Eylül | 2021 | Topolojik bir oluşum!

Lisans derslerinde karşımıza çok fazla çıkmıyor olsa da, topolojide birçok özel ve ilginç uzay mevcuttur: İki orijinli doğru, topolojicinin sinüs eğrisi, Havai küpesi, Cantor’un sızdıran çadırı vs. bunlardan bazılarıdır. Bu yazımızda iki orijinli doğruyu tanımaya çalışalım.

İlk olarak sayı doğrusundan orijini çıkarıp yerine (reel sayı olmayan) iki farklı nokta ekleyerek bir $X$ kümesi oluşturalım. Yani $\mathbb{R}^\ast=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ olmak üzere $X=\mathbb{R}^\ast \cup \{p,q\}$ olsun. Şimdi de $a>0$ , $a\in \mathbb{R}$ olmak üzere aşağıdaki kümeleri tanımlayalım:

$G_a=(-a,0)\cup \{p\}\cup (0,a)$ ve $H_a=(-a,0)\cup \{q\}\cup (0,a)$ . Bu durumda,

$\mathcal{B}=\{G_a : a>0\} \cup \{H_a : a>0\}\cup \{(b,c) : b,c\in \mathbb{R}, 0\notin (b,c)\}$

ailesi $X$ üzerinde bir topoloji tabanıdır. İşte $\mathcal{B}$ ‘nin taban olduğu bu uzay iki orijinli doğru olarak adlandırılır. Burada yapılan işe biraz daha yakından bakalım.

Öncelike $\mathbb{R}^\ast \cup \{p\}$ ile $\mathbb{R}$ ‘nin topolojik olarak aynı olduklarını söyleyebiliriz. $\mathbb{R}$ ‘nin 0’ı içermeyen açıkları $\mathbb{R}^\ast\cup \{p\}$ uzayında değişmeden kalırken, 0’ı içeren bir $U$ açığı yerine $(U\setminus \{0\})\cup \{p\}$ açığı gelecektir. Aslında burada yapılan şey 0’ı çıkarıp yerine $p$ noktasını koymaktır ve bu değişiklik topolojik olarak herhangi bir fark yaratmaz. Bunu matematiksel olarak ifade etmenin yolu ise bu iki uzay arasında bir homeomorfizma olduğunu göstermektir.

$f: \mathbb{R}^\ast \cup \{p\} \rightarrow \mathbb{R}$ , $f(p)=0$ ve $x\neq p$ ise $f(x)=x$ olarak tanımlanan $f$ fonksiyonu bu iki uzay arasında bir homeomorfizma, yani bire-bir, örten, tersi ve kendisi sürekli olan bir fonksiyondur. Sonuç olarak, orijin çıkarıldığında eklenen $p$ noktası bizim için belki de “porijin” olarak adlandırılabilecek olan yeni bir orijinden başka bir şey değildir.

Benzer işlemleri $q$ için de yapmak mümkündür. Yani $\mathbb{R}^\ast \cup \{q\}$ ile $\mathbb{R}$ topolojik olarak aynıdır ve kümeye eklenen $q$ noktası da yeni bir orijin olan “qorijin”dir 🙂

Özetle sürecin şöyle ilerlediğini görebiliriz: Bir doğruyu alıp önce orijini çıkarıyoruz ve yerine yenisini (porijin) koyup başladığımız yere geri dönüyoruz. Daha sonra bu doğruya bir orijin daha (qorijin) ekliyoruz ve iki orijinli doğruyu elde etmiş oluyoruz.

İki orijinli doğrunun bölüm uzayları yardımıyla bir diğer elde edilme yöntemi de vardır. Merak edenler ve daha fazlasını öğrenmek isteyenler buraya bir tık. Sadece meraktan geldim, bu kadarı yeter diyenlerle daha ilginç uzaylarda görüşmek üzere.

KAYNAKLAR
1) https://www.mathcounterexamples.net/the-line-with-two-origins/

Chateau Wooden Napkin Ring | Pottery Barn

Bundan yıllar yıllar önce, yemek yeme işi yalnızca karın doyurma amaçlı yapılırken, genel yiyici kitlesi sunumsuz yakalanma telaşına düşmemiş ve dahi peçete halkası bile icat edilmemişken, Japonya’da Edo döneminde yaşamış bir zat-ı muhteremin bugün Peçete Paradoksu (Napkin Ring Paradox) olarak bilinen problemden ilk olarak bahsettiği rivayet olunur. Peki nedir Peçete Paradoksu?

Elimizde herhangi bir küre olsun. Bu kürenin içini bir silindirle oyup çıkartıyoruz ve peçete halkasına benzeyen bir cisim elde ediyoruz. İddia şu: Farklı yarıçaplara sahip kürelerden elde edilen peçete halkalarının, yükseklikleri eşit oldukları sürece hacimleri de eşittir.

Küremiz ceviz, kavun ve hatta Dünya büyüklüğünde olabilir. Eğer yükseklikler eşitse, hacimler mutlaka eşit olacaktır. Küçük olandan elde edilenin daha kalın bir halkası olacak, ancak her biri tam olarak aynı hacme sahip olacaktır. Gelin bunu iki farklı yöntem kullanarak hesaplayalım.

Yukarıdaki şekilde, içinden a yarıçaplı silindir çıkarılmış r yarıçaplı bir kürenin merkezi bir kesiti gösterilmektedir. Burada peçete halkasının hacmini (V) hesaplamak için kürenin hacminden silindirin hacmini (kırmızı kısım) ve ayrıca sağ ve solda kalan küçük parçaların hacmini (mavi kısımlar) çıkarmamız gerekir. Yani,

$V= \frac{4}{3}\pi r^3-2\pi a^2 h-$ (Mavi kısmın hacmi)

(Burada silindirin yüksekliği 2h olduğundan hacmi $\pi a^2 (2h)=2\pi a^2 h$ olur.)

Mavi kısımlardan birinin hacmini hesaplamak için disk yöntemini kullanırsak,

$\int_{h}^{r} \pi (r^2-x^2) dx= \pi \left[r^2 x-\frac{x^3}{3}\right]_h^r =\pi \left [\frac{2r^3}{3}-r^2h+\frac{h^3}{3}\right]$

elde ederiz. (V’yi hesaplarken bunu 2 ile çarpmamız gerektiğini unutmayalım!) O halde Şekil I’den kolayca görebileceğimiz $a^2= r^2-h^2$ eşitliğini de kullanarak,

$V=\frac{4}{3}\pi r^3- 2\pi a^2 h-\frac{4}{3}\pi r^3+2\pi r^2 h-\frac{2}{3}\pi h^3$
$= \pi (2r^2 h-2h a^2- \frac{2}{3}h^3)= \pi (2r^2 h-2h (r^2-h^2)- \frac{2}{3}h^3)= \frac{4}{3} \pi h^3$

buluruz. Demek ki hacmi hesaplanırken yalnızca yükseklik kullanılır ve bu nedenle yüksekliklerin eşit olması, hacimlerin de eşit olması anlamına gelir.

Şimdi ikinci yönteme bir bakalım. Bunun için önce Cavalieri Prensibini öğrenelim/hatırlayalım.

Yukarıdaki gibi eşit yükseklikte iki katı cismimiz olsun. Eğer bunların birbirine karşılık gelen kesit alanları eşitse, hacimleri de birbirine eşittir. İntegralin uygulamalarında, kesit alma yöntemini kullanırken yaptığımız şey de tam olarak budur. Kesit alanlarını hesaplarız ve integral yardımıyla bunları toplayıp hacmi buluruz. Şimdi bu prensibi uygulayarak sonuca ulaşmak için aşağıda gösterilen kesitin alanını bulmaya çalışalım.

Burada $R$ =Kürenin yarıçapı, $r_k$ =Kesitin dış yarıçapı, $r_s$ =Silindirin ve dolayısıyla kesitin iç yarıçapı, $h$ = Silindirin yüksekliği ve $y$ = Ekvatorun üstünden alınmış enine kesitin yüksekliği olsun. Kesit alanını bulmak için $\pi {r_k}^2-\pi {r_s}^2$ işlemini yapmamız, yani büyük dairenin alanından küçük dairenin alanını çıkarmamız gerekir.

Pisagor teoremini kullanarak, ${r_s}^2=R^2-(\frac{h}{2})^2$ ve ${r_k}^2= R^2-y^2$ olduğunu görebiliriz. Demek ki ,

Kesit alanı $\pi(R^2-y^2)-\pi(R^2-(\frac{h}{2})^2)=\pi((\frac{h}{2})^2-y^2)$ olarak bulunur. Peçete halkalarının yükseklikleri, yani $h$ değerleri eşit olacağından, birbirine karşılık gelen kesit alanları da eşit olacaktır. (Birbirine karşılık gelen kesitler alındığında $y$ ‘lerin de eşit olacağına dikkat edelim.)

Bu problemin bir paradoks olarak nitelendirilmesinin nedeni, çakıl taşı ve Dünya büyüklüğündeki kürelerden elde edilen peçete halkalarının hacimlerinin eşit olduğu gerçeğini sezgilerimizin kabul etmemesidir. Unutmayalım, sezgiler bizi yanıltabilir fakat matematik ve bilim bizi çoğu zaman gözlemle ulaşamayacağımız sonuçlara götürür.

KAYNAKLAR
1) https://www.maa.org/external_archive/devlin/NapkinRing.pdf
2) https://www.youtube.com/watch?v=J51ncHP_BrY
3) https://en.wikipedia.org/wiki/Napkin_ring_problem

Topolojik bir oluşum!

Monthly Archives: Eylül 2021

İki Orijinli Doğru

Peçete Halkası Paradoksu