Boole Cebirleri İçin Stone Temsil Teoremi

Posted on by

24 Kasım 1864. George Boole sağanak yağmur altında, evinden üniversiteye kadar yaklaşık 5 km yürümüş ve ıslak giysileriyle ders anlatmıştır. Bir süre sonra ise üşütüp ateşlenir ve akciğerleri hızla enfekte olur. Ancak görece yeni bir disiplin olan homeopatiye inanan eşi Mary Everest Boole (soyadı, Everest dağına ismini veren amcası Albay George Everest’ten gelmektedir), benzer benzeri iyileştirir ilkesi ile George’u ıslak çarşaflara sarar. Bunun üzerinden 1 ay geçmeden zatürreye yakalanan George, 49 yaşında hayata gözlerini yumar. (Bu hikaye bir söylentiden ibaret değildir. Boole’un, babasını öldürdüğünü düşündüğü için annesini hiç affetmeyen kızlarından birinin ifadesine dayanmaktadır.)

Trajik bir başlangıç oldu ama aslında Boole’un hayatı başarılarla doludur. Hayatına yoksul bir ayakkabıcının oğlu olarak başlamasına rağmen, çoğunlukla kendi kendini eğiterek 34 yaşında İrlanda’da yeni kurulan Cork Üniversitesi’nin ilk matematik profesörü olmuştur. Ayrıca kendisi bugün sembolik mantığın babası ve bilgisayar biliminin en önemli figürlerinden biri olarak bilinmektedir. Boole, düşünme işlerimizi bizim yerimize yapabilecek bir makine hayal etmiş ve bunun için düşüncelerimizi matematiksel olarak temsil edebileceğimiz bir dile gereksinim olduğunu düşünmüş olan Leibniz’in hayallerini kısmen de olsa gerçekleştirmiştir. Bunu nasıl yaptığını Cem Say hocamız 50 Soruda Yapay Zeka kitabında gayet açık anlatmış. Kısaca özetlersek:

Gri Kedi söz öbeğini ele alalım. Griyi g, kediyi k, iki kelime arasındaki işlemi de çarpma sembolü “.” ile gösterelim. O halde “gri kedi”, “g.k” biçiminde gösterilir. Bu işlem aslında günümüzde kesişim olarak bilinen işi yapar, yani “gri olan tüm şeyler” ile “tüm kediler” ailelerinin kesişimini elde etmemizi sağlar. İki ailenin aynı seçilmesi durumunda (örneğin, “kedi kedi” ya da “gri gri”) ise anlam aynı kalır, yani bir x kavramı için “x.x=x” olur. Bilinen çarpma işleminde, bu eşitliği sağlayan sadece 0 ve 1 olduğundan, kavramları cebirsel bir dille yazarken sadece 0 ve 1’den oluşan bir sistem kullanmak uygun olur. (Niceleme mantığı ile, bu sembolleştirme işlemini tamamlayan Gottlob Frege’yi de anmadan etmeyelim.)

Bu yazıda Boole cebiriden topolojik uzaylara giden yolu inceleyeceğiz. Bunun için, cebirsel kavramlardan yola çıkılarak elde edilen Stone uzayından ve meşhur Stone Temsil Teoreminden bahsedeceğiz. O zaman işe temel kavramlarla başlayalım.

Tanım: (1) (L,\leq) bir kısmi sıralı küme olsun. Eğer her a,b\in L için a\vee b (a ile b’nin supremumu) ve a\wedge b (a ile b’nin infimumu) varsa, L‘ye bir latis denir.
(2) L bir latis olsun. Eğer her a,b,c\in L için a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c) oluyorsa L ‘ye bir dağılımlı latis denir.
(3) L latisinin en büyük elemanı ve en küçük elemanı varsa (yani 0,1\in L ise), L ‘ye bir sınırlı latis denir.
(4) L bir sınırlı latis ve a\in L olmak üzere, b\vee a=1 ve b\wedge a=0 olacak şekilde b\in L elemanına, a‘nın tümleyeni denir ve b=a^* olarak gösterilir. L‘de her elemanın bir tümleyeni varsa, L ‘ye tümleyenli latis denir.
(5) Tümleyenli dağılımlı bir latis bir Boole Cebiri olarak adlandırılır.

Tanım: B_1 ve B_1 birer Boole cebiri ve f:B_1\rightarrow B_2 olsun. Eğer f(a\vee b)=f(a)\vee f(b), f(a\wedge b)=f(a)\wedge f(b), f(0)=0 ve f(1)=1 koşulları sağlanıyorsa f‘ye bir Boole cebiri homomorfizması denir. Bire-bir örten bir Boole cebiri homomorfizması, izomorfizma olarak adlandırılır.

Örnek: X bir topolojik uzay ve \mathcal{B}(X), X‘in hem açık hem kapalı olan altkümelerinin ailesi olsun. Bu durumda A,B\in \mathcal{B}(X) için A\vee B= A\cup B, A\wedge B= A\cap B ve A^*=X\setminus A olmak üzere, \mathcal{B}(X) bir Boole cebiridir.
X bağlantılı bir küme olsun. Bu durumda, {\bf{2}}=\{0,1\} iki-elemanlı Boole cebirini göstermek üzere \mathcal{B}(X), {\bf{2}}‘ye izomorftur. (Çünkü, X uzayının bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul o uzayda X ve \emptyset‘den başka hem açık hem kapalı küme olmamasıdır.)

Tanım: (1) L sınırlı ve dağılımlı bir latis ve F\subseteq L olsun. Eğer
(S1) her x,y\in F için x\wedge y\in F
(S2) x\in F, z\in L için x\vee z\in F koşulları sağlanıyorsa F‘ye bir süzgeç denir.
(2) F\subseteq L bir süzgeç olsun. Her x,y\in L için x\vee y\in F ise x\in F ya da y\in F oluyorsa F‘ye bir asal süzgeç denir.
(3) F\subsetneq L bir süzgeç olsun. Eğer F kapsama işlemine göre maksimal ise, F‘ye bir ultrasüzgeç denir.

Önerme 1: B bir Boole cebiri ve F\subsetneq B bir süzgeç olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir:
(i) F bir ultrasüzgeçtir.
(ii) F bir asal süzgeçtir.
(iii) Her a\in B için a\in F ya da a^*\in F dir.

Şimdi, B bir Boole cebiri ve \mathcal{S}(B), B ‘nin tüm ultrasüzgeçlerinin ailesi olsun. U_a=\{F\in \mathcal{S}(B) : a\in F\} olmak üzere, \mathcal{S}(B) üzerinde \mathcal{U}=\{U_a : a\in B\} ailesinin taban olduğu topolojiyi tanımlayalım. Yukarıdaki önermeyi kullanarak, bu topolojinin aşağıdaki özellikleri sağladığını kolayca gösterebiliriz.

(1) U_{a\vee b}=U_a\cup U_b ve U_{a\wedge b}=U_a\cap U_b dir.
(2) Her a\in B için U_a kapalıdır, yani U_a kümeleri hem açık hem kapalıdır. Çünkü U_a= \mathcal{S}(B) \setminus U_{a^*} eşitliği sağlanır.
(3) Her F\in \mathcal{S}(B) için \{F\} tek nokta kümeleri kapalıdır. Çünkü \{F\}=\bigcap_{a\in F} U_a biçiminde ifade edilebilir.

Tanım: (1) X bir topolojik uzay olsun. Eğer X‘in tüm bağlantılı alt kümeleri tek nokta kümeleri ise X‘e tamamen bağlantısız uzay denir.
(2) Tamamen bağlantısız, kompakt, Hausdorff bir uzaya Stone Uzayı denir.

Aşağıda göstereceğimiz gibi, elimizdeki her Boole cebirine bir topolojik uzay karşılık getirebiliriz. Üstelik elde ettiğimiz bu uzay bir Stone uzayı olur.

Teorem 1: B bir Boole cebiri olmak üzere, \mathcal{S}(B) bir Stone uzayıdır.

İspat: \mathcal{S}(B) tamamen bağlantılıdır: C\subseteq \mathcal{S}(B) en az iki elemanlı bir altküme olmak üzere, C‘nin bağlantılı olmadığını gösterelim. (Bu sayede, tüm bağlantılı kümelerin tek nokta kümeleri olduğunu söyleyebiliriz.) F\neq G olacak şekilde F,G\in C alalım. Bu durumda, x\in F\setminus G olmak üzere, \{U_x\cap C, U_{x^*}\cap C\}, C‘nin bir ayrışımıdır ve bu nedenle C bağlantılı değildir.

\mathcal{S}(B) kompakttır: Bunun için, \mathcal{S}(B)‘nin taban elemanlarından oluşan her açık örtünün sonlu bir alt örtüsü olduğunu göstermek yeterlidir. O halde,

“\bigcup_{a\in B^\prime} U_a= \mathcal{S}(B) olacak şekilde her B^\prime\subseteq B altkümesi için \bigcup_{a\in B^{\prime \prime}} U_a= \mathcal{S}(B) olacak şekilde sonlu bir B^{\prime \prime} \subseteq B^\prime altkümesi vardır”

ifadesinin ya da \mathcal{S}(B)\setminus U_a=U_{a^*} eşitliğini kullanarak elde edeceğimiz, ve yukarıdaki ifadeye denk olan,

“\bigcap_{a\in B^\prime} U_a= \emptyset olacak şekilde her B^\prime\subseteq B altkümesi için \bigcup_{a\in B^{\prime \prime}} U_a= \emptyset olacak şekilde sonlu bir B^{\prime \prime} \subseteq B^\prime altkümesi vardır”

ifadesinin doğru olduğunu gösterelim.

Notasyon: A\subseteq B olmak üzere, A‘yı kapsayan en küçük süzgeci \langle A \rangle ile gösterelim.

Bu durumda \langle A \rangle=\{(a_1\vee b_1)\wedge (a_2\vee b_2) \wedge \ldots \wedge (a_n\vee b_n) : a_i\in A, b_i\in B, n\in \mathbb{N}\} olduğunu görebiliriz. Ayrıca, özel olarak U_a\cap U_b=U_{a\wedge b}=U_ {\langle \{a,b\} \rangle} olur.

Şimdi \bigcap_{a\in B^\prime} U_a= \emptyset olduğunu kabul edelim. Bu durumda \bigcap_{a\in B^\prime} U_a= U_ {\langle B^\prime \rangle} olduğundan 0\in B^\prime olmalıdır. O halde 0= (a_1\vee b_1)\wedge (a_2\vee b_2) \wedge \ldots \wedge (a_n\vee b_n) olacak şekilde a_i\in B^\prime, b_i\in B vardır. B^{\prime \prime}=\{a_1, a_2, \ldots , a_n\} olsun. Bu durumda (S1) ve (S2) özelliklerinden 0\in \langle B^{\prime \prime} \rangle‘dir ve böylece \bigcap_{a\in B^{\prime \prime}} U_a= \emptyset elde edilir.

\mathcal{S}(B) Hausdorff’tur: F\neq G olacak şekilde F,G\in \mathcal{S}(B) alalım. Bu durumda, bir x\in F\setminus G elemanı vardır. x\notin G ve G bir ultrasüzgeç olduğundan a^*\in G‘dir. Bu durumda, F\in U_a, G\in U_{a^*} ve U_a \cap U_ {a^*}=\emptyset olduğundan istenilen elde edilmiş olur.

Sonuç 1: C\in \mathcal{S}(B) hem açık hem kapalı bir altküme olsun. Bu durumda C=U_x olacak bir x\in B vardır.

İspat: C\in\mathcal{S}(B) hem açık hem kapalı bir altküme olsun. Öncelikle C açık olduğundan C=\bigcup_{a\in B^\prime} U_a biçiminde yazılabilir. Ayrıca C kapalı ve \mathcal{S}(B) kompakt olduğundan C kompakttır. O halde C=\bigcup_{i=1}^n U_{a_i} olacak şekilde bir \{a_1,a_2,\ldots, a_n\}\subseteq B^\prime kümesi vardır. \bigcup_{i=1}^n U_{a_i}=U_{a_1\vee a_2\vee \ldots a_n} olduğundan istenilen elde edilmiş olur.

Teorem 2: B_1, B_2 birer Boole cebiri ve f:B_1\rightarrow B_2 bir Boole cebiri homomorfizması olsun. Bu durumda S(f):\mathcal{S}(B_2) \rightarrow \mathcal{S}(B_1), S(f)(F)=f^{-1}(F) dönüşümü süreklidir.

İspat: U_a\in \mathcal{S}(B_1 ) olsun.

\begin{aligned} S(f)^{-1}(U_a) &=\{F\in \mathcal{S}(B_2) : S(f)(U_a)=f^{-1}(F)=U_a\} \\ &= \{F\in \mathcal{S}(B_2) : a\in f^{-1}(F) \} \\&=\{F\in \mathcal{S}(B_2) : f(a)\in F\}\\ &=U_{f(a)}\end{aligned}

olduğundan S(f) süreklidir.

Yukarıda yaptığımız işlerin tersini yapmak da mümkün. Bir X topolojik uzayı verildiğinde, X‘in hem açık hem kapalı olan altkümelerinin ailesi olan \mathcal{B}(X)‘in bir Boole cebiri olduğundan bahsetmiştik. Bunun yanı sıra, X,Y topolojik uzayları ve f: X\rightarrow Y sürekli dönüşümü verildiğinde, \mathcal{B}(f): \mathcal{B}(Y) \rightarrow \mathcal{B}(X), \mathcal{B}(f)(U)=f^{-1}(U) Boole cebiri homomorfizmasını elde ederiz.

Son olarak, Boole cebirleri ile topolojik uzaylar arasında bir köprü kuran Stone Temsil Teoremine bakalım:

Teorem 3: B bir Boole cebiri olsun. Bu durumda B ile \mathcal{B}( \mathcal{S}(B)) birbirine izomorftur.

İspat: F: B\rightarrow \mathcal{B}( \mathcal{S}(B)), F(x)=U_x biçiminde tanımlanan dönüşüm bir Boole cebiri izomorfizmasıdır. F‘in homomorfizma olduğu kolayca gösterilebilir. Bire-bir ve örten olduğu ise Sonuç 1’den açıktır.

Bilindiği gibi, topolojinin ortaya çıkış hikayesi daha çok geometriye dayanır. Cebirde topolojik fikirlerin kullanılması fikrini çoğu matematikçi hoş karşılamamıştır. Mesela Birkhoff’un bu konuda fikri sorulduğunda “Bu yaklaşımı dikkate almıyorum, fakat bu durum, cebircilerin bunu yapamayacağı anlamına gelmez.” diye cevap verdiği rivayet edilir. İşte Stone Temsil Teoremi bu yaklaşımı mümkün kılar ve cebirsel bir yapıdan da ilginç topolojik uzaylar elde edilebileceğini gösterir. Bu sayede geometrik problemlere de latis teorisi yardımıyla çözümler bulmak mümkün olabilir. Son olarak şunu da eklemek gerekir ki, cebirsel kavramları topolojik uzaylara uygulama fikri Stone ile sınırlı değildir. Örneğin Henry Wallman, J. C. C. McKinsey ve A. Tarski gibi matematikçiler de latis teorik ve topolojik kavramlar arasında ilişkiler kurmuşlardır.

Matematik öylesine sırlarla ve mucizelerle doludur ki, çoğu zaman birbiri ile alakasız görünen konular arasında bir solucan deliği bulmak mümkün olur.

Son Söz ve Mutlu Son: Mary&George Boole çiftinin beş kızı vardı. Mary Ellen bir matematikçi ile evlendi. Alicia Boole Stott bir matematikçi, Lucy Everest ise ilk kadın kimyacılarından oldu. Margaret’ın oğlu alanında önde gelen bir fizikçi ve matematikçi olurken, Ethel Lilian ünlü bir yazar olup, James Bond’a ilham veren casusla ilişki yaşadı. Ayrıca Boole torunları tırmanma merdivenini (jungle jim) icat edecek, verem tedavisine öncülük edecek, taşınabilir bir röntgen icat edecek, Jüpiter’in Büyük Kırmızı Lekesini modelleyecek, Manhattan projesinde çalışacak ve Meksika’daki birkaç düzine böcek türünü keşfedeceklerdi.

Boole ailesi: Mary Boole, beş kızı ve torunları Julian ve Geoffrey Taylor, Mary Leonard Stott ve George Hinton,

Kaynaklar

(1) https://thonyc.wordpress.com/2012/12/08/killed-by-homeopathy/
(2) https://mathsci.kaist.ac.kr/~htjung/Boolean.pdf
(3) https://sydney4.medium.com/the-extraordinary-life-and-beliefs-of-mary-everest-boole-39eae49f54c9
(4) Peter T. Johnstone, Stone Spaces. Cambridge University Press (1982).
(5) Jorge Picado, Aleš Pultr, Frames and locales: Topology without points. Frontiers in Mathematics, vol. 28, Springer, Basel (2012).
(6) Cem Say, 50 Soruda Yapay Zeka, Bilim ve Gelecek Kitaplığı (2018).

Yorum bırakın