Ekim | 2021 | Topolojik bir oluşum!

Önermeler liseden itibaren öğrenmeye başladığımız en temel konulardan biri. Mevcut lise eğitimi hakkında yorum yapacak kadar bilgi sahibi olmadığımdan, ispat yapmaya ve olan bitenin mantığını anlamaya yardımcı olacak bu konunun, lise aşamasında ne işe yaradığının gösterilip gösterilmediğini açıkçası bilmiyorum. Fakat 1. sınıflara bu konuyu anlatırken, ise ( $\Rightarrow$ ) bağlacının doğruluk tablosu için şuan hatırlamadığım tuhaf bir ezber yöntemiyle karşılaşmış olmam sebebiyle, çoğu öğrenci tarafından yalnızca ekstra konu yükü olarak görüldüğünü düşünüyorum.

O zaman biz şimdi söz konusu ise ( $\Rightarrow$ ) bağlacının doğruluk tablosu ile işe başlayalım ve aşağıdaki meşhur tabloya biraz yakından bakalım.

İlk olarak “yanlış bir önermeden yine yanlış bir önerme çıkması mümkün müdür?” sorusuna yanıt arayalım. “ $p: 0=1$ ” önermesi olsun. p’nin yanlış bir önerme olduğu gayet açıktır. Bu önermede, eşitliğin her iki yanına 1 eklersek, “ $q: 1=2$ ” yanlış önermesini elde ederiz. Yani “ $0=1$ ise $1=2$ ” olur. Bu ise “ $Y \Rightarrow Y \equiv D$ ” olduğuna dair gayet güzel bir örnektir.

Yine “ $p: 0=1$ ” önermesini ele alalım. $0=1$ ise $1=0$ olduğu açıktır. Şimdi bu iki eşitliği alt alta yazıp, taraf tarafa toplayalım ve “ $q: 1=1$ ” doğru önermesini elde edelim. Bakın burada yanlış bir önerme ile yola çıkıp, doğru bir önerme elde ettik ve böylece “ $Y \Rightarrow D \equiv D$ ” olacak şekilde bir örnek bulmuş olduk.

Bu konuda filozof matematikçi Bertrand Russell’ın şöyle bir anekdotu vardır. Russell bir gün sınıfında, yanlış varsayımlarla istenilen her şeyin doğruluğunun gösterilebileceğinden bahsetmiştir. Bunun üzerine bir öğrencisi ondan 1=0 olduğunu kabul ederek, kendinin Papa olduğunu ispatlamasını istemiştir. Russell’ın bu soruya cevabı ise şöyledir:

0 = 1 olduğunu varsayalım. Eşitliğin her iki tarafına 1 eklersek 1=2 olur. Papa ile beni bir odaya koyarsanız odada 2 kişi olacaktır. Fakat 2 = 1 olduğundan odada aslında 1 kişi olduğunu söyleyebiliriz. Yani, ben Papa’yım.

Şimdi de $\Rightarrow$ bağlacının doğruluk tablosunu bir örnekle anlamaya çalışalım. Bir arkadaşınız size, “Derslere katılmazsan, matematik bölümünden mezun olamazsın” diyor. Burada “p: Derslere katılmıyorsun” ve “q: Matematik bölümünden mezun olamadın” önermeleri olsun ve biz arkadaşımızın söylediği $p\Rightarrow q$ önermesinin doğruluk değerini inceleyelim. Bunun için tüm ihtimalleri gözden geçirelim:

Derslere katılmazsınız ve mezun olamazsınız. ( $p\equiv D, q\equiv D$ )
Derslere katılmazsınız ve mezun olursunuz. ( $p\equiv D, q\equiv Y$ )
Derslere katılırsınız ve mezun olamazsınız. ( $p\equiv Y, q\equiv D$ )
Derslere katılırsınız ve mezun olursunuz. ( $p\equiv Y, q\equiv Y$ )

Burada arkadaşınızın doğruyu söylemediği tek durum 2. durumdur. Çünkü derslere katılmadınız fakat mezun oldunuz. Yani $D\Rightarrow Y\equiv Y$ oldu. 1. durumun doğruluğu ise ( $D\Rightarrow D\equiv D$ ) gayet açıktır. 3. ve 4. durumda da arkadaşınızın doğruyu söylemediğini iddia edemezsiniz çünkü derse katılırsanız ne olacağı konusunda bir fikir beyan etmemişti. Demek ki $Y\Rightarrow D\equiv D$ ve $Y\Rightarrow Y\equiv D$ ‘dir.

İşte yukarıda anlattığımız ufacık $\Rightarrow$ bağlacının, olmaz gibi görünen bazı şeyleri oldurmaya gücü yetiyor. Nasıl mı? Bunun için artık asıl konumuza giriş yapalım ve boş kümenin topoloji tanımında ne işi var, olmasaydı başımıza ne işler açardı, ona bir bakalım.

Bunun için önce açık kümelerin komşuluklar yardımıyla tanımını hatırlayalım. $X$ bir küme ve $\mathcal{U}_x$ bir komşuluk sistemi olsun. Burumda $G\subseteq X$ kümesinin açık olması için gerek ve yeter koşul her $x\in G$ için $U\subseteq G$ olacak şekilde bir $U\in \mathcal{U}_x$ olmasıdır. Diğer bir deyişle, her $x$ için, “ $x\in G \Rightarrow \exists U\in \mathcal{U}_x$ ; $U\subseteq G$ ” koşulu sağlanmalıdır. Dikkat edersek $\emptyset$ bu koşulu sağlıyor çünkü önermenin $x\in \emptyset$ kısmı her zaman yanlış oluyor. Bu nedenle, $\Rightarrow$ önermesinin özelliği gereği, diğer kısmının doğruluğu ya da yanlışlığı bizi pek de ilgilendirmiyor. ( $Y\Rightarrow D\equiv D$ ve $Y\Rightarrow Y\equiv D$ olduğunu hatırlayalım.)

Burada olduğu gibi, sadece öncülü (yani ise önermesinin sol kısmı) yanlış olduğu için doğru olan durumlar, mantıkta anlamsız gerçek (vacuous truth) olarak adlandırılıyor. Örneğin bulunduğunuz odada hiç cep telefonu yoksa “Odadaki tüm cep telefonları açıktır” ifadesi bir anlamsız gerçektir. (“p: Cep telefonu odadadır. q: Cep telefonu çalıyor” gibi düşünebilirsiniz. ) Anneler babalar dikkat: Mantık diyor ki, eğer çocuğunuz tabağına hiç yemek koymamışsa ve “tabağımdaki tüm yemekleri yedim” diyorsa, teknik olarak size doğruyu söylemiş oluyor.

Boş kümenin topolojide olması da anlamsız bir gerçek olabilir fakat bizi bir çok yükten kurtarıyor. Örneğin topoloji tanımındaki “iki açık kümenin kesişimi de açıktır” koşulunu ele alalım. Eğer boş küme açık olmasaydı, ayrık (yani kesişimleri boş küme olan) iki açık küme aldığınızda kesişimleri açık olmayacaktı. Dolayısıyla tanımı “ayrık olmayan iki açık kümenin kesişimi” olarak güncellemeniz gerekecekti. Ayrıca birçok ispatta elinizdeki kümelerin ayrık olması ihtimalini ayrıca incelemeniz gerekecek, ayrık olmaları hiç işinize gelmeyecek ve bunun olması ihtimali bile sizi ürkütmeye yetecekti.

Diğer taraftan, kapalı kümeler açık kümelerin tümleyenleri olduğundan, $X$ kapalı bir küme olmayacak, bu nedenle $X$ ‘in kapanışı nedir sorusu cevapsız kalacaktı. Ayrıca, en basitinden $f: (X,\tau_1)\rightarrow (Y,\tau_2), f(x)=c$ sabit fonksiyonu bile sürekli olmayacaktı. Çünkü $c\notin G$ olacak şekildeki $G\in \tau_2$ için, $f^{-1}(G)=\emptyset \notin \tau_1$ olacaktı.

Son bir gözlem: Burada bahsetmiş olduğum “boş ailenin birleşiminin boş olması” gerçeğini ve açık küme aksiyomlarından biri olan “açık kümelerin keyfi birleşimi açıktır” koşulunu kullanarak da boş kümenin topolojide olacağı gerçeğine ulaşabilmek mümkündür.

KAYNAKLAR
1) Ali Nesin, Önermeler Mantığı, Bilgi Üniversitesi Yayınları, 2001.
2) https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuous_truth
3) https://nesinkoyleri.org/wp-content/uploads/2019/05/zafer_ercan-topoloji.pdf

Gora’yı izleyenler ve hatta izlemeyenler bile Arif Işık’ın meşhur repliğini bilirler. Sanırım Pisagor bugün yaşasaydı onunla aynı fikirde olmazdı. Çünkü hakkında birbirinden ilginç rivayetler bulunan bir tarikatın önderi olan Pisagor, her şeyin sayı olduğunu iddia ediyor ve evrenin yasalarını matematik sayesinde çözebileceğimize inanıyordu. Sayılar sayesinde geldiğimiz noktaya bakılırsa üstadın pek de yanılmış olmadığı anlaşılabilir. Bu durum size çok da doğru gelmiyorsa, Netflix’in bu işe bir el atması ve matematik bilen herkesin hafızasının bir gecede silindiği bir dizi yayınlaması, olayın önemini anlamamıza yardımcı olacaktır.

Pisagor’dan yüzyıllar sonra, Leopold Kronecker (1823-1891) isimli bir zat-ı muhterem “Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk” yani “Tanrı tam sayıları yarattı, geri kalan her şey insan işidir” demiştir. İşte matematikte her taşın altından çıkan reel sayılar da insan elinin değdiği işlerin en önemlilerinden biridir. Reel sayılar hakkında yazılacak çok şey var aslında fakat burada bahsedeceğim şey $\mathbb{R}$ ‘ye iki nokta farklı eleman eklenmesiyle elde edilen genişletilmiş reel sayılar kümesinin topolojik özellikleri olacak.

O halde önce $\mathbb{R}$ ‘yi alalım ve ona her $x\in \mathbb{R}$ için $-\infty<x<\infty$ özelliğini sağlayacak şekilde iki farklı elemanı, yani $-\infty$ ve $\infty$ ‘u ekleyelim. Burada $-\infty$ ve $\infty$ ‘a baktığımızda, klasik anlamda sonsuzu değil, $\mathbb{R}$ ‘de olmayan iki farklı nokta gördüğümüzü düşünelim. Elde ettiğimiz yeni kümeyi $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,\infty\}$ biçiminde gösterebilir ve genişletilmiş reel sayılar kümesi olarak adlandırabiliriz.

Bilindiği gibi topolojide tabanlar, bizi bir topolojinin içindeki onca elemanla uğraşmaktan kurtaran ve o topolojinin iskeleti olarak düşünülebilecek yapılardır. Yani örneğin cebirciler tüm $\mathbb{R}^3$ ‘ü $(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$ biçiminde, yani sadece $(1,0,0), (0,1,0)$ ve $(0,0,1)$ elemanlarını kullanarak elde edebiliyorlarsa bizim onlardan neyimiz eksik? “Birleşimi bir nevi toplama işlemi olarak düşünerek, topolojinin tüm elemanlarını, tabanın bazı elemanları yardımıyla ifade edebilmek bizim de hakkımız” düşüncesinden yola çıkarak tanımlanmış olan taban kavramı, $\overline{\mathbb{R}}$ üzerinde bir topolojik uzay tanımlamamıza yardımcı olacak.

$\mathcal{B}=\{(a,b) : a,b\in \mathbb{R}\}\cup \{[-\infty,a): a \in \mathbb{R}\}\cup \{(b,\infty] : b\in \mathbb{R}\}$

ailesinin $\overline{\mathbb{R}}$ kümesi üzerinde bir topoloji tabanı olduğunu göstermek mümkündür. İşte üzerinde çalışacağımız topolojik uzay bu aile ile üretilen uzay olacak.

Analizde bir reel sayı dizisinin limitini $\mp \infty$ bulduğumuzda bu dizinin ıraksak olduğunu söylüyorduk. Dikkat edersek $\overline{\mathbb{R}}$ üzerinde bir dizinin $\mp \infty$ ‘a yakınsama hakkı vardır. Yani örneğin, bir $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \overline{\mathbb{R}}$ dizisi verildiğinde, $\infty$ elemanını içeren her $B\in \mathcal{B}$ elemanı için, “ $n>N$ iken $x_n\in B$ ” olacak şekilde bir $N\in \mathbb{N}$ bulunabiliyorsa, $(x_n)$ dizisi $\infty$ elemanına yakınsar denir.

Reel sayılar üzerinde açık aralıklar yardımıyla tanımlanan doğal topolojiyi ele alalım. Bu topolojiye göre $\mathbb{R}$ ‘nin kompakt olmadığını söyleyebiliriz. Bu sonucu elde etme sebebimiz aslında $\mathbb{R}$ ‘nin sınırsız bir küme olmasıdır. Ama bir üst ve alt sınıra sahip olan $\overline{\mathbb{R}}$ ‘miz tam da kendisinden beklendiği gibi kompakt olacaktır. (Dikkat!!! Bu kısımdan sonrası teknik ispat içerir.)

Bunu görmek için $\overline{\mathbb{R}}$ ‘nin bir $\mathcal{G}=\{G_i : i\in I\}$ açık örtüsünü alalım. $\mp \infty\in \overline{\mathbb{R}}$ ve $\overline{\mathbb{R}}=\bigcup_{i\in I} G_i$ olduğundan $-\infty \in G_{i_1}$ ve $\infty \in G_{i_2}$ olacak şekilde $G_{i_1}, G_{i_2}\in \mathcal{G}$ elemanları bulunabilir. Ayrıca, tabanın özelliğinden dolayı $-\infty \in [\infty, a)\subseteq G_{i_1}$ ve $\infty \in (b, \infty] \subseteq G_{i_2}$ olacak şekilde $a,b\in \mathbb{R}$ vardır. $G_{i_1}, G_{i_2}$ elemanları $\overline{\mathbb{R}}$ ‘nin $(b, \infty]$ ve $[\infty, a)$ parçalarını örtüyor. Demek ki geri kalan tüm $G_i$ ‘ler $[a,b]$ kısmını örtecektir. $[a,b]$ aralığı bu topolojiye göre kompakt olduğundan, bu $G_i$ ‘lerden sonlu tanesi ile $[a,b]$ ‘yi örtmek mümkündür. O halde bu sonlu sayıda elemanı ve $G_{i_1}, G_{i_2}$ elemanlarını alarak elde ettiğimiz sonlu örtü, $\overline{\mathbb{R}}$ ‘yi de bir güzel örtecektir. Yani $\overline{\mathbb{R}}$ kompakttır.