Sonsuzluk ve daha bir sürü şey

Posted on by

“Düzlemde bir doğru parçası aldığımızda, bu doğruyu çap kabul eden iki adet yarım çember oluşturabiliriz. Ayrıca merkezden geçen sonsuz sayıda çap çizilebileceği ve her bir çapa karşılık elimizde iki yarım çember olacağı için, yarım çemberlerin sayısı sonsuzun iki katı olmalıdır ” diyor İstanbullu hemşehrimiz Proclus (412-485).

Sonsuz çoklukta odaya sahip olduğu iddia edilen bir otel olduğunu öğreniyor ve bu otelde bir gece konaklamak istiyorsunuz. Tüm odalar dolu fakat otel sahibi size bir (hatta birden fazla ve hatta sonsuz sayıda) oda ayarlayabileceğini söylüyor. Nasıl mı? 1 numaralı odada kalan misafirleri 2 numaraya, 2 numarada kalanları 3 numaraya, yani genel olarak n numarada kalanları n+1 numaralı odaya taşır ve siz de 1 numaraya yerleşirsiniz. Ya da n numaralı odada kalanlar 2n numaralı odaya geçer ve böylece sonsuz seçenek içinden bir oda seçmeniz mümkün olur. Daha iddialı bir durum: Diyelim ki otele sonsuz sayıda otobüs geldi ve her birinin içinde sonsuz sayıda yolcu var. Bu durumda otel sahibi önce n numaralı odada kalanları 2n numaralı odalara alır ve tek numaralı tüm odaların boş kalmasını sağlar. Daha sonra 1. otobüste 1. koltukta oturan yolcuyu 3 numaralı odaya, n. koltukta oturan yolcuyu ise 3^n numaralı odaya alır. Diğer taraftan, 2. otobüste 1. koltukta oturan yolcuyu 5 numaralı odaya, n. koltukta oturan yolcuyu ise 5^n numaralı odaya alırsa işlem tamamlanır. Burada 2’den büyük olan asal sayılara kullanarak, yolcuların yerleştiği odaların boş olduğunu garanti etmiş olur. Bu işlemi daha da karışık hale getirmek mümkündür (sonsuz sayıda gemide bulunan sonsuz sayıda otobüs ve bu otobüslerin içinde sonsuz sayıda yolcu olması gibi) ama hiç oralara girmeyelim. Otelcinin sıkıştığı bir nokta olacak mı merak edenler buradan devam edebilirler.

Galileo deyince aklımıza, Güneş merkezli evren modelini benimsediği için engizisyon mahkemelerinde yargılanan bir bilim insanı gelir. Sonsuzluk hakkındaki fikirleri ve meşhur paradoksu ise çoğu kişi tarafından bilinmez. O zaman Galileo’nin Dialogue Concerning Two New Sciences isimli kitabında bahsettiği paradoksu birlikte inceleyelim.

\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots\} doğal sayılar kümesi olmak üzere, bu kümedeki her elemanın karesini alarak oluşturulan S=\{1,4,9,16,\ldots\} kümesini ele alalım. S kümesinin \mathbb{N}‘nin bir özalt kümesi olduğu gayet açıktır, yani S kümesi tüm doğal sayıları içermez. Diğer taraftan, her bir doğal sayıyı karesi ile eşleyerek, \mathbb{N} ile S arasında bire-bir eşleme oluşturmak mümkündür. Sonlu kümeler söz konusu olduğunda, bir kümenin özalt kümesinin o kümeden daha küçük olması gerektiğini biliyoruz. Fakat işte sonsuzluk işin içine girdiğinde tüm kurallar alt üst oluyor.

Yukarıdaki örnekler bize sonsuzların tek olmadığı ve birbirleriyle karşılaştırılabilir olabileceği fikrini veriyor. Hatta sonsuzluk söz konusu olduğunda bir küme, kendisinin küçük bir parçası ile (bir anlamda) aynı büyüklükte olabilirmiş gibi geliyor. Bu fikirler aklımıza 200 yıl öncesinde gelmiş olsaydı muhtemelen kuşku ve husumetle karşılanırdık. Belki çok nüfuzlu bazı insanlar bu düşüncelerimizi yayımlayarak diğer insanlara ulaştırmamıza engel olurlar, bizi şarlatanlıkla suçlarlar ve fikirlerimizin matematiğin yakasına yapışmış kötü bir hastalık olduğunu düşünürlerdi. Nereden mi biliyorum? Çünkü tüm bunlar sonsuzluk hakkında devrim niteliğinde sonuçlar ortaya koyan Georg Cantor’un başına gelmiştir.

Cantor’un sonsuzluk hakkındaki düşüncelerini anlamak için kardinalite kavramına ihtiyacımız olacak. O halde önce ordinallerden ve özel tip ordinaller olan kardinallerden kısaca bahsedelim.

P tam sıralı bir küme olmak üzere, eğer P’nin boştan farklı her alt kümesinin bir minimumu varsa, P’ye bir iyi sıralı küme denir. Bunun en güzel örneklerinden biri doğal sayılar kümesidir. Her küme iyi sıralı değildir fakat iyi sıralama teoreminden her kümenin iyi sıralanabileceğini biliyoruz.

\alpha bir küme olsun. Eğer
(i) \alpha‘nın her elemanı aynı zamanda bir alt kümesi ise ve
(ii) \alpha, elemanı olma bağıntısı ile iyi sıralı bir küme ise,
\alpha‘ya bir ordinal (ya da bir ordinal sayı) denir.

((i) özelliğini daha iyi anlamak için, a=\{b\} ve b=\{a\} olmak üzere A=\{a,b\} örneğini ele alabiliriz.)

Ordinaller ” \alpha<\beta \Leftrightarrow \alpha \in \beta” bağıntısıyla iyi sıralıdır. İlk ordinal (ve aslında ordinallerin en küçük elemanı) \emptyset‘dir. Bu ordinali 0 ile gösterelim, yani 0=\emptyset olsun. \alpha bir ordinal olmak üzere, ondan sonra gelecek ilk ordinal \alpha \cup \{\alpha\} ‘dir. Dolayısıyla tüm sonlu ordinaller aşağıdaki gibidir:

1=0\cup \{0\}=\emptyset\cup \{\emptyset\}= \{\emptyset\}
2=1\cup \{1\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}
3=2\cup \{2\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \}
\vdots

Burada, 1=\{0\}, 2=\{0,1\}, \ldots ve genel olarak n=\{1,2,\ldots, n-1\} olduğunu görebiliriz. (“Nasıl yani, her bir doğal sayı aslında bir küme mi?” diye düşünenler, bu konuda okumalar yapmayı sürdürdükçe birdenbire her şeyin nasıl normal gelmeye başlayacağını fark edecekler. Matematik böyle bir şey sanırım, alışmak sevmekten daha zor geliyor.) Tüm sonlu ordinallerin kümesini \omega ile gösterelim. Dikkat edersek \omega doğal sayılar kümesidir. Yani aslında \mathbb{N} üzerindeki doğal sıralama ile birlikte ele alındığında \omega ile gösterilir. Ayrıca \omega ilk sonsuz ordinaldir. Sonlu ordinallerde kullandığımız yöntemle yeni ordinaller de elde edebiliriz: \omega+1=\omega \cup \{\omega\}, \ldots ,\omega\cdot 2, \ldots, \omega^2,\ldots, \omega^\omega, \ldots

Kardinallere geçmeden önce, sayılabilir ve sayılamaz küme tanımlarını verelim.

A herhangi bir küme olsun. Eğer A kümesi ile \mathbb{N}‘nin herhangi bir alt kümesi arasında bire-bir eşleme (one-to-one correspondence), yani bire-bir ve örten bir dönüşüm varsa, A kümesi sayılabilirdir (countable) denir. Sayılabilir olmayan kümeler ise sayılamaz (uncountable) kümeler olarak adlandırılır. Sayılabilir bir küme ya sonlu ya da sayılabilir sonsuzdur. İkinci durumda bire-bir eşleme küme ile \mathbb{N}‘nin kendisi arasında olacaktır.

Sayılabilir ve sayılamaz küme kavramlarını bildiğimize göre artık sayılamaz ordinallerden de bahsedebiliriz. Tüm sonlu ve sayılabilir ordinallerin kümesi de bir ordinaldir ve \omega_1 ile gösterilir. \omega_1 ilk sayılamaz ordinaldir.

Peki bir kümenin büyüklüğü ya da boyutu olarak tanımlanabilecek olan kardinalite nedir? Herhangi bir A kümesi verilmiş olsun. Eğer A sonlu ise, A’nın kardinalitesi f: n\rightarrow A bire-bir örten bir dönüşüm olacak şekildeki n doğal sayısı, yani A’nın eleman sayısıdır. Eğer A sonsuz ise, kardinalitesi bir doğal sayı değil sonsuz bir ordinal olacaktır. Fakat sonlu kümelerin aksine, sonsuz kümeler birden fazla ordinalle bire-bir ilişki içinde olabilirler. Örneğin \mathbb{N} hem \omega hem de \omega\cup \{\omega\} ile bire-bir ilişki içindedir. (Sonsuz otel örneğindeki mantıkla tanımlanan n \mapsto n+1 ve 0\mapsto w dönüşümü \omega ile \omega\cup \{\omega\} arasında bire-bir, örten bir dönüşümdür.) İşte bu ordinallerden en küçüğü, o kümenin kardinanalitesi olacaktır. (Ordinaller iyi sıralı olduğundan bu en küçük elemanın varlığından eminiz.) Bir kardinal sayı ise kendisinden daha küçük bir ordinalle bire-bir ilişki içinde olmayan ordinal sayıdır. Dolayısıyla tüm doğal sayılar ve ayrıca \omega, \omega_1,\omega_2, \ldots birer kardinaldir.

Sonsuz kardinaller \aleph (alef) ile gösterilir. En küçük sonsuz kardinal \aleph_0=\omega, ilk sayılamaz kardinal ise \aleph_1=\omega_1 dir. Continuum‘un, yani reel sayılar kümesinin kardinalitesi \mathfrak{c} ile gösterilir ve \mathfrak{c}=2^{\aleph_0} eşitliği sağlanır. (Burada 2^{\aleph_0}, kardinalitesi \aleph_0 olan kümeden, kardinalitesi 2 olan kümeye tanımlı dönüşümlerin kümesinin kardinalitesidir.)

Ordinalleri ve kardinalleri kısa ve öz bir şekilde anlattıktan sonra, konuyu Cantor’un Süreklilik Hipotezi (Continuum Hypothesis) ile kapatalım. Cantor, sadece bir sonsuz olmadığını, reel sayıların doğal sayılardan daha fazla olduğunu ispatlamış ve reel sayıların sayılamaz olduğunu keşfetmiştir. Elimizde kardinalitesi \aleph_0 olan doğal sayılar ve kardinalitesi 2^{\aleph_0} olan reel sayılar var. Cantor’un ortaya attığı hipotez ise şu: Acaba \mathbb{R}‘nin kardinalitesi 2^{\aleph_0} olmayan sayılamaz bir alt kümesi var mıdır? Yani \mathbb{R}‘nin her sonsuz alt kümesinin kardinalitesi \aleph_0 ya da 2^{\aleph_0} mı olmalıdır? Diğer bir deyişle \aleph_1= 2^{\aleph_0} eşitliği sağlanır mı?

Cantor doğruluğunu ispatlayamadığı bu hipotezin teorisinin bir kusuru olduğunu düşünmüştür. Yani bu kadar basit(!) bir soruda bile tıkanıyorsa nasıl devam edebilirdi ki. Fakat ortaya attığı hipotez, gayet açık ve sade ifadesinin tersine oldukça zordur. 1940 yılında Kurt Gödel (Zermelo-Fraenkel küme teorisinde) süreklilik hipotezinin yanlış olduğunun, Paul Cohen ise doğru olduğunun ispatlanamayacağını göstermiştir. Yani şuan doğruluğu ya da yanlışlığı hakkında herhangi bir bilgiye sahip olmadığımız ve Hilbert’in 23 soruluk listesinde ilk sırada yer alan Süreklilik Hipotezi hala gizemini korumaktadır.

Son söz: Kardinaller ve ordinalleri daha ayrıntılı öğrenmek isteyenlere Ali Nesin’in ders notlarını tavsiye ederim. Süreklilik Hipotezi konusunda neler olup bitmiş bir bakayım diyenler için ise şu sayfa gayet detaylı bilgi içeriyor.

Kaynaklar
1) https://plato.stanford.edu/entries/set-theory/basic-set-theory.html
2) https://plus.maths.org/content/hilberts-hotel
3) https://decodedscience.org/the-paradox-of-the-infinite-series-of-square-numbers-by-galileo/

Yorum bırakın