Şeytan Ayrıntıda Gizlidir: Üçgen Eşitsizliği

Posted on 31 Mayıs 2021 by esrakorkmaz

$X\neq \emptyset$ bir küme olsun ve $d:X\times X\rightarrow [0,\infty)$ fonksiyonu $\forall x,y,z\in X$ için aşağıdaki özellikleri sağlasın:

(m1) $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
(m2) $d(x,y)=d(y,x)$
(m3) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

Bu durumda $(X,d)$ ikilisine bir metrik uzay denir. Acaba bu 3 koşulu daha sade hale getirmek mümkün müdür? Yani bunlardan birinin ya da ikisinin sağlandığını kabul edip üçüncüsünü elde edebilir miyiz? Eğer yapabilseydik, bir kümenin, üzerindeki pozitif değerli bir fonksiyonla birlikte bir metrik uzay olduğunu gösterirken kontrol etmemiz gereken daha az koşul olurdu. Hatta (m3)’ü yani üçgen eşitsizliğini diğer iki özellikten elde edebilseydik, bize en çok zorluğu çıkaran koşulu göz önünde bulundurmak zorunda kalmazdık. Metrik uzaylar dersi alanlar bunun kulağa nasıl hoş geldiğini anlayacaklardır.

O zaman şimdi (m1) ve (m2)’nin sağlandığını kabul edip, bunlardan (m3)’ün elde edilebileceğini ispatlayalım. Bunun için, tersine (m3) koşulunun sağlanmadığını kabul edelim ve bir çelişki elde etmeye çalışalım. İşte başlıyoruz!

Tersine (m3) koşulu sağlanmasın. Özel olarak $y=z$ ve $x\neq y$ olacak şekilde $x,y,z\in X$ elemanları seçelim.

(i) $d(x,y)> d(x,z)+d(z,y)$ olduğundan yukarıda seçtiğimiz $x,y,z$ için $d(x,y)> d(x,z)+0=d(x,z)$ elde ederiz.

(ii) $d(x,z)> d(x,y)+d(y,z)$ olduğundan yine aynı değerler için $d(x,z)> d(x,y)+0=d(x,y)$ elde ederiz.

(i) ve (ii)’den $d(x,y)> d(x,z) >d(x,y)$ sonucu elde edilir, ki bu bir çelişkidir.

Wow Omg GIF - Wow Omg Surprised - Discover & Share GIFs

Demek ki şimdiye kadar onca işi boşa yaptık, yani üçgen eşitsizliğine gerek yokmuş, demek isterdim ama diğer taraftan elimizde şöyle de bir örnek var:

$X=\{x,y,z\}$ olsun ve $d(x,x)=d(y,y)=d(z,z)=0$ , $d(x,z)=d(z,x)=2$ , $d(y,z)=d(z,y)=2$ , $d(x,y)=d(y,x)=6$ olarak verilsin. Bu durumda (m1) ve (m2) sağlanır fakat $d(x,y)> d(x,z)+d(z,y)$ olduğundan (m3) özelliği sağlanmaz

O halde yaptığımız ispat pek de doğruymuş gibi görünmüyor. İşte sebebi: (m3) özelliği bize aslında $\forall x \forall y \forall z\in X$ için $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ olduğunu söyler. Yani eğer işe bunun tersini kabul etmekle başlayacaksak,

(*) $\exists x \exists y \exists z \in X$ için $d(x,y)> d(x,z)+d(z,y)$

olduğunu kabul etmemiz gerekir. Yukarıdaki ispatta bulunan $y=z$ ve $x\neq y$ özel seçimini yapabilmek için $d(x,y)> d(x,z)+d(z,y)$ eşitsizliğinin her $x,y,z$ için sağlanması gerekir. İşte (*) ifadesindeki $\exists x \exists y \exists z$ kısmı bize kafamıza göre seçim yapamayacağımızı söyler. Yani $d(x,y)> d(x,z)+d(z,y)$ eşitsizliğini sağlayan bazı değerler vardır tamam, ama bunlar bizim yaptığımız özel seçimle uyuşmayabilir.

Kıssadan hisse: Matematik bir bütündür, parçalanamaz. Niceleyiciler, yanlarına koyduğumuz ufacık ünlemler, iki nokta ile yan yana duran eşittirler… Her biri matematik alfabesinin eşit öneme sahip unsurlarıdır ve bir ispatın ya da ifadenin her satırında üşenilmeden yanımızda taşınmalıdır.

Kaynaklar
1) https://www.cut-the-knot.org/proofs/TriangleInequality.shtml#fault

Dünya’nın Şekli Üzerine Topolojik Fikirler

Posted on 25 Mayıs 2021 by esrakorkmaz

Cevapla

Öyle bir çağda yaşıyoruz ki, üzerine belki yüzlerce insanın kafa yorduğu ve tüm hayatlarını adadıkları sorular bizler için sadece sıradan ve kanıksanmış birer gerçek. Örneğin Dünya’nın şekli. Dünya’nın yuvarlak olduğu fikrinin izlerini sürdüğümüzde ilk olarak Pisagor ile karşılaşıyoruz. Hatta ondan sonra gelen Pisagorculardan, Dünya merkezli evren teorisini terk edenler bile vardır. Aristo da Dünya’nın küre olduğunu düşünenlerdendir ve Büyük İskender’in özel öğretmeni olması fikirlerinin yayılmasına katkıda bulunmuştur. Dünya’nın küre olduğu fikrinden yararlanarak çevresini ölçen Eratosthenes ise şaşırtıcı derecede yakın bir değer bulmuştur.

Dünya üzerinde bir noktadan sürekli batıya gidip en sonunda başladığımız yere dönmüş olmak, bize onun küre oluşu hakkında kesin bir bilgi verir mi? Belki de Dünya bir torus (simit) şeklindedir ve Macellan ile mürettebatı torusun iç ya da dış halkası boyunca dolaşmışlardır. Dünya’dan ayrılıp fotoğrafını çekme gibi bir imkanımız olmasaydı ya da Venüs gibi bulutlarla kaplı bir gezegenimiz olsaydı (ki bu durumda, bir torusun iç kısmında yaşıyor olsak, yukarı baktığımızda yüzeyin diğer kısmını göremezdik) Dünya’nın şekli üzerine bir yorum yapabilir miydik?

https://www.skyatnightmagazine.com/space-science/donut-earth

Sorumuza yanıt ararken bazı topolojik kavramlara ihtiyacımız olacak.

Elimizdeki nesneyi çekerek, uzatarak fakat sürekliliği bozmadan (yani yırtmadan) diğer bir nesneye dönüştürebiliyorsak bu iki nesnenin topolojik olarak eş yapılı, yani birbirlerine homeomorfik olduklarını söyleyebiliriz. Buna verilebilecek en klasik örnek bir donut (yani katı torus) ile kupanın topolojik olarak eş yapılı olmasıdır.

Bir n-manifold, her noktası n-boyutlu Öklid uzayına homeomorfik olan bir komşuluğa sahip olan bir topolojik uzaydır. Örneğin küre yüzeyi bir 2-manifolddur ve küre yüzeyinde yürüyen biri kendini bir düzlem üzerinde yürüyor sanır. Katı bir top bir 3-manifold, çember ise 1-manifolddur. Yani aslında boyut, elimizdeki nesnenin sığacağı boyut sayısı değil, o nesne üzerinde gezen birinin deneyimleyebileceği bağımsız yönlerin sayısıdır.

İki manifoldun bağlantılı toplamını elde etmek için her bir manifolddan birer disk kesip çıkarırız ve bu dairelerin sınır çemberlerini birbirine yapıştırırız. Aşağıdaki şekilde iki tane torusun bağlantılı toplamı ile iki delikli bir torusun nasıl elde edildiğini görebiliriz.

Herhangi bir manifold ile bir kürenin bağlantılı toplamı yine aynı manifoldu verecektir. Küreden bir disk çıkarıldığında elimizde yine bir disk kalır. Dolayısıyla bağlantılı toplamı elde etmek, bir diski çıkarıp yerine başka bir disk koymakla aynı şeydir.

Peki yönlendirilemez manifold ne demektir? Kendimize manifold üzerinde bir başlangıç noktası belirleyip seyahate başlayalım. Bu noktaya geri döndüğümüzde baş aşağı yani tepetaklak duruyorsak üzerinde bulunduğumuz manifold yönlendirilemez bir manifolddur. Yani tam olarak şöyle:

Animated Klein bottle — *Mobius şeridi yönlendirilemez bir manifolddur*
https://plus.maths.org/content/imaging-maths-inside-klein-bottle-2

Fakat bir çember veya torus üzerinde yürürken böyle bir durumla karşılaşmayız, bu nedenle çember ve torus yönlendirilebilir manifoldlardır.

Bir manifoldun sınırı, o manifoldun kenarı ya da kenarlar topluluğudur. Örneğin bir çemberin sınırı yoktur fakat çember, bir dairenin sınırıdır. Aynı şekilde bir kürenin sınırı yoktur (ki bu aynı zamanda küreden düşemeyeceğimiz anlamına da gelir), fakat küre katı bir topun sınırıdır. Genel olarak bir n-manifoldun boyutu n-1 olacaktır.

Bu bilgiler ışığında Dünya’nın sonlu, sınırı olmayan ve yönlendirilebilir bir 2-manifold olduğunu söylemek mümkündür. Bu durumda yüzeylere ilişkin sınıflandırma teoreminden, bir küre, ya da n-delikli ( $n\geq 1$ ) bir torus üzerinde yaşıyor olabileceğimiz sonucuna ulaşırız. Peki n-torus biçiminde bir Dünya teorisini nasıl çürütebiliriz, yani bir torus ile küreyi birbirinden ayıran şey nedir? Bunun için, yüzey üzerindeki kapalı yolları yani başlangıç ve bitiş noktası aynı olan yolları ele alalım. Yüzeyde kapalı bir yol üzerinde seyahat ederken peşimizden bir ip saldığımızı hayal edelim. Tabii ipi başlangıç noktasında bir yere bağlamayı ihmal etmiyoruz ve dönüşte de iki ucu birbirine bağlayıp kapalı bir şekil oluşturuyoruz. Soru şu: İpimizi, yüzeyden hiç ayırmamak kaydıyla tek bir noktaya büzebilir miyiz? Cevabımız evetse yani manifold üzerindeki her döngüyü, bir noktaya sürekli bir şekilde büzmek mümkünse, o manifoldun basit bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz. Aşağıdaki şekiller yardımıyla da kolayca görebileceğimiz gibi küre basit bağlantılı iken torus değildir. (Dikkat edersek torusun sol tarafında yer alan çemberi tek bir noktaya büzmek mümkün değildir.)

O halde Dünya’nın şekline dair elimizde sadece küre seçeneği kalıyor. (Torus olduğuna inananlar yok mu diyenler ve yeni teorilere yelken açmak isteyenler buraya.)

2 boyutlu manifoldlardan yararlanarak Dünya’nın şekli hakkında bir yorum yapılabileceğini gördük. Evrenin şekli hakkında tahminlerde bulunmak için ise 3 boyutlu manifoldlara ihtiyaç duyulacağı çıkarımını yapabiliriz. Tabii gözlenebilir Evren‘in bile çok ufak bir kısmından haberdar olduğumuzu göz önünde bulundurursak, bu işin öyle kolay olmayacağını anlayabiliriz. Yine de neler olup bitiyor bir göz atmak isteyenler için:
https://www.americanscientist.org/sites/americanscientist.org/files/200522415348_306.pdf
https://my.vanderbilt.edu/stacyfonstad/files/2011/10/ShapeOfSpace.pdf

Kaynaklar
1) Donal O’Shea, Poincare Sanısı / Geometri, Topoloji ve Evrenin Şekli, TÜBİTAK yayınları, 2017.
2) http://www.math.brown.edu/tbanchof/Yale/project15/math.htm

Hiç Yoktan, Yeni, Başka Bir Dünya II

Posted on 16 Mayıs 2021 by esrakorkmaz

Cevapla

Öklid dışı geometrilere neden ihtiyaç duyulduğundan ve bu kurama kimlerin katkı sağladığından bahsetmiştik. Şimdi kaldığımız yerden devam edelim ve işe bazı temel kavramlarla başlayalım. Ayrıca Gauss’un öğrencisi olan Georg Friedrich Bernhard Riemann’ın fikirlerine de değinelim. (Çekingen, dindar ve oldukça utangaç biri olarak bilinen Riemann’ın çalışmaları genel göreliliğe, Henri Poincaré’nin araştırmalarının çoğuna ve milenyum problemlerinden birini çözen Grigori Perelman’ın çalışmalarına temel olmuştur. Bu işin evrenin şekline kadar gittiğini düşünürsek, nasıl bir zincirleme reaksiyon başlamış olduğunu daha iyi kavrayabiliriz galiba.)

Riemann’ın teorisine göre, bir uzayın düz olması içerisindeki tüm üçgenlerin iç açılarının toplamının 180 derece olması demektir. Bu ise beşinci postulatın ve bir önceki yazıda bahsettiğimiz, beşinci postulata denk olan özelliklerin sağlanması anlamına gelir.

Eğer beşinci postulata denk olan paralellik aksiyomunu

bir doğru ve onun üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, o noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan hiç bir doğru çizilemez

ifadesi ile değiştirsek küresel geometriyi,

bir doğru ve onun üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, o noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan sonsuz sayıda doğru çizilebilir

ifadesi ile değiştirirsek de hiperbolik geometriyi (ya da Bolyai-Lobachevsky geometrisini) elde ederiz.

*Küre yüzeyinde herhangi iki doğru kesiştiğinden, paralel doğrular yoktur.*

Tabii bu geometrilerin tutarlı olduğunu da göstermek gerekir. Aksiyomatik bir sistemin tutarlı olduğunu göstermenin yöntemlerinden biri de bir model kullanmak, yani elimizdeki aksiyomların doğru olduğu matematiksel bir yapı elde etmektir. Örneğin, soyut anlamda bir grup, belirli aksiyomları karşılayan ikili bir işlemle birlikte bir kümedir. Matris yada simetri grupları ise, bir grubu daha somut bir biçimde sunmaya yarayan modellerdir. O zaman şimdi Öklid dışı geometriler için oluşturulmuş modellerden bazılarına bakalım.

Bildiğimiz gibi bir doğru, iki nokta üzerindeki en kısa yolu oluşturan bir çizgi olarak düşünülebilir. Bir yüzey üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa yola ya da eğriye ise jeodezik denir. Eğer o yüzeyin üstünde yaşıyorsanız, jeodezik üzerinde yürürken, düz bir çizgi üzerinde yürüdüğünüzü sanırsınız. Öklid dışı geometride doğrular jeodezikler olacaktır.

Küresel geometriyi modellemenin en kolay yolu, bir kürenin yüzeyindeki geometriyi ele almaktır. (Riemann sayesinde yüzeylerin bir metriğe, dolayısıyla doğrulara ve bir geometriye sahip olduğu biliniyor.) Küre yüzeyinde jeodezikler büyük çemberler, yani küre ile onun merkezinden geçen bir düzlemin kesişmesiyle elde edilen çemberlerdir. Bu çemberlerin çapının kürenin çapına eşit olduğunu söyleyebiliriz. Dünya her ne kadar tam bir küre olmasa da, jeodezikler büyük çemberlere oldukça yakındır. Tüm boylamlar birer büyük çember olmasına rağmen, enlemlerden sadece biri, ekvator, bir büyük çemberdir. Dünya üzerinde iki yer arasındaki en kısa mesafe büyük çemberler üzerindeki rotalardır. Örneğin aynı enlem üzerinde yer alan Pekin’den ve Philadelphia’ya enlem üzerinden gidersek 16.302 km, büyük çemberler üzerinden (Kuzey Kutbu’nun yakınından geçen bir rota düşünün) gidersek 11.069 km yol katederiz.

Hazır bu konuya girmişken düz dünyacıları da aydınlatacak bir bilgi ekleyelim. Küre üzerinde birbirine zıt konumda olan, yani kürenin çapının iki ucunda bulunan nokta çiftine antipodal noktalar denir. İki antipodal noktadan geçen sonsuz çoklukta büyük çember vardır. Bu nedenle Dünya üzerinde antipodal noktalar olarak görülebilecek olan Madrid’ten Auckland’a uçuşa hangi yönden başlarsak başlayalım seyahat süremiz değişmeyecektir. Bu durum düz bir Dünya’da tabii ki mümkün değildir.

Gauss, Bolyai ve Lobachevsky hiperbolik geometriyi bulduklarında sadece, parallellik aksiyomunu değiştirmenin güzel sonuçlar verdiğini, birbirine bağlı teoremler ispatlayabildiklerini ve hesaplamalar yapabildiklerini görmüşlerdir. Fakat bu yeni geometrinin tutarlı olduğunu kanıtlamamışlardır. Eugenio Beltrami, farklı modeller kullanarak hiperbolik geometrinin tutarlı olduğunu gösteren ilk kişidir. Bu modeller, Poincaré Disk Modeli, Beltrami-Klein Modeli ve Poincaré Üst Yarı Düzlem Modelidir.

Poincaré disk modelinde $x^2+y^2-z^2=-1$ hiperboloidinin üst kolunun xy-düzlemindeki birim çemberin içine izdüşümü alınır. Bunu yaparken hiperboloid üzerindeki bir P noktası, P ile (0,0,-1) nokrasından geçen bir doğrunun xy-düzlemini kestiği noktaya taşınır. Burada hiperbolik jeodezikler diskin merkezinden geçen doğrular ve birim çemberi dik açıyla kesen dairesel yaylar olacaktır.

*Poincaré Disk Modelinde bazı jeodezikler*

Beltrami-Klein modelinde ise hiperbolik yüzeyin z=1 düzlemi üzerindeki birim diskin içine izdüşümü alınır ve jeodezikler birim çemberin kirişleri ile temsil edilir. (Neler olup bitiyor, bir bakalım diyenler buraya.)

*Beltrami-Klein modelinde* *bazı jeodezikler*

Poincaré üst yarı düzlem modelinde hiperbolik yüzey üst yarı düzleme resmedilir ve jeodezikler yarı çemberler ile temsil edilir.

Poincaré upper half-plane model | geometry | Britannica

Elimizde doğru kavramı olduğunda, üçgenleri de üç jeodezik ile sınırlı bölge olarak tanımlamak mümkün olacaktır. 2-manifold üzerine çizilen üçgenlerin iç açıları toplamının 180 dereceden ne kadar saptığının ölçüsü ise bize eğriliği verir. Açılar toplamı 180 dereceye eşitse eğrilik sıfırdır. Eğer 180 dereceden büyükse eğrilik pozitif, küçükse negatiftir. Ayrıca yüzey üzerine çizilen bir çemberin çevresinin çapına oranı, pozitif eğriliğe sahip yüzeylerde $\pi$ ‘den küçük, negatif eğriliğe sahip yüzeylerde ise $\pi$ ‘den büyüktür. Semer yüzeyi negatif eğriliğe, küre yüzeyi ise pozitif eğriliğe sahiptir. Pozitif eğriliğe sahip bir yüzeyden kesilen bir çokgeni düzleştirmek mümkün değildir. Fakat negatif eğriliğe sahip bir yüzeyden kesilen bir çokgen, düzlem üzerinde içereceğinden daha fazla materyale sahip olacağı için düzleştirilmesi mümkündür. Negatif eğriliğe sahip bir yüzeyde, paralel gibi görünen jeodezikler üzerinde birbirine en yakın olacak şekilde yola çıkan iki kişi gittikçe birbirinden uzaklaşır.

Hiperbolik geometri eyer yüzeylerinin ve sabit negatif eğriliğe sahip yüzeylerin; küresel geometri ise küre yüzeyinin ve sabit pozitif eğriliğe sahip yüzeylerin geometrisidir. (Hiperbolik geometrinin bu özelliği ilk fark eden Eugenio Beltrami olmuştur. Hatta Henri Poincaré Öklid dışı geometriyi ilk olarak Beltrami’den öğrenmiş, sonrasında iki boyut ile yetinmemiş, çalışmalarını yüksek boyutlu geometrilere genişletmiştir. ) Eliptik geometri (Riemann geometrisi) ise antipodal noktaların birbiriyle eşlendiği küresel geometri olarak düşünülebilir. Dolayısıyla küresel geometride iki doğru (yani jeodezik) iki noktada kesişirken, eliptik geometride tek noktada kesişirler.

Öklid dışı geometride tüm bu yapılanlar matematiği yepyeni yönlere taşımış ve matematikçilere farklı dünyaların kapılarını açmıştır. İnsanın hayal gücü yalnızca deneyimleyebileceği şeylerle sınırlı değildir. Hayal gücümüz bize öyle dünyaların kapılarını açar ki, buralardan geçip kimi zaman hiç ummadığımız yerlere, kimi zaman da her zaman bir cevap aradığımız soruların yanıtlarına ulaşırız.

Kaynaklar
1) Donal O’Shea, Poincare Sanısı / Geometri, Topoloji ve Evrenin Şekli, TÜBİTAK yayınları, 2017.
2) https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/hyperbolic.html
3) https://www.geogebra.org/m/pwkuwuzz
4) https://www.britannica.com/science/non-Euclidean-geometry#ref828724

Hiç Yoktan, Yeni, Başka Bir Dünya

Posted on 15 Mayıs 2021 by esrakorkmaz

Cevapla

Bir matematik bloğu yazıp da, Öklid’in Elemanlar’ından bahsetmemek olmaz sanırım. Hakkında neredeyse hiçbir şey bilmediğimiz Öklid’in, neredeyse herkesin hakkında bir şeyler bildiği, binlerce yıllık Babil ve Mısır matematiğinin bir derlemesi olan Elemanlar, orijinal metninin neye benzediği bilinmese de birçok kopyası ile insanlık tarihinin en çok okunan kitaplarından biridir. Şimdi dikkatimizi, 13 ciltten oluşan bu kitabın 1. cildinde bulunan ve Öklid dışı geometrilerin ortaya çıkmasında temel rol oynayan beşinci postulata verelim:

Eğer iki doğru üzerine düşen bir doğru, aynı taraftaki iç açıların iki dik açıdan küçük olmasına neden oluyorsa, bu iki doğru sonsuza kadar uzatıldığında iç açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta karşılaşırlar.

Diğer postulatların sadeliği yanında oldukça karışık ve anlaşılmaz görünüyor. Öklid de bu işten pek hoşlanmamış olacak ki, bu postulatı kullanmayı oldukça ertelemiş ve 29. önermeye kadar kullanmamıştır. Aslında olay tam olarak şu:

$\alpha$ ve $\beta$ açılarının toplamı 180 dereceden küçük olduğundan, mutlaka bir noktada kesişecekler. Beşinci postulat birçok matematikçi tarafından saplantı haline gelmiştir. İspatlamaya, diğer postulatları kullanarak elde etmeye ve bu postulatı denk ifadelerle değiştirmeye çalışanlar olmuştur. Çabaların çoğu boşa çıkmış gibi görünse de bize kazandırdıkları tartışılamaz derecede önemlidir. Yaklaşık 2000 yıl önce İskenderiye’de bir kelebek kanat çırpar, bunun yarattığı girdap 19. yüzyılda bir adamın (Bernhard Riemann) yeni bir teori (Riemann Geometrisi) ortaya koymasına neden olur ve bu teori 20. yüzyılda bir adamın (Albert Einstein) genel görelilik kuramını ortaya koyarken kullanabileceği matematiksel bir ortam yaratır.

Peki beşinci postulatı ispatlayabilmek için kimler neler yapmıştır?

*Nasîrüddin Tûsî (1201-1274), Ömer Hayyam (1048-1131), Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733) ve Johann Heinrich Lambert (1728-1777) beşinci postulata denk ifadeler elde edip, bunların yanlış olduğunu varsayıp bir çelişkiye ulaşmaya çalışmışlardır.
*Immanuel Kant (1724-1804), Öklid geometrisinin önermelerinin a priori olarak doğru olduğu yani doğruluğuna deney yapmaksızın, mantık yoluyla ulaşılabileceği fikrini öne sürmüştür.
*Adrien-Marie Legendre (1752-1833) uzun yıllarını bu postulatı ispatlamaya adamış fakat başarısız olmuştur.

Tüm bu çabalar sonunda postulata denk olarak elde edilen önermeler ise şöyledir:

1) Paralellik aksiyomu: Bir doğruya dışındaki bir noktadan sadece bir paralel doğru çizilebilir.
2) Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
3) Dairenin çevresinin çapına oranı tüm daireler için aynıdır.
4) Pisagor teoremi.

Beşinci postulatın sırlarını çözen üç kişi, Johann Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobachevsky ve János Bolyai olmuştur. Gauss ve Janos Bolyai’nin babası Farkas Bolyai Göttingen Üniversitesinde tanışmışlar ve Öklid’in aksiyomlarını tartışma olanağına sahip olmuşlardır. Gauss’un şansı yaver gitmiş ve Göttingen’de kalmıştır. Hamisi olan baron yaşadığı sıkıntılardan ötürü desteği kesmek zorunda kalınca ülkesi Macaristan’a dönen Farkas ise, düşük ücretlerle matematik, fizik ve kimya öğretmeye başlamıştır. Fakat oğlu János’un yetişmesine destek olmuştur. Askeri mühendislik programını bitiren János da aklını babası gibi beşinci postulata takmıştır. Babasının tüm vazgeçirme çabalarına rağmen, beşinci postulatın doğru olmadığı durumlarda nelerle karşılaşılacağını araştırmaya devam eden János, günümüzde hiperbolik geometri olarak bilinen alanı geliştirmeye başlamış ve yapmaya çalıştığı şeyin “hiç yoktan, yeni, başka bir dünya” yaratmak olduğunu ifade etmiştir.

Bu sırada Gauss’un da Öklid dışı geometrilerle ilgili sonuçlar elde ettiğini, arkadaşı Taurinus’a yazdığı mektuplardan anlıyoruz.

Bir üçgenin üç açısının toplamının 180 dereceden az olduğunu varsaymak bizimkinden çok farklı ama tamamen tutarlı bir geometriye yol açıyor; bu geometriyi kendimi tamamen tatmin edecek derecede geliştirdim…

diyor Gauss 1824 yılında yazmış olduğu mektupta. Fakat yeterince üne ve geniş bir çevreye sahip olan Gauss, bu çalışmaları yayınlamamayı tercih etmiştir. (Ölümünden sonra, Öklid dışı geometriyi ilk keşfedenin o olduğu anlaşılmıştır.) Farkas, Gauss’a oğlunun çalışmalarından bahsettiğinde hem şaşırmış, hem de bu fikirler biri tarafından kaleme alındığı ve kendisi öldükten sonra kaybolmayacakları için sevinmiştir. Tabii János bu durumdan pek de memnun olmamıştır. Üstelik Gauss yardımıyla Nikolai Lobachevsky isimli bir adamın da Öklid dışı geometri üzerine başarılı çalışmalar yaptığını öğrendiğinde, Lobachevsky’nin çalışmalarını taktir etse de, böyle birinin aslında var olmadığını, tüm bunların Gauss tarafından oynanan bir oyun olduğunu düşünmüştür.

Bolyai’nin şüphelerinin aksine Lobachevsky vardır fakat Öklid dışı geometri üzerine yaptığı çalışmalar ilk zamanlar neredeyse yok hükmündedir ve dikkatlerden kaçmıştır. 1840 yılında paralellik kuramı hakkında yayımladığı Almanca kitap Gauss’u oldukça etkilemiştir ve Gauss, Lobachevsky’nin Göttingen Bilimler Akademisi’ne seçilmesini sağlamıştır. Buna rağmen, Lobachevsky’nin hayattayken kıymeti bilinmeyen bilim adamlarından biri olduğunu söylemek yanlış olmaz.

Öklid dışı geometrinin kurguya da birçok yansıması olmuştur. Örneğin Dostoyevski’nin Karamazov Kardeşler kitabının bir yerinde, Ivan Karamazov’un aşağıdaki konuşması yer alır:

Tanrı varsa ve yeryüzünü gerçekten yaratmışsa, onu Öklid geometrisi üzerine kurmuş, insan zekasına ancak üç boyutlu kavrayabilme gücü vermiştir. Bununla beraber eskiden de, şimdi de -hatta en kalburüstü olanlar arasında- yeryüzünü ve daha da genişleterek bütün evrenin Öklid ilkelerine dayandığını kuşkuyla karşılayanlar, hatta Öklid ‘e göre yeryüzünde kesişmesi mümkün olmayan iki doğrunun belki sonsuzluğun bir yanında bir araya gelebileceğini düşünenler çıkıyor. Azizim, aklım bunlara ermedikten sonra Tanrıyı nasıl anlayabilirim? Açık söylüyorum: Bu çapta sorunları çözebilecek güçte değilim; zekam Öklid çevresi içinde, dünyasaldır.

Lobachevsky’nin çalışmaları gazetelerde manşet olduğunda, hevesli bir gazete okuyucusu olan Dostoyevski bu durumdan haberdar olmuştur. Bu çalışmalar aslında Kant’ın, uzay ve zaman gibi fikirlerin a priori olarak bilindiğini söyleyen tezini çürütmüştür. İşte Rusların asıl ilgilendiği de çalışmanın özü değil, felsefi dünyanın köylüleri olduğu düşünülen Rusların içinden çıkan bir adamın, büyük bir Almanı alt etmiş olmasıdır.

Sonuç olarak Gauss, Bolyai ve Lobachevsky’nin beşinci postulatın geçersiz olduğu geometriler bulunduğunu göstermeleri, Öklid’in bunu bir postulat olarak vermekte haklı olduğu gerçeğini ortaya çıkarmıştır. Açıklanması yüzyıllar alan tek bir postulat, o zamanlar kıymeti anlaşılmamış olsa da, insanlığa yepyeni ufuklar açmıştır.

Kaynaklar
(1) Donal O’Shea, Poincare Sanısı / Geometri, Topoloji ve Evrenin Şekli, TÜBİTAK yayınları, 2017.
(2) http://pmrb.net/uos/?q=4_3_2
(3) https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry
(4) https://kasmana.people.cofc.edu/MATHFICT/mfview.php?callnumber=mf798

Dijital Topoloji 101: Bazı Temel Kavram ve Sonuçlar

Posted on 5 Mayıs 2021 by esrakorkmaz

Görüntü işleme günümüzde hızla gelişen teknolojilerden biridir ve fotoğraf veya belgelerin taranıp dijital ortama aktarılmasından tutun da yüz tanıma sistemleri, radar, astronomi ve radyolojiye kadar uzanan geniş bir kullanım alanı vardır. Dijital topoloji, dijital görüntülerin topolojik özelliklerinin incelenmesine dayanan ve inceltme (thinning), bağlantılı bileşen etiketleme (connected component labeling) gibi görüntü işleme tekniklerine matematiksel bir temel sunan bir alandır. Bu yazıda, ikili görüntü dizileri için bu topolojik fikirlerin nasıl uygulanabileceğinden bahsedeceğiz. İkili görüntü dizileri, grilik seviyesindeki (grayscale) bir görüntüden eşikleme (tresholding) yöntemi ile elde edilir. Yani kabaca, arka planın ve arka plandan ayrılmak istenen nesnenin gri ton seviyesi hakkında edinilen bilgiye göre bir eşik değeri belirlenir ve daha sonra bu değerin altındaki gri seviyelerine 0, üstündekilere ise 1 değeri atanır. (Dijital topolojinin bir genelleştirmesi olan bulanık dijital topolojide bu değerler $[0,1]$ aralığında değişebilir.)

İki boyutlu bir dijital görüntüde her piksel bir latis noktası (yani koordinatları tam sayı olan bir nokta) ile ilişkilendirilebilir. Yani iki boyutlu bir dijital görüntü $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ ‘nin sonlu bir alt kümesi olarak düşünülebilir. Bir $p=(x,y)$ latis noktası için, $p$ ‘nin 4-komşularının kümesi,

$N_4(p)=\{(x-1,y),(x+1,y), (x,y-1), (x,y+1)\}$

biçiminde; 8-komşularının kümesi ise,

$N_8 (p)=N_4 (p)\cup \{(x-1,y-1),(x+1,y+1), (x-1,y+1), (x+1,y-1)\}$

biçiminde tanımlıdır.

Eğer $q\in N_n (p)$ $(n=4,8)$ ise, $q$ ile $p$ noktaları n-bitişiktir denir. Eğer birbirine n-bitişik olan $s_1\in S_1$ ve $s_2\in S_2$ noktaları varsa, $S_1$ ve $S_2$ kümeleri n-bitişiktir (n-adjacent) denir.

Tanım: S latis noktalarının bir kümesi olsun.
(1) Eğer S, birbirine n-bitişik olmayan iki altkümeye bölünemezse, S kümesi n-bağlantılıdır denir.
(2) S’nin herhangi diğer bir noktasına n-bitişik olmayan n-bağlantılı, boştan farklı bir alt kümesine, S’nin n-bileşeni denir.

Yukarıdaki küme 8-bağlantılı bir kümedir çünkü birbirine 8-bitişik olmayan iki altküme bulmak mümkün değildir. Ayrıca bu kümenin, farklı renklerle gösterilmiş olan 3 tane 4-bileşeni vardır. (Örneğin siyah noktalardan oluşan altküme, hem 4-bağlantılıdır hem de diğer renklerdeki hiçbir noktaya 4-bitişik değildir. Bu nedenle kümenin 4-bileşenlerinden biridir.)

İki boyutlu dijital resim tanımını vermeden önce, bir dijital resimdeki nokta türlerinden ve bunların arasındaki ilişkilerden söz edelim.

Tanım: Değeri 1 olan bir piksele karşılık gelen bir latis noktasına siyah nokta; değeri 0 olan bir piksele karşılık gelen bir latis noktasına ise beyaz nokta denir.

Dijital topolojide beyaz ve siyah noktalar için farklı bitişiklik türleri kullanılır. Örneğin, beyaz noktalar için 8-bitişiklik kullanılıyorsa (yani, iki beyaz noktanın bitişik olması, 8-bitişik olmaları anlamına geliyorsa), siyahlar için 4-bitişiklik kullanılır. Ya da tersine, siyahlar için 4-bitişiklik kullanılıyorsa beyazlar için 8-bitişiklik kullanılır. Bunun sebebi, her iki nokta türü için aynı bitişiklik bağıntısı kullanıldığında paradoks ortaya çıkmasıdır. Bu durumu aşağıdaki şekil üzerinden açıklayalım.

Tüm noktalar için 8-bitişiklik bağıntısını kullandığımızı kabul edersek, siyah noktalar kümesi ve beyaz noktalar kümesinin bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz. Bu durumda sanki elimizde siyah noktalardan oluşan bir Jordan eğrisi varmış gibi düşünürsek, bu eğrinin beyaz noktalar kümesinin bağlantılılığını bozmaması, yani düzlemi iki parçaya ayırmaması matematiksel bir paradoksa yol açar.

Şimdi de tüm noktalar için 4-bitişikliği kullandığımızı kabul edelim. Bu durumda siyah noktalar kümesi tamamen bağlantısız olur çünkü, hiçbir siyah nokta birbirine bağlantılı olmadığından kümenin tüm bağlantılı bileşenleri tek nokta kümeleridir. Beyaz noktalar kümesinin ise iki tane bağlantılı bileşeni vardır. (Bunlardan biri siyah noktalar ortasındaki tek beyaz noktadan oluşan kümedir.) Burada tamamen bağlantısız bir küme, beyaz noktalar kümesini ayırmış oldu ki bu da mantığa aykırı bir durum. (Yani kabaca, siyah noktalar arasında boşluklar varmış ama yine de beyazlar birbirinden ayrılıyormuş gibi düşünebiliriz.)

Tanım: $\mathcal{P}=(\mathbb{Z}^2,m,n,B)$ dörtlüsüne iki boyutlu dijital resim (ya da (m,n) dijital resim) denir. Burada, $B\subseteq \mathbb{Z}$ , $(m,n)=(8,4)$ ya da $(m,n)=(4,8)$ ‘dir. $B$ ‘nin noktaları siyah noktalar, $\mathbb{Z}^2 \setminus B$ ‘nin noktaları ise beyaz noktalar olarak adlandırılır.

(Yukarıdaki tanımda kabaca, $B$ kümesi görüntüdeki nesne, $\mathbb{Z}^2 \setminus B$ ise arka plan olarak düşünülebilir.)

$\mathcal{P}$ ‘de iki siyah nokta için m-bitişiklik; iki beyaz nokta ve bir beyaz bir siyah nokta için ise n-bitişiklik kullanılır. (Yani örneğin bir beyaz ve bir siyah noktanın bitişik olması, onların n-bitişik olması anlamına gelir.)

*Bir (4,8) dijital resimde bitişik noktalar*

S kümesi, siyah ve/veya beyaz noktalardan oluşan bir küme olsun. Eğer S, birbirine bitişik olmayan iki kümeye ayrılamıyorsa, S kümesi bağlantılıdır denir. S’nin herhangi bir diğer noktasına bitişik olmayan, bağlantılı, boştan farklı bir alt kümesine, S’nin bir bileşeni denir. Tüm siyah noktalar kümesinin bir bileşeni siyah bileşen; tüm beyaz noktalar kümesinin bir bileşeni ise beyaz bileşen olarak adlandırılır.

$X$ ve $Y$ , $\mathcal{P}$ ‘de birer noktalar kümesi ve $X$ bağlantılı olsun. Eğer $Y$ ‘nin her noktası $V\setminus X$ ‘in sonlu bir bileşeni tarafından içeriliyorsa $\bf{X}$ , $\bf{Y}$ ‘yi çevreler (X surrounds Y) denir.

C bir siyah bileşen olsun. C’ye bitişik ve C ile çevrelenmiş olan bir beyaz bileşene C’de bir delik (hole) denir. Dijital resimde bir siyah bileşen bir nesneye, delikler ise o nesnedeki deliklere karşılık gelir.

Yukarıdaki şekli bir (8,4) dijital resim olarak düşünürsek siyah bileşenin iki deliği olacaktır. (Dikkat edersek, beyaz noktalar için 4-bitişiklik bağıntısı kullanıldığından, siyah bileşenin içinde kalan beyaz noktaların kümesi bağlantılı değildir ve iki bileşenden oluşur.) Fakat aynı şekil bir (4,8) dijital resim olarak düşünüldüğünde siyah bileşenin yalnızca bir deliği olur. (Çünkü bu kez, beyaz noktalar için 8-bitişiklik bağıntısı kullanıyoruz ve bu nedenle içeride beyaz noktalar tek bir bileşenden oluşuyor.)

Hiçbir siyah noktaya bitişik olmayan bir siyah nokta izole nokta olarak adlandırılır. Bir ya da daha fazla beyaz noktaya bitişik olan bir siyah noktaya sınır noktası, sınır noktası olmayan bir siyah noktaya ise iç nokta denir. Bir siyah bileşenin sınırı (sırasıyla, içi) tüm sınır (sırasıyla, iç) noktalarının kümesine eşittir.

(4,8) dijital resimde p ve q izole noktalar iken, (8,4) dijital resimde yalnızca p bir izole noktadır.

Yukarıda şekilde kare ve halka ile çevrili olan noktalara bakalım. Eğer bir (8,4) dijital resim üzerinde çalışıyorsak, sadece kare ile çevrili noktalar sınır noktası olacaktır. Fakat bir (4,8) dijital resim üzerinde çalışıyorsak, bir beyaz ve bir siyah nokta için 8-bitişiklik bağıntısı kullanıldığı için hem halka hem de kare ile çevrili noktalar birer sınır noktası olur.

$\mathcal{P}=(\mathbb{Z}^2,m,n,B)$ bir dijital resim olsun. Bu durumda $D\subseteq B$ olmak üzere, $\mathcal{P}$ ‘den $D$ ‘deki noktaların silinmesiyle elde edilen dijital resim $\mathcal{P}^\prime=(\mathbb{Z}^2,m,n,B\setminus D)$ ‘dir. (Diğer bir ifadeyle, $\mathcal{P}$ dijital resmi $\mathcal{P}^\prime$ resmine $D$ ‘deki noktaların eklenmesiyle elde edilir.)

Peki, elimizdeki dijital resmin topolojisini koruyacak şekilde bir nokta silme işlemi nasıl yapılmalıdır? Bunun için önce aşağıdaki kavramlara bir bakalım.

Bir şeklin iskeleti (ya da, topolojik iskeleti), o şeklin, sınırlarından eşit uzaklıkta olan ince bir halidir.

Görüntü inceltmenin amacı, dijital resmin siyah noktaları kümesini bir iskelete indirgemek ve bunu yaparken şeklin topolojisini korumaya dikkat etmektir. (Görüntü inceltmeye topolojik olmayan yaklaşımlar da yapılmıştır.) Stefanelli ve Rosenfeld yaptıkları çalışmada dijital resmin topolojisini koruyan (yani, bir siyah bileşeni iki ya da daha fazla parçaya bölmeyen, ortaya yeni bir beyaz bileşen çıkmasına veya iki beyaz bileşenin birleşmesine sebep olmayan) algoritmalar geliştirmişlerdir.

Bunu yaparken ise aşağıdaki kriteri kullanmışlardır:

(*) $\mathcal{P}=(\mathbb{Z}^2,m,n,B)$ bir dijital resim olsun. Bir $D\subseteq B$ altkümesindeki noktalar silindiğinde, resmin topolojisinin korunması için gerek ve yeter koşul aşağıdaki özelliklerin sağlanmasıdır:
1) $\mathcal{P}$ nin her siyah bileşeni, $\mathcal{P}^\prime$ nün sadece bir siyah bileşenini içerir.
2) $\mathcal{P}^\prime$ nün her siyah bileşeni $\mathcal{P}$ nin sadece bir beyaz bileşenini içerir.
(Burada $\mathcal{P}^\prime=(\mathbb{Z}^2,m,n,B\setminus D)$ olduğunu hatırlayalım.)

p bir siyah nokta olmak üzere, eğer p’nin silinmesi dijital resmin topolojisini koruyorsa (yani kriter (*)’da verilen koşullar sağlanıyorsa), p’ye bir basit nokta denir. Demek ki p’nin bir basit nokta olması için gerek ve yeter koşul p silindiği zaman siyah bileşenlerin ve beyaz bileşenlerin sayısının değişmemesidir. Basit noktaların aşağıdaki karakterizasyonu hem (8,4) hem de (4,8) dijital resimler için geçerlidir.

Teorem 1: $\mathcal{P}=(\mathbb{Z}^2,m,n,B)$ bir (8,4) ya da (4,8) dijital resim, p izole olmayan bir sınır noktası ve $B^\prime=B\setminus \{p\}$ olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir:
(1) p bir basit noktadır.
(2) p noktası, $N(p)\cap B^\prime$ kümesinin sadece bir bileşenine bitişiktir.
(3) p noktası, $N(p)\setminus B$ kümesinin sadece bir bileşenine bitişiktir.
(Burada $N(p)=N_8 (p)\cup \{p\}$ biçiminde tanımlıdır.)

Şimdi Teorem 1’i kullanarak yukarıdaki dijital resimde p noktasının basit nokta olup olmadığını inceleyelim. İlk olarak bir (8,4) dijital resim üzerinde çalıştığımızı düşünelim. $N(p)\cap B^\prime$ kümesi aslında p’nin tüm siyah 8-komşularının kümesidir ve siyah noktalar için 8-bitişiklik kullanıldığı için bu küme bağlantılıdır. O halde (2) koşulu sağlanır ve p bir basit noktadır. Fakat aynı şekli bir (4,8) dijital resim olarak ele alırsak p bir basit nokta olmaz. Bunu da (3) koşulu üzerinden görmeye çalışalım. Öncelikle $N(p)\setminus B$ kümesinin, p’nin tüm beyaz 8-komşularının kümesi olduğunu söyleyebiliriz. Bu küme iki bileşenden oluşur ve bir beyaz bir siyah nokta için 8-bitişiklik kullanıldığından, p her iki bileşene de bitişiktir yani (3) koşulu sağlanmaz. Dikkat edersek burada p’nin silinmesi aslında iki beyaz bileşenin birleşmesine sebep olarak dijital resmin topolojisini bozuyor.

Son olarak bir algoritmanın topolojiyi koruması için yeterli koşulun ne olması gerektiğini ifade eden bir teoremle konuyu noktalayalım. Bunun için kuzey sınır noktası ve bitiş noktası kavramlarına ihtiyacımız olacak.

p=(x,y) bir siyah nokta olsun. Eğer (x,y+1) noktası bir beyaz nokta ise p’ye bir kuzey sınır noktası denir. Sadece bir siyah noktaya bitişik olan siyah noktaya bitiş noktası denir.

Teorem 2: $\mathcal{P}=(\mathbb{Z}^2,m,n,B)$ bir (8,4) ya da (4,8) dijital resim olsun. Bu durumda bitiş noktası olmayan basit kuzey sınır noktalarının (paralel) silinmesi dijital resmin topolojisini korur.

Yukarıdaki (8,4) dijital resimde halka içindeki noktalar teoremin koşullarını sağlar. Bu noktalardan herhangi sayıda silindiğinde kriter (*)’da verilen koşulların sağlandığını yani topolojinin korunduğunu kolayca görebiliriz.

Teorem 2 sadece kuzey değil; doğu, batı ve güney sınır noktaları için de geçerlidir. (Doğu, batı ve güney sınır noktalarını tanımlarken, kuzey sınır noktası tanımındaki (x,y+1) noktasını, sırasıyla, (x+1,y), (x-1,y), (x,y-1) noktaları ile değiştirmek yeterlidir.) Fakat nokta sadece bir yönden silinmelidir. Örneğin aşağıdaki (8,4) dijital resimde kuzey sınır noktası olan p’yi ve batı sınır noktası olan q’yu sildiğimizde iki beyaz bileşeni birleştirmiş oluruz ve bu nedenle de şeklin topolojisi korunmaz. (Burada p ve q bitiş noktası olmayan basit noktalardır, yani Teorem 2’nin koşulları sağlanır.)

Teorem 2, her bir taraftan sırasıyla nokta silerken de kullanılabilir. Örneğin önce kuzey sınır noktasını silip elde ettiğimiz yeni resimde güney sınır noktalarını bulup silebiliriz. Daha sonra ise doğu ve batı yönlerinde devam ederiz. (Bu algoritmalar sınır izleyen/border sequential algoritma olarak adlandırılır.)

Bu yazıda Kong ve Rosenfeld’in Digital topology: Introduction and Survey makalesinden yararlanarak Dijital Topoloji’nin bazı temel kavramlarını hem anlamaya hem de anlatmaya çalıştım. İki boyutlu dijital topoloji üzerinde 60’lı yılların sonundan buyana çalışılmakta olduğu göz önünde bulundurulursa, burada bahsedilenlerin sadece kısa bir giriş niteliğinde olduğu anlaşılacaktır. Daha fazlasını öğrenmek isteyenler için ise yalnızca bu makalede verilmiş olan kaynaklar bile fazlasıyla yeterli olacaktır.

*Ek öğretiler: https://www.youtube.com/watch?v=laC11NIQq8E
https://www.youtube.com/watch?v=LzIkT785iD8

Topolojik bir oluşum!

Monthly Archives: Mayıs 2021

Şeytan Ayrıntıda Gizlidir: Üçgen Eşitsizliği

Dünya’nın Şekli Üzerine Topolojik Fikirler

Hiç Yoktan, Yeni, Başka Bir Dünya II

Hiç Yoktan, Yeni, Başka Bir Dünya

Dijital Topoloji 101: Bazı Temel Kavram ve Sonuçlar