Bir matematik bloğu yazıp da, Öklid’in Elemanlar’ından bahsetmemek olmaz sanırım. Hakkında neredeyse hiçbir şey bilmediğimiz Öklid’in, neredeyse herkesin hakkında bir şeyler bildiği, binlerce yıllık Babil ve Mısır matematiğinin bir derlemesi olan Elemanlar, orijinal metninin neye benzediği bilinmese de birçok kopyası ile insanlık tarihinin en çok okunan kitaplarından biridir. Şimdi dikkatimizi, 13 ciltten oluşan bu kitabın 1. cildinde bulunan ve Öklid dışı geometrilerin ortaya çıkmasında temel rol oynayan beşinci postulata verelim:

Eğer iki doğru üzerine düşen bir doğru, aynı taraftaki iç açıların iki dik açıdan küçük olmasına neden oluyorsa, bu iki doğru sonsuza kadar uzatıldığında iç açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta karşılaşırlar.

Diğer postulatların sadeliği yanında oldukça karışık ve anlaşılmaz görünüyor. Öklid de bu işten pek hoşlanmamış olacak ki, bu postulatı kullanmayı oldukça ertelemiş ve 29. önermeye kadar kullanmamıştır. Aslında olay tam olarak şu:

ve açılarının toplamı 180 dereceden küçük olduğundan, mutlaka bir noktada kesişecekler. Beşinci postulat birçok matematikçi tarafından saplantı haline gelmiştir. İspatlamaya, diğer postulatları kullanarak elde etmeye ve bu postulatı denk ifadelerle değiştirmeye çalışanlar olmuştur. Çabaların çoğu boşa çıkmış gibi görünse de bize kazandırdıkları tartışılamaz derecede önemlidir. Yaklaşık 2000 yıl önce İskenderiye’de bir kelebek kanat çırpar, bunun yarattığı girdap 19. yüzyılda bir adamın (Bernhard Riemann) yeni bir teori (Riemann Geometrisi) ortaya koymasına neden olur ve bu teori 20. yüzyılda bir adamın (Albert Einstein) genel görelilik kuramını ortaya koyarken kullanabileceği matematiksel bir ortam yaratır.

Peki beşinci postulatı ispatlayabilmek için kimler neler yapmıştır?

*Nasîrüddin Tûsî (1201-1274), Ömer Hayyam (1048-1131), Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733) ve Johann Heinrich Lambert (1728-1777) beşinci postulata denk ifadeler elde edip, bunların yanlış olduğunu varsayıp bir çelişkiye ulaşmaya çalışmışlardır.
*Immanuel Kant (1724-1804), Öklid geometrisinin önermelerinin a priori olarak doğru olduğu yani doğruluğuna deney yapmaksızın, mantık yoluyla ulaşılabileceği fikrini öne sürmüştür.
*Adrien-Marie Legendre (1752-1833) uzun yıllarını bu postulatı ispatlamaya adamış fakat başarısız olmuştur.

Tüm bu çabalar sonunda postulata denk olarak elde edilen önermeler ise şöyledir:

1) Paralellik aksiyomu: Bir doğruya dışındaki bir noktadan sadece bir paralel doğru çizilebilir.
2) Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
3) Dairenin çevresinin çapına oranı tüm daireler için aynıdır.
4) Pisagor teoremi.

Beşinci postulatın sırlarını çözen üç kişi, Johann Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobachevsky ve János Bolyai olmuştur. Gauss ve Janos Bolyai’nin babası Farkas Bolyai Göttingen Üniversitesinde tanışmışlar ve Öklid’in aksiyomlarını tartışma olanağına sahip olmuşlardır. Gauss’un şansı yaver gitmiş ve Göttingen’de kalmıştır. Hamisi olan baron yaşadığı sıkıntılardan ötürü desteği kesmek zorunda kalınca ülkesi Macaristan’a dönen Farkas ise, düşük ücretlerle matematik, fizik ve kimya öğretmeye başlamıştır. Fakat oğlu János’un yetişmesine destek olmuştur. Askeri mühendislik programını bitiren János da aklını babası gibi beşinci postulata takmıştır. Babasının tüm vazgeçirme çabalarına rağmen, beşinci postulatın doğru olmadığı durumlarda nelerle karşılaşılacağını araştırmaya devam eden János, günümüzde hiperbolik geometri olarak bilinen alanı geliştirmeye başlamış ve yapmaya çalıştığı şeyin “hiç yoktan, yeni, başka bir dünya” yaratmak olduğunu ifade etmiştir.

Bu sırada Gauss’un da Öklid dışı geometrilerle ilgili sonuçlar elde ettiğini, arkadaşı Taurinus’a yazdığı mektuplardan anlıyoruz.

Bir üçgenin üç açısının toplamının 180 dereceden az olduğunu varsaymak bizimkinden çok farklı ama tamamen tutarlı bir geometriye yol açıyor; bu geometriyi kendimi tamamen tatmin edecek derecede geliştirdim…

diyor Gauss 1824 yılında yazmış olduğu mektupta. Fakat yeterince üne ve geniş bir çevreye sahip olan Gauss, bu çalışmaları yayınlamamayı tercih etmiştir. (Ölümünden sonra, Öklid dışı geometriyi ilk keşfedenin o olduğu anlaşılmıştır.) Farkas, Gauss’a oğlunun çalışmalarından bahsettiğinde hem şaşırmış, hem de bu fikirler biri tarafından kaleme alındığı ve kendisi öldükten sonra kaybolmayacakları için sevinmiştir. Tabii János bu durumdan pek de memnun olmamıştır. Üstelik Gauss yardımıyla Nikolai Lobachevsky isimli bir adamın da Öklid dışı geometri üzerine başarılı çalışmalar yaptığını öğrendiğinde, Lobachevsky’nin çalışmalarını taktir etse de, böyle birinin aslında var olmadığını, tüm bunların Gauss tarafından oynanan bir oyun olduğunu düşünmüştür.

Bolyai’nin şüphelerinin aksine Lobachevsky vardır fakat Öklid dışı geometri üzerine yaptığı çalışmalar ilk zamanlar neredeyse yok hükmündedir ve dikkatlerden kaçmıştır. 1840 yılında paralellik kuramı hakkında yayımladığı Almanca kitap Gauss’u oldukça etkilemiştir ve Gauss, Lobachevsky’nin Göttingen Bilimler Akademisi’ne seçilmesini sağlamıştır. Buna rağmen, Lobachevsky’nin hayattayken kıymeti bilinmeyen bilim adamlarından biri olduğunu söylemek yanlış olmaz.

Öklid dışı geometrinin kurguya da birçok yansıması olmuştur. Örneğin Dostoyevski’nin Karamazov Kardeşler kitabının bir yerinde, Ivan Karamazov’un aşağıdaki konuşması yer alır:

Tanrı varsa ve yeryüzünü gerçekten yaratmışsa, onu Öklid geometrisi üzerine kurmuş, insan zekasına ancak üç boyutlu kavrayabilme gücü vermiştir. Bununla beraber eskiden de, şimdi de -hatta en kalburüstü olanlar arasında- yeryüzünü ve daha da genişleterek bütün evrenin Öklid ilkelerine dayandığını kuşkuyla karşılayanlar, hatta Öklid ‘e göre yeryüzünde kesişmesi mümkün olmayan iki doğrunun belki sonsuzluğun bir yanında bir araya gelebileceğini düşünenler çıkıyor. Azizim, aklım bunlara ermedikten sonra Tanrıyı nasıl anlayabilirim? Açık söylüyorum: Bu çapta sorunları çözebilecek güçte değilim; zekam Öklid çevresi içinde, dünyasaldır.

Lobachevsky’nin çalışmaları gazetelerde manşet olduğunda, hevesli bir gazete okuyucusu olan Dostoyevski bu durumdan haberdar olmuştur. Bu çalışmalar aslında Kant’ın, uzay ve zaman gibi fikirlerin a priori olarak bilindiğini söyleyen tezini çürütmüştür. İşte Rusların asıl ilgilendiği de çalışmanın özü değil, felsefi dünyanın köylüleri olduğu düşünülen Rusların içinden çıkan bir adamın, büyük bir Almanı alt etmiş olmasıdır.

Sonuç olarak Gauss, Bolyai ve Lobachevsky’nin beşinci postulatın geçersiz olduğu geometriler bulunduğunu göstermeleri, Öklid’in bunu bir postulat olarak vermekte haklı olduğu gerçeğini ortaya çıkarmıştır. Açıklanması yüzyıllar alan tek bir postulat, o zamanlar kıymeti anlaşılmamış olsa da, insanlığa yepyeni ufuklar açmıştır.

Kaynaklar
(1) Donal O’Shea, Poincare Sanısı / Geometri, Topoloji ve Evrenin Şekli, TÜBİTAK yayınları, 2017.
(2) http://pmrb.net/uos/?q=4_3_2
(3) https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry
(4) https://kasmana.people.cofc.edu/MATHFICT/mfview.php?callnumber=mf798