Kafka’nın böcek metaforunu duymayan yoktur herhalde. “Gregor Samsa bir sabah bunaltıcı düşlerden uyandığında, kendini yatağında dev bir böceğe dönüşmüş olarak buldu.” Şimdi biz de gözlerimizi kapatıp, kendimizi 3-boyutlu dünyanın gerçeklerinden sıyırıp, tek boyutlu bir noktaya dönüştüğümüzü hayal ediyoruz. A4 kağıdında bir noktayız. Peki, bu kağıdın içinde mi, yoksa sınırında bir nokta mıyız, bunu nasıl anlarız? Eğer iyi tahsil görmüş bir noktaysak, kağıdın sınırına olan uzaklığımızı (yani sınırdaki tüm noktalara olan minimum uzaklığı) ölçeriz ve bu uzaklığın sıfırdan büyük olup olmadığını kontrol ederiz. Peki ya mesafeleri ölçmemiz mümkün değilse? İşte o zaman ait olduğumuz küme etrafımızı çevreliyor mu diye kontrol edebiliriz. Eğer sınırdaysak A4 kağıdının bizi çevrelemediğini görebiliriz. (Yani en azından bir yanımızda kağıda ait olmayan ve hiç tanımadığımız bir dünya var.) Bizi çevreleyen küme kavramından yola çıkarak açık kümelerin “içindeki tüm noktaları çevreleyen kümeler” olduklarını söyleyebiliriz. Yani siz, açık bir kümeye ait bir noktaysanız, etrafa bakıp kendinizi güvende hissedebilirsiniz, çünkü etrafınız tanıdıklarla çevrilidir. (Matematik diliyle ifade edersek, kümenin içinde kalan en az bir komşuluğunuz olduğunu söyleyebiliriz.) Aynı zamanda bir sınır noktası olmadığınıza da emin olabilirsiniz. (Demek ki açık kümeler sınırını da içermiyor.)

Konuya temel seviyede bir giriş yaptıktan sonra esas meseleye başlayabiliriz. Açık kümeler, komşuluklar ve topolojik uzaylar… Tüm bunlar hangi aşamalardan sonra bugün bildiğimiz formlarına kavuşmuşlar? Bu sorulara bir cevap bulduktan sonra, anlamakta zorlanıp bunalanların umutsuzluğa kapılmamaları ve topolojiyi sevmeye devam etmeleri için, yazının sonuna bir ödül videosu ekleyeceğim. Çünkü yalnız değilsiniz, bunu bilin istiyorum. 🙂

Bir önceki yazıda Cantor, Peano ve Jordan’ın yaptıkları iç nokta tanımı ile açık küme kavramına ne kadar yaklaştıklarını görmüştük. (Fakat muhtemelen bu durum onların pek de umurunda olmamıştır.)

1931’de Dedekind’in yayınlanmamış çalışmalarını yayınlayan Emmy Noether sayesinde, Dedekind’in, Peano’nun ve Jordan’ınkine oldukça benzer fikirler geliştirmiş olduğunu anlıyoruz. “General Theorems About Spaces” (Uzaylar Hakkında Genel Teoremler) başlıklı çalışma “Körper” denilen bir kavramın tanımıyla başlar.

“Bir P sistemi (yani kümesi), noktalarından oluşsun. Eğer bu sistemdeki her p noktası için, p ile arasındaki uzaklık d’den küçük olan her bir nokta P’ye ait olacak şekilde bir d uzaklığı varsa, bu sistem (yani küme) bir Körper’dir. Bu durumda, noktaları P’nin içindedir denir”

Bu tanım aslında, (muhtemelen n-boyutlu) Öklid uzayında yapılmış bir açık küme tanımıdır.

Açık küme kavramından (basılı olarak) ilk kez René Baire’nin doktora tezinde, yarı-sürekli reel fonksiyonlar konusu anlatılırken bahsedilmiştir. Baire, n-boyutlu Öklid uzayında aynı merkez ve yarıçapa sahip kapalı küresini ve açık küresini tanımlamış ve sonra aşağıdaki ifadeyi eklemiştir.

“ küresinin herhangi bir noktası için, bu noktayı merkez kabul eden ve tüm noktaları küresine ait olan pozitif yarıçaplı bir küre vardır. Genel olarak, bu özelliğe sahip herhangi bir nokta kümesini n-boyutlu açık alan (open domain) olarak adlandırıyorum.”

Baire, açık alanları, “belirli bir açık alanda hangi koşullar altında tüm üst yarı-sürekli fonksiyonların supremumlarının aynı olduğu” hakkında bir teoremi kanıtlamak için kullanmıştır. Baire’nin tezinde açık kümeler sadece burada kullanılmıştır ve bu tezde Cantor’un mükemmel kümeleri (yani, kendi türev kümelerine eşit olan kümeler), açık kümelerden daha önemli bir yere sahiptir. Baire’in tezinin temel teoremi şöyledir:

“Süreksiz bir f fonksiyonunun, bir sürekli fonksiyonlar dizisi ile temsil edilebilmesi için gerek ve yeter koşul f’nin her mükemmel küme üzerinde noktasal süreksiz olmasıdır.”

Açık küme terimine ilk olarak Lebesque’in 1902 yılında Lebesque ölçüsü ve Lebesque integrallerini tanımladığı doktora tezinde rastlanır. Jordan’ın yapmış olduğu tanımlardan etkilenen Lebesque, ‘de, sınırını içermeyen bir kümeye açık (“ouvert”) küme demiştir. Ayrıca, açık kümenin her noktasının bir iç nokta olduğunu ve açık bir kümenin tümleyeninin kapalı bir küme olduğunu ifade etmiştir. Lebesgue daha sonra, açık kümeler de dahil olmak üzere yukarıdaki tüm fikirleri n-boyutlu Öklid uzayına genişletmiştir.

Lebesgue’in açık küme tanımı maalesef çok yavaş yayılmış ve hatta bunun üzerine bazı yanlış tanımlar bile yapılmıştır. Örneğin İngiltere’de W.H. ve G.C. Young kapalı olmayan bir kümenin açık küme olduğunu ifade etmişlerdir. Ayrıca, uç noktalarından en az birini içermeyen bir aralığı açık aralık olarak adlandırmışlardır.

Şimdi, açık küme tanımlarından da kopmadan, Öklid uzaylarından topolojik uzaylara giden yolda, hangi soyut uzayların tanımlandığına bir bakalım. Burada aklımıza şu soru takılabilir: Matematik, gerçek dünyayı tanımlamayı amaçlayan bir bilim dalı olarak ortaya çıktıysa, neden soyut uzaylar tanımlamaya ve genellemeler yapmaya ihtiyaç duyarız? Bunu kabaca şöyle anlatabiliriz: Bir teori gereğinden fazla kalabalıklaştığında ya da derinleştiğinde, teoremler sadece çok özel koşullar halinde, çok özel sorunlara cevap verir hale geldiğinde, uygulama alanları da kısıtlanmış olur. Bu durumda bazı temel aksiyomlar atılarak ya da daha zayıf aksiyomlarla değiştirilerek daha genel bir teori elde edilebilir. Elde edilen teorinin uygulanabilirliği daha fazla olacaktır. Örneğin topolojiyi, metrik uzaylar ve Öklid uzaylarındaki; kategori teoriyi ise cebir ve topolojideki problemleri çözmek için kullanabiliriz. Bir anlamda, farklı alanlardaki sorunları çözmede işe yarayabilecek olan bir İsviçre çakısı elde etmiş oluyoruz. Ya da, hesaplama için hesap makinesi, haberleşmek için telefon, fotoğraf çekmek için fotoğraf makinesi kullanmak yerine, tüm hepsini içeren bir akıllı telefon sahibi oluyoruz.

Öklid uzaylarının soyut uzaylara genelleştirilmesi, Maurice Fréchet’in 1904‘te L-uzayları tanıtmasıyla başlamıştır. L-uzayların arkasındaki motivasyon, Weierstrass’ın, “sürekli bir fonksiyon kapalı ve sınırlı bir aralıkta supremum değerini alır” teoremini genelleştirmektir.

X bir küme, S, X’deki sonsuz dizilerin bir kümesi ve olsun. Eğer,
(1) s=(a,a,…) sabit bir dizisi ise, s’nin limiti a’dır.
(2) Bir s dizisinin limiti b ise, s’nin her alt dizisinin limiti de b’dir.
aksiyomları sağlanıyorsa (X,F)’ye bir L-uzayı ve için F(s)’ye, s dizisinin limiti denir.

Fréchet “Eğer p, A’nın farklı elemanlarından oluşan bir dizinin limit noktası ise, p’ye A kümesinin limit noktası denir” tanımını yapmış ve Cantor’un yaptığı gibi, tüm limit noktalarını içeren kümeleri kapalı kümeler olarak tanımlamıştır. L-uzayları için kompaktlık tanımını yaparken Schoenflies’in (yanlış olan) teoremini (“Her n pozitif tamsayısı için kapalı ve , ‘in boştan farklı bir alt kümesi ise tüm ’lerin keşişimi de kapalıdır.”) kullanmıştır ve Weierstrass’ın tanımını aşağıdaki gibi genelleştirmiştir:

“Bir L-uzayında kapalı, kompakt bir küme üzerinde tanımlı her sürekli fonksiyon sınırlıdır ve supremum değerini alır.”

Fréchet, 1906’da yazdığı doktora tezinde hem L-uzayları derinlemesine araştırmış hem de metrik uzay kavramını ilk kez tanımlamıştır. Her metrik uzay bir L-uzayıdır, ancak tersi doğru değildir. Örneğin, bir metrik uzayda her türev kümesi kapalıdır, fakat bu durum L-uzaylarda geçerli değildir. Fréchet L-uzaylarda limit noktası, kapalı küme, mükemmel küme ve kümenin iç noktası kavramlarını tanımlamasına rağmen, açık kümeleri tanımlamamıştır.

n-boyutlu Öklid uzayında açık küme kavramının Lebesque ve Baire tarafından tanımlandığını söylemiştik. Soyut bir uzayda bu kavramı tanımlayan ise Hausdorff olmuştur. Bununla birlikte, Hausdorff’un topolojik uzay dediği şey, günümüzde bilinen tanım değil, komşuluk kavramını temel alan bir tanımdır. Hausdorff’un uzayları aşağıdaki 4 aksiyomu sağlayan altkümelerden oluşur.

(A) Her x noktası, x’in en az bir komşuluğuna aittir ve x’in her komşuluğu x’i içerir.
(B) U ve V, x’in komşulukları olsun. Bu durumda x’in W ⊆U ∩V olacak şekilde bir W komşuluğu vardır.
(C) Eğer bir y noktası, x’in bir U komşuluğuna aitse, bu durumda y’nin V⊆U olacak şekilde bir V komşuluğu vardır.
(D) Her x≠y için U ∩V boş küme olacak şekilde, x’in bir U komşuluğu ve y’nin bir V komşuluğu bulunabilir.

(Burada (D) özelliğinin, Hausdorff ya da olarak bilinen ayırma aksiyomu olduğuna dikkat edelim.) Bu uzayları komşuluk uzayları olarak adlandıralım. Dikkat edersek, Hausdorff’un komşulukları günümüzdeki komşuluk tanımına karşılık gelmiyor. Örneğin, E en az iki nokta içeren bir uzay ve her noktasının tek komşuluğu olsun. Bu durumda Hausdorff’un tüm aksiyomları sağlanır. Fakat günümüzdeki komşuluk tanımına göre E’nin, içerdiği her noktanın komşuluğu olması gerekirken, bu örnekte böyle bir durum söz konusu değildir.

Hausdorff bir topolojik uzay için yukarıdaki aksiyomları verdikten sonra, bu uzayda bir A kümesinin iç noktası tanımını yapmıştır:

Eğer x’in, A’nın bir alt kümesi olacak şekilde bir komşuluğu varsa, x, A’nın bir iç noktasıdır”

Ayrıca , A’ya aitse fakat A’nın bir iç noktası değilse, bir sınır noktası olduğu söylemiştir. Tüm noktaları iç nokta olan kümeleri ise açık küme (“Gebiet”) olarak adlandırmıştır. Açık kümelerin keyfi birleşiminin ve sonlu kesişiminin açık olduğunu da göstermiştir. Bunların yanı sıra yığılma noktalarını ve kapalı kümeleri aşağıdaki gibi tanımlamıştır.

“Eğer p’nin her komşuluğu B’nin sonsuz sayıda noktasını içeriyorsa, p’ye bir B’nin yığılma noktası (“Häufungspunkt”), tüm yığılma noktalarını içeren kümeye ise kapalı küme denir”

Hausdorff ayrıca kapalı kümelerin keyfi kesişim ve sonlu birleşim altında kapalı olduğunu da göstermiştir.

Şimdi de kapalı kümeleri temel alan bir uzayın tanımını verelim. 1922 yılında Polonyalı matematikçi Kazimierz Kuratowski, bir kapanış operatörü yardımıyla kapanış uzaylarını tanımlamıştır.

Bir kapanış uzayı, bir X kümesi ve X’in kuvvet kümesi üzerinde, aşağıdaki özellikleri sağlayan bir fonksiyondan (kapanış fonksiyonundan) oluşan bir ikilidir. olsun.
(1) ’nin kapanışı A’nın kapanışı ve B’nin kapanışının birleşimine eşittir.
(2) A kümesi, kapanışının alt kümesidir.
(3) Boş kümenin kapanışı boş kümedir.
(4) A’nın kapanışının kapanışı, A’nın kapanışına eşittir.

Kuratowski, kapanışına eşit olan kümeleri kapalı küme; tümleyeninin kapanışının tümleyenine eşit olan kümeleri ise açık küme olarak tanımlamıştır. Aslında kapanış uzayları bugünkü topolojik uzayların ilk halidir denilebilir.

Avusturyalı matematikçi Heinrich Tietze, 1923 yılında yayınladığı makalede, açık kümelerden bahsetmiş ve bunu yaparken Hausdorff’un kullandığı “Gebiet” ismi yerine, Alman matematikçi Constantin Carathéodory’nin kitabında kullandığı ve açık küme (offen Menge) ifadesine atıfta bulunan “offen” sıfatını benimsemiştir. (Carathéodory, tüm noktaları iç nokta olan kümelere açık küme ismini vermiştir ve “Gebiet” terimini açık bağlantılı kümeler için kullandığından, açık kümeler için yeni bir adlandırma yapmak durumunda kalmıştır.)

Tietze, aşağıdaki dört aksiyomu sağlayan uzayları tanımlamıştır.

(A’) Her x noktası en az bir açık kümeye aittir.
(B’) U ve V, en az bir ortak noktaya sahip açık kümeler ise, açık bir kümedir.
(C’) A’nın her x noktası, A’nın bir açık alt kümesinin elemanı ise, A kümesi açıktır.
(D’) Her x≠y için boş küme olacak şekilde, x’i içeren bir U ve y’yi içeren bir V açığı vardır.

Bu uzayları O-uzay olarak adlandıralım. Tietze, bir komşuluk uzayında tüm açık kümelerin ailesinin bir O-uzay olduğunu belirtmiştir. Tersine, eğer bir O-uzayda, bir x noktasını içeren tüm açık kümeler x’in komşulukları olarak kabul edilirse, o zaman x’in tüm komşuluklarının ailesinin bir komşuluk uzayı olduğu sonucunu da elde etmiştir.

Bu noktadan sonra, modern tanıma çok az kaldığını hissediyoruz ve hemen Kafka’dan bir moral sözü ekleyip yola devam ediyoruz.

“Gerçek sabır, kişinin tükendiği yerde başlar.”

Rus matematikçi Pavel Aleksandrov, 1925 yılında yayınladığı makalede, Hausdorff’un komşuluk uzaylarının tanımını açık kümeler kullanarak vermiştir.

(1) İki açık kümenin kesişimi ve keyfi sayıda açık kümenin birleşimi açıktır.
(2) Herhangi iki farklı nokta, ayrık açık kümelerde bulunur.

Sierpinski ise, ilk olarak türev kümesi ve kapalı kümeler üzerine çalışmalar yaptıktan sonra, 1934 tarihli kitabında Fréchet’nin gittiği yolu izlediğini ve açık küme kavramını temel alacağını belirtmiştir. Kitabın ilk bölümünde açık kümeler için az sayıda aksiyom sunmuş ve daha sonra altı bölümün her birine bir veya daha fazla aksiyom eklemiştir. Keyfi bir K kümesi için, ilk aksiyomları şöyledir:

(1) Boş küme açık bir kümedir.
(2) K açık bir kümedir.
(3) K’nın açık alt kümelerinin keyfi birleşimi açıktır.

Kitabının 2. kısımında ise bunlara iki aksiyom daha eklemiştir:

(4) Her p≠q için p noktasını içerip q noktasını içermeyen bir açık küme vardır.
(5) İki açık kümenin kesişimi açıktır.

(1), (2), (3) ve (5) aksiyomları topolojik uzayların bilinen tanımı, (4) ise olarak bilinen ayırma aksiyomudur. Sierpinski diğer bölümlere ise Hausdorff’un ikinci sayılabilirlik aksiyomunun başka bir versiyonunu (“Uzaydaki her açık küme, ‘nin elemanlarının birleşimi olarak yazılacak şekilde, açık kümelerden oluşan sayılabilir bir kümesi vardır.”) ve ayrıca ve olarak bilinen aksiyomları eklemiştir.

1935-1938 yılları arasında bir grup Fransız matematikçi Nicolas Bourbaki takma adıyla topoloji de dahil olmak üzere matematiğin birçok alanında kitap yazmışlardır. (Alakasız bir not: Boş küme sembolü de dahil olmak üzere birçok notasyonu matematiğe kazandıran da bu grup olmuştur.)

Bourbaki, “Structures topologiques ” bölümünün 1940’da yayımlanan ilk baskısında, açık küme kavramını temel fikir olarak kullanmış ve yalnızca ilk aksiyomu biraz değiştirerek Aleksandrov’un aksiyomlarını benimsemiştir: Açık kümelerin sonlu kesişimleri ve keyfi birleşimleri açıktır. Daha sonra, bunlara boş kümenin ve tüm uzayın açık olduğunu da eklemiştir. Fakat Bourbaki, dizilerden daha genel bir yakınsama biçimi olarak filtreleri tanımladıktan sonra, tüm uzayların aksiyomunu sağladığını kabul etmiştir. Bunun nedeni, bir topolojik uzayda aksiyomu ile bir filtrenin limitinin tek olması özelliğinin birbirine denk olmasıdır.

Herhangi bir ayırma aksiyomunu varsaymadan, günümüzdeki topoloji tanımını kullanan ise 1955 yılında yazdığı Genel Topoloji kitabı ile John L. Kelley olmuştur. Daha sonraki yıllarda yazılan birçok kitap, açık küme kavramını temel almıştır.

Tüm bu kavramlar, tanımlar, sürekli gelişen değişen fikirler ilginizi çekmiş olsa da, şuan şöyle bir ruh halinde olabilirsiniz 🙂

Ve işte son olarak da ödül videomuz:

Kaynaklar
1) G.H. Moore, The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology, Historia Mathematica 35(3), 220-241 (2008)