İki Orijinli Doğru

Posted on by

Lisans derslerinde karşımıza çok fazla çıkmıyor olsa da, topolojide birçok özel ve ilginç uzay mevcuttur: İki orijinli doğru, topolojicinin sinüs eğrisi, Havai küpesi, Cantor’un sızdıran çadırı vs. bunlardan bazılarıdır. Bu yazımızda iki orijinli doğruyu tanımaya çalışalım.

İlk olarak sayı doğrusundan orijini çıkarıp yerine (reel sayı olmayan) iki farklı nokta ekleyerek bir X kümesi oluşturalım. Yani \mathbb{R}^\ast=\mathbb{R}\setminus\{0\} olmak üzere X=\mathbb{R}^\ast \cup \{p,q\} olsun. Şimdi de a>0, a\in \mathbb{R} olmak üzere aşağıdaki kümeleri tanımlayalım:

G_a=(-a,0)\cup \{p\}\cup (0,a) ve H_a=(-a,0)\cup \{q\}\cup (0,a). Bu durumda,

\mathcal{B}=\{G_a : a>0\} \cup \{H_a : a>0\}\cup \{(b,c) : b,c\in \mathbb{R}, 0\notin (b,c)\}

ailesi X üzerinde bir topoloji tabanıdır. İşte \mathcal{B}‘nin taban olduğu bu uzay iki orijinli doğru olarak adlandırılır. Burada yapılan işe biraz daha yakından bakalım.

Öncelike \mathbb{R}^\ast \cup \{p\} ile \mathbb{R}‘nin topolojik olarak aynı olduklarını söyleyebiliriz. \mathbb{R}‘nin 0’ı içermeyen açıkları \mathbb{R}^\ast\cup \{p\} uzayında değişmeden kalırken, 0’ı içeren bir U açığı yerine (U\setminus \{0\})\cup \{p\} açığı gelecektir. Aslında burada yapılan şey 0’ı çıkarıp yerine p noktasını koymaktır ve bu değişiklik topolojik olarak herhangi bir fark yaratmaz. Bunu matematiksel olarak ifade etmenin yolu ise bu iki uzay arasında bir homeomorfizma olduğunu göstermektir.

f: \mathbb{R}^\ast \cup \{p\} \rightarrow \mathbb{R}, f(p)=0 ve x\neq p ise f(x)=x olarak tanımlanan f fonksiyonu bu iki uzay arasında bir homeomorfizma, yani bire-bir, örten, tersi ve kendisi sürekli olan bir fonksiyondur. Sonuç olarak, orijin çıkarıldığında eklenen p noktası bizim için belki de “porijin” olarak adlandırılabilecek olan yeni bir orijinden başka bir şey değildir.

Benzer işlemleri q için de yapmak mümkündür. Yani \mathbb{R}^\ast \cup \{q\} ile \mathbb{R} topolojik olarak aynıdır ve kümeye eklenen q noktası da yeni bir orijin olan “qorijin”dir 🙂

Özetle sürecin şöyle ilerlediğini görebiliriz: Bir doğruyu alıp önce orijini çıkarıyoruz ve yerine yenisini (porijin) koyup başladığımız yere geri dönüyoruz. Daha sonra bu doğruya bir orijin daha (qorijin) ekliyoruz ve iki orijinli doğruyu elde etmiş oluyoruz.

İki orijinli doğrunun bölüm uzayları yardımıyla bir diğer elde edilme yöntemi de vardır. Merak edenler ve daha fazlasını öğrenmek isteyenler buraya bir tık. Sadece meraktan geldim, bu kadarı yeter diyenlerle daha ilginç uzaylarda görüşmek üzere.

KAYNAKLAR
1) https://www.mathcounterexamples.net/the-line-with-two-origins/

Yorum bırakın