alt kümelerinden oluşan bir aile olsun. Bu durumda,
(i) $x_i\in A_i, i=1,2\ldots n$ ,
(ii) $x_i\neq x_j, i\neq j$
koşulunu sağlayan $(x_1, x_2,\ldots x_n)$ elemanlarından oluşan bir sisteme farklı temsilciler sistemi (system of distinct representatives ya da SDR) denir.

Verilen her küme ve onun alt kümelerinden oluşan bir aile için, yukarıdaki gibi bir seçim yapmak her zaman mümkün değildir. Örneğin $A_1=\{x,y\}, A_2=\{x,y\}, A_3=\{x,y\}$ veya $A_1=\{x,y\}, A_2=\{x,y\}, A_3=\{x,y\}, A_4=\{y,z,t,w\}$ ailelerinin her ikisinden de bir SDR seçilemez. Çünkü seçilen ilk 3 elemanın birbirinden farklı olmalarının imkanı yoktur.

Yukarıdaki her iki durumda da bir SDR bulamamızın sebebini şöyle açıklayabiliriz. Bize verilen kümelerden keyfi sayıda seçelim. Örneğin ikinci örnekte $A_1, A_2$ ve $A_3$ kümelerini alalım. Bu kümelerden seçilebilecek olası temsilcilerin sayısını bulalım, yani aslında kümelerin birleşiminde kaç eleman olduğuna bakalım. Örneğimizde seçilebilecek temsilciler x ve y elemanlarıdır. İşte elimizdeki kümelerin sayısı, bu temsilcilerin sayısından çok olduğundan bir SDR elde edemiyoruz. Çünkü burada $\mid A_1\cup A_2 \cup A_3 \mid=2<3$ oluyor.

Peki hangi koşullar altında böyle bir SDR bulmak söz konusudur. Bu sorunun cevabı, iki büyük dünya savaşı görmüş ve grup teori üzerine çalışmalar yapmış İngiliz matematikçi Philip Hall’dan geliyor.

$\{A_1, A_2, \ldots A_n\}$ kümelerinden oluşan bir ailenin bir SDR’ye sahip olması için gerek ve yeter koşul her $\{i_1,i_2,\ldots, i_k\}\subseteq \{1,2,\ldots, n\}$ kümesi için $\mid \bigcup_{j=1}^k A_{i_k}\mid \geq k$ olmasıdır.

Peki Hall’ın elde etmiş olduğu bu sonucun evlilik teoremi olarak bilinmesinin sebebi nedir? Bunu görmek için erkeklerden oluşan sonlu bir küme alalım. Bunların her birinin tanıyor olduğu kızların kümesinin de sonlu olduğunu varsayalım. Acaba hangi koşul altında her bir erkeğin tanışıyor olduğu kızlardan biriyle evlenmesi mümkündür? Burada erkeklerin sayısı n ise ve j. erkeğin tanışıyor olduğu kızların kümesi $A_j$ ile gösterilirse, soru yukarıdaki teoreme kolayca uyarlanabilir. O halde istenilen koşulun sağlanması için, seçilen her $k<n$ erkek için, erkeklerin tanıyor oldukları kızların toplamının erkeklerin sayısından fazla olması gerekir.

İlgilenenler için, teoremin güzel bir ispatı burada mevcut. Bunun yanı sıra, çizge teorisi veya lineer cebir kullanarak yapılan ispatlar da oldukça popüler. Fakat bence işin en güzel kısmı, çok alakasız görünse bile, teoremin sadece genel topoloji bilgisi kullanılarak bile ispatlanabiliyor olması. Şimdi durumu biraz daha zorlaştıralım ve sonsuz sayıda erkek olduğunu varsayalım. Fakat her bir erkeğin tanıyor olduğu kızların sayısı yine sonlu olsun. $B$ tüm erkeklerin kümesi ve her $b\in B$ için $G(b)$ , $b$ ‘nin tanışık olduğu kızların kümesi olsun. Her bir $G(b)$ kümesini ayrık topoloji ile ele alalım. Bu durumda her $G(b)$ , kompakt Hausdorff bir uzay olacaktır. O halde Tychonoff Teoremi‘nden $G=\Pi_{b\in B} G(b)$ kartezyen çarpımı da kompakt bir kümedir. Şimdi keyfi sonlu $\{b_1, b_2\ldots, b_n\}$ kümesi için

$H=\{g\in G : i\neq j \hspace{0.1cm} (i, j=1,2,\ldots n) \hspace{0.1cm} \textrm{i\c{c}in} \hspace{0.1cm} b_i\neq b_j \}$

kümesini tanımlayalım. Önce H’nin kapalı bir küme olduğunu gösterelim: $G_i \times G_j$ kümesi sonlu ve ayrık bir uzaydır. (Sonsuz sayıda ayrık topolojik uzayın çarpımı ayrık olmasa da, sonlu durumda bu iş mümkün.) Bu nedenle bu uzayın her alt kümesi kapalıdır. (Çünkü ayrık uzayda her alt küme hem açık hem de kapalıdır.) $G_{ij}=\{(x,y) : x\neq y\}\subseteq G_i\times G_j$ ve $p: G\rightarrow G_i\times G_j$ izdüşüm fonksiyonu olmak üzere, $H_{ij}=p^{-1}(G_{ij})\subseteq G$ kümesi $G$ uzayında kapalıdır. Çünkü bu küme, kapalı bir kümenin sürekli bir fonksiyon olan p altındaki ön görüntüsüdür. Ayrıca $H=\bigcap_{i,j} H_{ij}$ olduğundan H da kapalı bir kümedir.

Elimizde her sonlu $\{b_1, b_2\ldots, b_n\}$ için bir H kümesi olur. İşte bu H kümelerinin ailesi sonlu arakesit özelliğini sağlar, yani sonlu sayıda H kümesinin kesişimi yine sonlu olur. Çünkü işin temelindeki $G(b)$ kümeleri zaten sonludur.

Bir uzay kompakt ise, sonlu arakesit özelliğine sahip kapalı kümelerden oluşan her aile için, bu ailenin tüm elemanlarının kesişiminin boştan farklı olduğunu biliyoruz. Bu nedenle tüm H kümelerinin kesişimi boştan farklıdır. O halde kesişimde $b\neq b'$ için $g(b)\neq g(b')$ olacak şekilde bir eleman vardır. İşte bu elemanın varlığı bize tüm erkeklerin farklı biriyle evlenebilmesinin mümkün olduğunu söyler. Yani her $b$ kişisinin evleneceği bir $g(b)$ vardır ve her $b$ ‘ye farklı bir $g(b)$ karşılık getirilebilir.

İşte bütün mesele bu 🙂

KAYNAKLAR
1) https://www.whitman.edu/mathematics/cgt_online/book/chapter04.html
2) https://mattbaker.blog/2014/06/25/the-mathematics-of-marriage/
3) P. R. Halmos, H. E. Vaughan, The Marriage Problem, American Journal of Mathematics 72(1), 214-215, 1950.
4) https://www.npr.org/sections/krulwich/2014/05/15/312537965/how-to-marry-the-right-girl-a-mathematical-solution
5) https://www.stuff.co.nz/science/83284666/finding-the-right-formula-for-love

Son patolojik nesnemiz, grup teoriden düğüm teorisine, oyun teoriden kodlama teorisine pek çok farklı alanda çalışmalar yapmış ve maalesef geçen sene Covid19 sebebiyle kaybettiğimiz efsane matematikçi John Horton Conway’den geliyor. Konuya girmeden önce, Conway’in Hayat Oyunu‘ndan (Game of Life) mutlaka bahsetmek gerekir. Çünkü daha önemli başarılara imza atmış olsa da, Conway birçok kişi tarafından Hayat Oyunu’nu bulan kişi olarak bilinir. O zaman, kendisi de bir hücresel otomat olan Hayat Oyunu’nu anlatmaya başlamadan önce, hücresel otomat nedir sorusuna cevap arayalım.

Düzlemde bir ızgara (grid) alalım ve bunun üzerindeki her bir hücrenin 0-1 ya da açık-kapalı gibi bir durumu olduğunu veya iki farklı renkten birine sahip olduğunu düşünelim. Yani örneğin;

ya da,

Ayrıca her hücrenin komşuları olduğunu varsayalım. Bu komşular farklı şekillerde tanımlanabilir fakat biz en genel haliyle, hücreye bitişik olan hücreleri onun komşuları olarak ele alabiliriz.

Şimdi elimizde bir başlangıç durumu olsun ve belli bir kural altında hücrelerin durumlarını değiştirerek yeni bir nesil (generation) elde edelim.

Örneğin yukarıdaki şekilde en soldaki resim başlangıç durumumuz olsun. Bir hücrenin komşularından en az dördü zıt renkteyse, o hücrenin renk değiştirdiğini kabul edelim. İşte bu kural altında sırasıyla yukarıdaki 2 yeni nesil elde edilir.

Yukarıda anlatılan bu sistemler hücresel otomatlar olarak adlandırılır. Hücresel otomat kavramı 1940’lı yıllarda Los Alamos Ulusal Laboratuvarı‘nda araştırmacı olan Stanisław Ulam ve John von Neumann tarafından ortaya koyulmuştur. Ulam’ın amacı kristallerin büyümesini modellemek iken Neumann’ın hayali kendini kopyalayan robotlardan oluşan bir dünyadır. Robotların bu işle alakası şu şekilde aslında. Izgara üzerinde bir desen belirleyin ve bu sizin tasarladığınız robot olsun. Bu desenin kendi kopyalarını oluşturmasına izin verecek kurallar dizisiyle robotumuzun bir kopyasını elde etmiş oluruz. İşte elde edilen bu yapı bir hücresel otomattır ve bir açıdan, biyolojik üremeyi ve hatta evrimi modelleyen bir süreçtir.

İşte Neumann’ın kendi benzerlerini üreten hücresel otomat fikri, bu yazının kahramanı olan Conway’in Hayat Oyunu isimli meşhur hücresel otomatının temeli olarak kabul edilebilir.

Hayat oyunu her hücrenin 8 adet komşuluğa sahip olduğu sonsuz bir ızgara (grid) üzerinde oynanır. Izgara üzerinde canlı ve ölü hücreler olduğunu düşünüp, bir sonraki nesilde hangi hücrelerin ölüp hangilerinin yaşamaya devam edeceğini belirleyen kurallara bir bakalım:

1) İkiden az canlı komşusu olan canlı bir hücre (yalnızlıktan) ölür. Örneğin aşağıdaki afallamış yeşil hücre, yalnızca 1 canlı komşusu olduğundan, bir sonraki nesilde ölecek.

Yeşil: canlı hücreler ; Beyaz: ölü hücreler

2) 2 ya da 3 canlı komşuya sahip olan canlı bir hücre, canlı kalmaya devam eder. Aşağıdaki şanslı velet gibi.

3) 3’ten fazla canlı komşusu olan canlı bir hücre (kalabalıktan) ölür. 4 canlı hücreye sahip olan aşağıdaki hücrenin ve belki de yakın bir gelecekte insanoğlunun başına geleceği gibi.

4) Tam olarak 3 komşusu olan ölü bir hücre, sonraki nesilde hayata döner. Yaşam sevinci ile dolu olan aşağıdaki ölü hücre gibi.

Oyun basit görünebilir ama altında yatan anlam çok derin. Çünkü yaşamın bilinçsiz basit hücrelerden, nasıl olup da bu kadar karmaşık hale geldiğinin bir göstergesi aslında.

Şimdi biraz da çoğu kişinin Hayat Oyunu ile tanıdığı ve 1960’lı yılların sonlarında tanımlamış olduğu Conway grupları ile yıldızı parlamaya başlayan John Horton Conway’in bu yazımıza konu olan ilginç fonksiyonundan bahsedelim.

İşe, bu fonksiyonun hangi duruma bir karşıt örnek olduğunu açıklayarak başlayalım. Bunun için önce, Analiz derslerinden aşina olduğumuz Ara Değer Teoremini hatırlayalım:

$f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda $f(a)<y<f(b)$ olacak şekilde her $y\in \mathbb{R}$ için $f(x)=y$ olacak şekilde bir $x\in (a,b)$ vardır. (İşimizi kolaylaştırmak adına, bu son kısmı ara değer özelliği olarak adlandıralım. Dolayısıyla teorem ” $[a,b]$ aralığı üzerinde tanımlı reel değerli her fonksiyon ara değer özelliğini sağlar” biçiminde olacaktır.)

Bu teoremin tersinin doğru olmadığı, yani ara değer özelliğini sağlayan ve kapalı sınırlı bir aralık üzerinde tanımlı olan reel değerli her fonksiyonun sürekli olması gerekmediğini biliyoruz. Örneğin;

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon $\mathbb{R}$ üzerinde süreklidir. Bu nedenle Darboux Teoremi’nden $f^\prime$ türevi $\mathbb{R}$ ‘de ara değer özelliğini sağlar. Fakat $f^\prime$ fonksiyonu $x=0$ noktasında sürekli değildir.

Aslında oldukça güzel bir örnek ama yine de biraz zayıf. Yani her yerde ara değer özelliğini sağlayan fakat yalnızca sonlu sayıda değil, hiçbir noktada sürekli olmayan bir fonksiyona sahip olsaydık, işte o zaman sezgilerimizi tamamen bir kenara bırakmak zorunda kalırdık. O halde şimdi bu özelliklere sahip olan ve Conway’in 13 tabanını kullanarak tanımlamış olduğu fonksiyona bir bakalım.

Bir sayıyı n tabanında yazmak için 0’dan n-1’e kadar olan rakamların kullanıldığını biliyoruz. Dolayısıyla, 13’lük sayma sisteminde kullanacağımız temel semboller, yani rakamlar, $0,1,\ldots 10,11,12$ olacaktır. Şimdi 13 tabanında yazılmış 1056 sayısını ele alalım. Dikkat edersek burada şöyle bir karmaşa oluyor. Bu sayı 10-5-6 rakamlarından mı yoksa 1-0-5-6 rakamlarından mı oluşuyor? İşte bu karışıklıktan kurtulmak için, 10, 11 ve 12 rakamlarını, sırasıyla A, B ve C harfleriyle gösterelim. Conway orijinal çalışmasında A, B ve C yerine sırasıyla +,- ve . sembollerini kullanmış ve bunları 10’luk tabandaki versiyonlarından ayırmak için altlarını çizmiştir. (Yani örneğin + değil de + gibi.)

Artık $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonunu tanımlamaya hazırız. Bunun için bir $x\in \mathbb{R}$ alalım ve $x$ ‘in 13 tabanında ondalık gösterimini yapalım. Burada ufak bir ayrıntı: Yazdığımız sayının sonsuz sayıda C ile bitmesine izin yok. Bu durumu 10’luk sistemde 0.99999… sayısına izin vermemek, bunun yerine 1’i kullanmak gibi düşünebiliriz. Şimdi $x_i, y_i\in \{0,1,\ldots 9\}$ olmak üzere, $x$ ‘in 13 tabanındaki gösterimi bir noktadan sonra $A x_1 x_2\ldots x_n C y_1 y_2\ldots$ formunda oluyorsa $f(x)=x_1 x_2\ldots x_n .y_1 y_2\ldots$ ; $B x_1 x_2\ldots x_n C y_1 y_2\ldots$ formunda oluyorsa $f(x)=-x_1 x_2\ldots x_n .y_1 y_2\ldots$ ; bu iki durumdan hiçbiri sağlanmıyorsa $f(x)=0$ olarak tanımlayalım. Burada $f$ fonksiyonunun çıktılarının 10 tabanında yazılmış sayılar olduklarını da eklemek gerekiyor. Bu fonksiyonu daha iyi anlayabilmek bazı noktaların $f$ altındaki görüntüsüne bakalım.

a) $x$ ‘in 13 tabanındaki gösterimi 14584A146C4546 olsun. Bu gösterim bir yerden sonra A146C4546 serisini içeriyor. O halde burada $f(x)=146.4546$ olur.

b) $x$ ‘in 13 tabanındaki gösterimi B4146C4ise $f(x)=-4146.4$ olur.

c) $x$ ‘in 13 tabanındaki gösterimi 1C234A566 ise $f(x)=0$ olur.

Conway’in 13 tabanında A, B ve C yerine +,- ve . kullandığından bahsetmiştik. Dikkat edersek fonksiyonu tanımlarken biz de bu sembollerin 10’luk sistemdeki versiyonlarını kullanıyoruz.

Yukarıda tanımlanan $f$ fonksiyonu her yerde ara değer özelliğini sağlayan bir fonksiyondur. Bunu göstermek için bir $r\in \mathbb{R}$ alalım ve $f(c)=r$ olacak şekilde bir $c\in (a,b)$ bulmaya çalışalım. İlk olarak $r$ ‘nin 10’luk tabandaki gösteriminde ondalık sayı noktasının olduğu yere C koyalım. Örneğin $r=-3.245$ ise bunu $3C245$ ‘e dönüştürelim. Daha sonra bu sayının başına $r>0$ ise A ; $r<0$ ise B koyalım. Bu durumda r=-3.245’in son hali $\hat{r}=B3C245$ olacaktır. Burada $f(\hat{r})=r$ olduğunu kolayca görebiliriz. Şimdi $\hat{c}\in (a,b)$ herhangi bir sayı olmak üzere, $\hat{c}$ ‘nın sonuna $\hat{r}$ eklemekle oluşan $c$ sayısı hem $(a,b)$ aralığındadır hem de $f(c)=r$ özelliğini sağlar.

Diğer taraftan $f$ fonksiyonu hiçbir noktada sürekli değildir. Bir fonksiyonun bir $x$ noktasında sürekli olması, kabaca, $x$ ‘in civarındaki noktaların görüntülerinin de $f(x)$ ‘in civarında olması anlamına gelir. Eğer $f$ fonksiyonu $x$ noktasında sürekli ise, bu noktada yerel sınırlı olmalı, yani $x$ ‘in civarındaki bir aralıkta sınırlı olmalıdır. (Burada sınırlılık $|f(x)|\leq M$ olacak şekilde bir $M>0$ sayısının olması anlamına gelir.) Fakat fonksiyonumuz her $I$ açık aralığı için $f(I)=\mathbb{R}$ özelliğine sahiptir ve bu nedenle her $x$ noktası için, bu noktanın civarındaki tüm aralıklarda sınırsızdır.

Yine ufak bir örnek: 13 tabanındaki gösterimi $320A3B20C12$ olan $x$ reel sayısını ele alalım. Burada $f(x)= -20.12$ olacaktır. Bu sayıya oldukça yakın olan fakat görüntüsü $f(x)$ ‘in yakınından bile geçmeyecek olan bir $y$ sayısı elde etmek mümkündür. 13 tabanında böyle bir $y$ sayısı elde etmek için şu adımları izleyelim:

(i) $x$ ‘e yakın bir sayı elde edebilmek için önce $x$ ‘in yanına birkaç tane 0 ekleyelim: $320A3B20C120000$
(ii) Yukarıda elde edilen sayının yanına, $f(y)$ hesaplanırken bu kısmı tamamen geçersiz kılacak birkaç rakam/sembol koyalım: $320A3B20C120000AA$
(iii) (ii)’de elde edilenin sonuna $f(y)$ değeri $f(x)$ ‘in civarında olmayacak şekilde bir sayı dizisi getirelim: $320A3B20C120000AA3000C7$ . İşte bu sayı $y$ ‘nin 13 tabanındaki gösterimi olmak üzere, $f(y)=3000.7$ olacaktır.
Bu hileyi her nokta için yapmak mümkün olduğundan, $f$ ‘nin hiçbir noktada sürekli olmadığını söyleyebiliriz.

Söz konusu matematik olduğunda, patolojik nesneleri anlatmakla bitiremeyiz. Çünkü aslında varlıklarına alıştığımız için bize tuhaf görünmeyen bile birçok patolojik nesne/durum var. Yani örneğin irrasyonel veya kompleks sayılar bu anlattıklarımızdan daha mı az patolojik sizce? Peki kenarları 1 birim olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün $\sqrt{2}$ birim olması ya da (0,1) aralığı ile reel sayılar arasında bire-bir örten bir dönüşüm yazılabilmesi? Burada sadece üç örnekle bile zihnimizin sınırlarını zorlayan matematik sezgi dışı canavarlar üretmeye devam ediyor ve bizler var oldukça da devam edecek.

Kaynaklar
1) https://beltoforion.de/en/game_of_life/
2) https://plus.maths.org/content/maths-minute-cellular-automata
3) http://nebula2.deanza.edu/~karl/Sites/Bios/JohnConwayBio.pdf
4) https://www.youtube.com/watch?v=xKvX9hIPDbs
5) https://en.wikipedia.org/wiki/Conway_base_13_function
6) Greg Oman, The Converse of the Intermediate Value Theorem: From Conway to Cantor to Cosets and Beyond, Missouri J. Math. Sci. 26 (2), 134–150, 2014.

Topolojik bir oluşum!

Monthly Archives: Aralık 2021

Evliliğin Matematiği

Patolojik Nesneler III – Conway’in Base-13 Fonksiyonu