Öklid dışı geometrilere neden ihtiyaç duyulduğundan ve bu kurama kimlerin katkı sağladığından bahsetmiştik. Şimdi kaldığımız yerden devam edelim ve işe bazı temel kavramlarla başlayalım. Ayrıca Gauss’un öğrencisi olan Georg Friedrich Bernhard Riemann’ın fikirlerine de değinelim. (Çekingen, dindar ve oldukça utangaç biri olarak bilinen Riemann’ın çalışmaları genel göreliliğe, Henri Poincaré’nin araştırmalarının çoğuna ve milenyum problemlerinden birini çözen Grigori Perelman’ın çalışmalarına temel olmuştur. Bu işin evrenin şekline kadar gittiğini düşünürsek, nasıl bir zincirleme reaksiyon başlamış olduğunu daha iyi kavrayabiliriz galiba.)

Riemann’ın teorisine göre, bir uzayın düz olması içerisindeki tüm üçgenlerin iç açılarının toplamının 180 derece olması demektir. Bu ise beşinci postulatın ve bir önceki yazıda bahsettiğimiz, beşinci postulata denk olan özelliklerin sağlanması anlamına gelir.

Eğer beşinci postulata denk olan paralellik aksiyomunu

bir doğru ve onun üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, o noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan hiç bir doğru çizilemez

ifadesi ile değiştirsek küresel geometriyi,

bir doğru ve onun üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, o noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan sonsuz sayıda doğru çizilebilir

ifadesi ile değiştirirsek de hiperbolik geometriyi (ya da Bolyai-Lobachevsky geometrisini) elde ederiz.

Tabii bu geometrilerin tutarlı olduğunu da göstermek gerekir. Aksiyomatik bir sistemin tutarlı olduğunu göstermenin yöntemlerinden biri de bir model kullanmak, yani elimizdeki aksiyomların doğru olduğu matematiksel bir yapı elde etmektir. Örneğin, soyut anlamda bir grup, belirli aksiyomları karşılayan ikili bir işlemle birlikte bir kümedir. Matris yada simetri grupları ise, bir grubu daha somut bir biçimde sunmaya yarayan modellerdir. O zaman şimdi Öklid dışı geometriler için oluşturulmuş modellerden bazılarına bakalım.

Bildiğimiz gibi bir doğru, iki nokta üzerindeki en kısa yolu oluşturan bir çizgi olarak düşünülebilir. Bir yüzey üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa yola ya da eğriye ise jeodezik denir. Eğer o yüzeyin üstünde yaşıyorsanız, jeodezik üzerinde yürürken, düz bir çizgi üzerinde yürüdüğünüzü sanırsınız. Öklid dışı geometride doğrular jeodezikler olacaktır.

Küresel geometriyi modellemenin en kolay yolu, bir kürenin yüzeyindeki geometriyi ele almaktır. (Riemann sayesinde yüzeylerin bir metriğe, dolayısıyla doğrulara ve bir geometriye sahip olduğu biliniyor.) Küre yüzeyinde jeodezikler büyük çemberler, yani küre ile onun merkezinden geçen bir düzlemin kesişmesiyle elde edilen çemberlerdir. Bu çemberlerin çapının kürenin çapına eşit olduğunu söyleyebiliriz. Dünya her ne kadar tam bir küre olmasa da, jeodezikler büyük çemberlere oldukça yakındır. Tüm boylamlar birer büyük çember olmasına rağmen, enlemlerden sadece biri, ekvator, bir büyük çemberdir. Dünya üzerinde iki yer arasındaki en kısa mesafe büyük çemberler üzerindeki rotalardır. Örneğin aynı enlem üzerinde yer alan Pekin’den ve Philadelphia’ya enlem üzerinden gidersek 16.302 km, büyük çemberler üzerinden (Kuzey Kutbu’nun yakınından geçen bir rota düşünün) gidersek 11.069 km yol katederiz.

Hazır bu konuya girmişken düz dünyacıları da aydınlatacak bir bilgi ekleyelim. Küre üzerinde birbirine zıt konumda olan, yani kürenin çapının iki ucunda bulunan nokta çiftine antipodal noktalar denir. İki antipodal noktadan geçen sonsuz çoklukta büyük çember vardır. Bu nedenle Dünya üzerinde antipodal noktalar olarak görülebilecek olan Madrid’ten Auckland’a uçuşa hangi yönden başlarsak başlayalım seyahat süremiz değişmeyecektir. Bu durum düz bir Dünya’da tabii ki mümkün değildir.

Gauss, Bolyai ve Lobachevsky hiperbolik geometriyi bulduklarında sadece, parallellik aksiyomunu değiştirmenin güzel sonuçlar verdiğini, birbirine bağlı teoremler ispatlayabildiklerini ve hesaplamalar yapabildiklerini görmüşlerdir. Fakat bu yeni geometrinin tutarlı olduğunu kanıtlamamışlardır. Eugenio Beltrami, farklı modeller kullanarak hiperbolik geometrinin tutarlı olduğunu gösteren ilk kişidir. Bu modeller, Poincaré Disk Modeli, Beltrami-Klein Modeli ve Poincaré Üst Yarı Düzlem Modelidir.

Poincaré disk modelinde hiperboloidinin üst kolunun xy-düzlemindeki birim çemberin içine izdüşümü alınır. Bunu yaparken hiperboloid üzerindeki bir P noktası, P ile (0,0,-1) nokrasından geçen bir doğrunun xy-düzlemini kestiği noktaya taşınır. Burada hiperbolik jeodezikler diskin merkezinden geçen doğrular ve birim çemberi dik açıyla kesen dairesel yaylar olacaktır.

Beltrami-Klein modelinde ise hiperbolik yüzeyin z=1 düzlemi üzerindeki birim diskin içine izdüşümü alınır ve jeodezikler birim çemberin kirişleri ile temsil edilir. (Neler olup bitiyor, bir bakalım diyenler buraya.)

Poincaré üst yarı düzlem modelinde hiperbolik yüzey üst yarı düzleme resmedilir ve jeodezikler yarı çemberler ile temsil edilir.

Elimizde doğru kavramı olduğunda, üçgenleri de üç jeodezik ile sınırlı bölge olarak tanımlamak mümkün olacaktır. 2-manifold üzerine çizilen üçgenlerin iç açıları toplamının 180 dereceden ne kadar saptığının ölçüsü ise bize eğriliği verir. Açılar toplamı 180 dereceye eşitse eğrilik sıfırdır. Eğer 180 dereceden büyükse eğrilik pozitif, küçükse negatiftir. Ayrıca yüzey üzerine çizilen bir çemberin çevresinin çapına oranı, pozitif eğriliğe sahip yüzeylerde ‘den küçük, negatif eğriliğe sahip yüzeylerde ise ‘den büyüktür. Semer yüzeyi negatif eğriliğe, küre yüzeyi ise pozitif eğriliğe sahiptir. Pozitif eğriliğe sahip bir yüzeyden kesilen bir çokgeni düzleştirmek mümkün değildir. Fakat negatif eğriliğe sahip bir yüzeyden kesilen bir çokgen, düzlem üzerinde içereceğinden daha fazla materyale sahip olacağı için düzleştirilmesi mümkündür. Negatif eğriliğe sahip bir yüzeyde, paralel gibi görünen jeodezikler üzerinde birbirine en yakın olacak şekilde yola çıkan iki kişi gittikçe birbirinden uzaklaşır.

Hiperbolik geometri eyer yüzeylerinin ve sabit negatif eğriliğe sahip yüzeylerin; küresel geometri ise küre yüzeyinin ve sabit pozitif eğriliğe sahip yüzeylerin geometrisidir. (Hiperbolik geometrinin bu özelliği ilk fark eden Eugenio Beltrami olmuştur. Hatta Henri Poincaré Öklid dışı geometriyi ilk olarak Beltrami’den öğrenmiş, sonrasında iki boyut ile yetinmemiş, çalışmalarını yüksek boyutlu geometrilere genişletmiştir. ) Eliptik geometri (Riemann geometrisi) ise antipodal noktaların birbiriyle eşlendiği küresel geometri olarak düşünülebilir. Dolayısıyla küresel geometride iki doğru (yani jeodezik) iki noktada kesişirken, eliptik geometride tek noktada kesişirler.

Öklid dışı geometride tüm bu yapılanlar matematiği yepyeni yönlere taşımış ve matematikçilere farklı dünyaların kapılarını açmıştır. İnsanın hayal gücü yalnızca deneyimleyebileceği şeylerle sınırlı değildir. Hayal gücümüz bize öyle dünyaların kapılarını açar ki, buralardan geçip kimi zaman hiç ummadığımız yerlere, kimi zaman da her zaman bir cevap aradığımız soruların yanıtlarına ulaşırız.

Kaynaklar
1) Donal O’Shea, Poincare Sanısı / Geometri, Topoloji ve Evrenin Şekli, TÜBİTAK yayınları, 2017.
2) https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/hyperbolic.html
3) https://www.geogebra.org/m/pwkuwuzz
4) https://www.britannica.com/science/non-Euclidean-geometry#ref828724