Ufak Dokunuşlar, Yepyeni Uzaylar

Gora’yı izleyenler ve hatta izlemeyenler bile Arif Işık’ın meşhur repliğini bilirler. Sanırım Pisagor bugün yaşasaydı onunla aynı fikirde olmazdı. Çünkü hakkında birbirinden ilginç rivayetler bulunan bir tarikatın önderi olan Pisagor, her şeyin sayı olduğunu iddia ediyor ve evrenin yasalarını matematik sayesinde çözebileceğimize inanıyordu. Sayılar sayesinde geldiğimiz noktaya bakılırsa üstadın pek de yanılmış olmadığı anlaşılabilir. Bu durum size çok da doğru gelmiyorsa, Netflix’in bu işe bir el atması ve matematik bilen herkesin hafızasının bir gecede silindiği bir dizi yayınlaması, olayın önemini anlamamıza yardımcı olacaktır.

Pisagor’dan yüzyıllar sonra, Leopold Kronecker (1823-1891) isimli bir zat-ı muhterem “Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk” yani “Tanrı tam sayıları yarattı, geri kalan her şey insan işidir” demiştir. İşte matematikte her taşın altından çıkan reel sayılar da insan elinin değdiği işlerin en önemlilerinden biridir. Reel sayılar hakkında yazılacak çok şey var aslında fakat burada bahsedeceğim şey $\mathbb{R}$ ‘ye iki nokta farklı eleman eklenmesiyle elde edilen genişletilmiş reel sayılar kümesinin topolojik özellikleri olacak.

O halde önce $\mathbb{R}$ ‘yi alalım ve ona her $x\in \mathbb{R}$ için $-\infty<x<\infty$ özelliğini sağlayacak şekilde iki farklı elemanı, yani $-\infty$ ve $\infty$ ‘u ekleyelim. Burada $-\infty$ ve $\infty$ ‘a baktığımızda, klasik anlamda sonsuzu değil, $\mathbb{R}$ ‘de olmayan iki farklı nokta gördüğümüzü düşünelim. Elde ettiğimiz yeni kümeyi $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,\infty\}$ biçiminde gösterebilir ve genişletilmiş reel sayılar kümesi olarak adlandırabiliriz.

Bilindiği gibi topolojide tabanlar, bizi bir topolojinin içindeki onca elemanla uğraşmaktan kurtaran ve o topolojinin iskeleti olarak düşünülebilecek yapılardır. Yani örneğin cebirciler tüm $\mathbb{R}^3$ ‘ü $(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$ biçiminde, yani sadece $(1,0,0), (0,1,0)$ ve $(0,0,1)$ elemanlarını kullanarak elde edebiliyorlarsa bizim onlardan neyimiz eksik? “Birleşimi bir nevi toplama işlemi olarak düşünerek, topolojinin tüm elemanlarını, tabanın bazı elemanları yardımıyla ifade edebilmek bizim de hakkımız” düşüncesinden yola çıkarak tanımlanmış olan taban kavramı, $\overline{\mathbb{R}}$ üzerinde bir topolojik uzay tanımlamamıza yardımcı olacak.

$\mathcal{B}=\{(a,b) : a,b\in \mathbb{R}\}\cup \{[-\infty,a): a \in \mathbb{R}\}\cup \{(b,\infty] : b\in \mathbb{R}\}$

ailesinin $\overline{\mathbb{R}}$ kümesi üzerinde bir topoloji tabanı olduğunu göstermek mümkündür. İşte üzerinde çalışacağımız topolojik uzay bu aile ile üretilen uzay olacak.

Analizde bir reel sayı dizisinin limitini $\mp \infty$ bulduğumuzda bu dizinin ıraksak olduğunu söylüyorduk. Dikkat edersek $\overline{\mathbb{R}}$ üzerinde bir dizinin $\mp \infty$ ‘a yakınsama hakkı vardır. Yani örneğin, bir $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \overline{\mathbb{R}}$ dizisi verildiğinde, $\infty$ elemanını içeren her $B\in \mathcal{B}$ elemanı için, “ $n>N$ iken $x_n\in B$ ” olacak şekilde bir $N\in \mathbb{N}$ bulunabiliyorsa, $(x_n)$ dizisi $\infty$ elemanına yakınsar denir.

Reel sayılar üzerinde açık aralıklar yardımıyla tanımlanan doğal topolojiyi ele alalım. Bu topolojiye göre $\mathbb{R}$ ‘nin kompakt olmadığını söyleyebiliriz. Bu sonucu elde etme sebebimiz aslında $\mathbb{R}$ ‘nin sınırsız bir küme olmasıdır. Ama bir üst ve alt sınıra sahip olan $\overline{\mathbb{R}}$ ‘miz tam da kendisinden beklendiği gibi kompakt olacaktır. (Dikkat!!! Bu kısımdan sonrası teknik ispat içerir.)

Bunu görmek için $\overline{\mathbb{R}}$ ‘nin bir $\mathcal{G}=\{G_i : i\in I\}$ açık örtüsünü alalım. $\mp \infty\in \overline{\mathbb{R}}$ ve $\overline{\mathbb{R}}=\bigcup_{i\in I} G_i$ olduğundan $-\infty \in G_{i_1}$ ve $\infty \in G_{i_2}$ olacak şekilde $G_{i_1}, G_{i_2}\in \mathcal{G}$ elemanları bulunabilir. Ayrıca, tabanın özelliğinden dolayı $-\infty \in [\infty, a)\subseteq G_{i_1}$ ve $\infty \in (b, \infty] \subseteq G_{i_2}$ olacak şekilde $a,b\in \mathbb{R}$ vardır. $G_{i_1}, G_{i_2}$ elemanları $\overline{\mathbb{R}}$ ‘nin $(b, \infty]$ ve $[\infty, a)$ parçalarını örtüyor. Demek ki geri kalan tüm $G_i$ ‘ler $[a,b]$ kısmını örtecektir. $[a,b]$ aralığı bu topolojiye göre kompakt olduğundan, bu $G_i$ ‘lerden sonlu tanesi ile $[a,b]$ ‘yi örtmek mümkündür. O halde bu sonlu sayıda elemanı ve $G_{i_1}, G_{i_2}$ elemanlarını alarak elde ettiğimiz sonlu örtü, $\overline{\mathbb{R}}$ ‘yi de bir güzel örtecektir. Yani $\overline{\mathbb{R}}$ kompakttır.