Bir önceki yazıda, matematikte sezgiye aykırı nesnelerden ve böyle nesnelerle oynamanın matematik severler için tam bir eğlence kaynağı olduğundan bahsetmiştik. Tabii bir de sırtımızı Asimov’a dayayarak bu konuda ne kadar haklı olduğumuz konusundaki fikrimizi pekiştirmiştik.

O zaman aklımızın sınırlarını zorlayan bu nesneleri anlatmaya devam edelim. Sıradaki örneğimiz topolojiden gelecek ama öncesinde hangi kanıyı çürütmek amacıyla tanımlandığından kısaca bahsetmek gerekiyor.

Düzlemde kendini kesmeyen kapalı bir eğriye basit kapalı eğri (simple closed curve) ya da bir Jordan eğrisi denir. Örneğin çember ve elips birer basit kapalı eğridir. 1887 yılında Fransız matematikçi Camille Jordan, bu eğriler üzerine, görünüşte “ee ne var bunda” denilebilecek fakat ispatlaması hiç de kolay olmayan bir teorem ortaya koymuştur. Jordan eğri teoremi olarak bilinen bu teoremin ifadesi şöyledir:

Düzlemde her basit kapalı eğri (“her Jordan eğrisi” diyecek hali yok tabii) düzlemi iç ve dış olmak üzere iki bölgeye ayırır. Yani tam olarak şöyle bir şey. Jordan, teoremi ispatlamış ispatlamasına ama maalesef kanıtı hatalıymış. Teoremin ilk doğru ispatı 1905’te Amerikalı matematikçi Oswald Veblen tarafından yapılmıştır. Daha sonra Arthur Schoenflies bunu görmüş ve arttırmış ve “Elde edilen bu iki bölge düzlemde bir çemberin içine ve dışına homeomorfiktir” demiştir.

Peki acaba Schoenflies’in iddiasının üç boyutta doğru olmadığına dair bir örnek verilebilir mi? Yani uzayı iki parçaya ayırsa da, içi ve dışı kürenin içine ve dışına homeomorfik olmayacak şekilde bir nesne bulmak mümkün olabilir mi? İşte bu soruya yanıt veren, 1924 yılında yayınladığı ve iki sayfa bile sürmeyen An Example of a Simply Connected Surface Bounding a Region which is not Simply Connected isimli çalışmasıyla James Waddell Alexander olmuştur. Basit bağlantılılığın bu işle ne ilgisi olduğunu biraz sonra anlayacağız ama biz önce Alexander’ın ortaya koyduğu örneğe bir bakalım. İşte karşınızda Alexander’ın Boynuzlu Küresi:

Oldukça karışık görünen bu nesnenin nasıl oluşturulduğuna birlikte bakalım.

Önce bir küre alalım ve üzerine iki disk çizip bunları yukarı doğru iki parmak ya da boynuz gibi çektiğimizi düşünelim. Burada boynuzların uçları karşılıklı birer disk şeklinde olacak ve birbirine asla değmeyecek. Daha sonra her bir diskten ikişer boynuz çıkarıp aşağıdaki gibi birbirine kenetleyelim.

Şuan elimizde bir öncekinden daha küçük dört adet disk var. Bunların her birinden yine ikişer boynuz çıkararak işleme devam ediyoruz ve bu işlemi sonsuza kadar sürdürüyoruz. İşte bu şekilde elde edilen nesne Alexander’ın boynuzlu küresi olarak adlandırılır ve bu gerçekten de bir küredir, yani en azından topolojik olarak. Bunun sebebi aslında elde ettiğimiz diskleri birbirine çok yaklaştırsak da asla birleştirmememiz. Örneğin yukarıdaki şeklin bir oyun hamurundan yapıldığını düşünürsek, hiçbir parçayı kırmaya ya da kesmeye gerek duymadan, boynuzları iterek şekli ilk haline döndürebiliriz.

Bu kürenin içinin açık (yani sınırı dahil olmayan) bir top olduğunu ve bu nedenle bir kürenin içine homeomorfik olduğunu söyleyebiliriz. Fakat dışı standart bir kürenin dışına homeomorfik olmaz. Bunun için, daha önce burada bahsetmiş olduğumuz basit bağlantılılık tanımını hatırlayalım. Kürenin dışında aldığımız her kapalı eğriyi, yine kürenin dışında kalacak bir noktaya büzebildiğimiz için, kürenin dışı basit bağlantılıdır. Diğer taraftan boynuzlu kürenin dışı basit bağlantılı değildir.

Bunu görmek için kürenin dışında yukarıdaki gibi kapalı bir eğri alalım. Bu eğriyi boynuzlu küreden dışarı çıkarmak için paralel disklerin arasına taşımamız gerekir. Hatırlarsak paralel diskleri elde etme sürecimiz sonsuz bir süreçti. Dolayısıyla eğriyi taşıdığımız diskler küçüldükçe eğri de küreye yaklaşacak, hatta bir yerden sonra değecektir. Bu nedenle eğriyi kürenin dışında bir noktaya büzme hayallerimiz de suya düşer.

Demek ki boynuzlu kürenin dışı, standart bir kürenin dışına homeomorfik değildir, yani Schoenflies’in teoremi üç boyutta geçerli olmaz. Bu örneğe rağmen matematikçiler bu teoremin hangi nesneler sınıfı üzerinde doğru olacağını araştırmaya devam etmişlerdir. Bu konuda (birbirlerinden bağımsız olarak) başarıya ulaşan Brown ve Mazur teoriye katkılarından ötürü Veblen ödülüne layık görülmüşlerdir. Hani Jordan’dan yıllar sonra, onun teoremine ilk doğru ispatı veren Oswald Veblen vardı ya, işte onun anısına verilen geometri/topoloji ödülüne.

Bir sonraki yazıda algı kapılarını en az boynuzlu küre kadar zorlayan bir başka örnekle devam edeceğiz ve aşağıdaki gibi, kafasında bir boynuzlu küre ile resmedilen adamın tanımlamış olduğu ilginç fonksiyonu inceleyeceğiz.

(Dipnot: Son olarak, adam deyip geçmeden, geçen sene COVID-19 sebebiyle kaybettiğimiz Conway‘in eşsiz bir zekaya sahip olduğunu hatırlatmak isterim.)

Kaynaklar
1) Dmitry Fuchs, Serge Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, 2007.
2) T. C. Hales, Jordan’ s Proof of the Jordan Curve Theorem, Studies in logic, grammar and rhetoric 10, 45-60, 2007.
3) https://mathworld.wolfram.com/JordanCurve.html
4) https://en.wikipedia.org/wiki/Schoenflies_problem