Topoloji dersleri genelde, üç temel aksiyomla başlar. X bir küme ve , X’in kuvvet kümesinin bir alt ailesi olsun. Eğer,
(T1) ,
(T2)
(T3)
özellikleri sağlanıyorsa ‘ya bir topoloji, ‘nun elemanlarına ise açık kümeler denir.
Sanki matematikçinin biri gelmiş ve demiş ki “Dostlar, yurttaşlar, dinleyin: Bundan sonra bu 3 aksiyomu sağlayan aile bir topolojik uzay olarak biline!” Tabii ki böyle olmamış ve bilimin her alanında olduğu gibi, bu tanım da zaman içinde evrilerek bu forma gelmiş. Hatta yapılan ilk tanımların “komşuluk” kavramını temel aldığını ve modern topolojinin bel kemiği olarak görülen açık kümelere uzun süreler ihtiyaç duyulmadığını bile söyleyebiliriz.

Bu yazıda, açık küme tanımına gelene kadar neler olup bittiğine, topolojinin hangi tanımlar çerçevesinde kimler tarafından inşa edildiğine bir bakacağız. (Tabii hikaye oldukça uzun olduğundan için bahsedemeyeceğimiz birçok kişi ve kavram da olacaktır.)

Topolojinin gelişimini üç ayrı koldan inceleyecek olsak, geometri, analiz ve fonksiyonel analizden yola çıkmamız doğru bir yaklaşım olurdu. Bir önceki yazımızda geometri ile ilişkisine kısaca değinmiştik. Burada yapacağımız şey ise analiz ile ilişkisini kurmak ve yakınsama kavramından yola çıkarak modern topolojiye doğru ilerlemek olacak.

Bir kümenin limit noktası (ya da orijinal ismiyle “Grenzpunkt”) kavramının isim babası ve bunun üzerine bir yayın yapan ilk kişi Cantor olmasına rağmen onu ilk bulan kişi Weierstrass’tır. 20 yılı aşkın süre boyunca devam eden derslerinde, Bolzano-Weierstrass teoreminin bir parçası olarak, bu kavramdan birçok kez bahsedilmiştir. Weierstrass bu teoremi topolojinin ya da orijinal ismiyle “analysis situs”un veya geometrinin değil, klasik analizin bir parçası olarak görmüştür. (Topoloji kelimesini kullanan ilk kişi Johann Benedict Listing’dir. “Vorstudien zur Topologie” adlı kitabının öncesinde yaptığı yazışmalarda da 10 yıl boyunca “Topologie” kelimesini kullanmıştır.) Teorem, n-boyutlu Öklid uzayında her sonsuz sınırlı kümenin bir limit noktası olduğunu ifade eder. Günümüzde Bolzano-Weierstrass teoremi olarak bilinmesine rağmen, Bolzano’nun çalışmalarında bu ifadeyi görmek imkansızdır çünkü daha ortada bir kümenin limit noktası kavramı yoktur. Bolzano’nun bulduğu şey Weierstrass’ın teoremi ispatlamakta kullandığı altaralıklara bölme yöntemine çok benzer bir metottur.
Weierstrass’ın derslerinde Bolzano-Weierstrass teoreminin birçok farklı ifadesi yer almıştır.
Teoremin bilinen ilk hali 1865 yılında, son hali ise 1886 yılında ifade edilmiştir.
(1865 yılında “Analitik fonksiyonlar teorisinin ilkeleri” isimli derste ifade edilen ve topolojide sıkça kullanılacak olan komşuluk tanımını içeren ifade şöyledir:
“Düzlemin sınırlı bir parçasında, verilen bir özelliğe sahip sonsuz sayıda nokta varsa, bu durumda (bu parçanın içinde ya da sınırında), her komşuluğunda bu özelliğe sahip sonsuz sayıda eleman bulunan en az bir nokta vardır.“)

İlginçtir ki, Weierstrass 20 yıl boyunca teoremin ifadesinde kullandığı bu noktaya herhangi bir isim vermemiştir. Onun yerine kariyerinin sonlarına doğru “Grenzstelle” terimini ortaya koymuştur. Burada şunu eklemek gerekir ki, “Grenzstelle” kümeye ait olamaz fakat Cantor’un “Grenzpunkt”u için böyle bir kısıtlama yoktur.

Cantor, 1872 yılında trigonometrik seriler üzerine yazdığı makalede, bir kümenin türev kümesini (yani, tüm limit noktalarının kümesini) tanımlamak için limit noktası terimini kullanmıştır. Şimdi Cantor’un tanımına bir bakalım:

“Bir P kümesinin limit noktasından anladığım şey, bir doğru üzerinde bulunan ve her komşuluğu P kümesinin sonsuz sayıda elemanını içeren bir noktadır. Limit noktası P kümesine de ait olabilir. Bir noktanın komşuluğundan kastedilen şey, noktayı içinde bulunduran bir aralıktır. Bu tanımlara dayanarak sonsuz sayıda nokta içeren her kümenin en az bir limit noktası olması gerektiğini kolayca gösterebiliriz.“

Yukarıdaki son cümle aslında Bolzano-Weierstrass teoreminin yayınlanmış ilk ifadesidir. Cantor bu teoreme herhangi bir referans vermemiş, ayrıca teorem sadece sınırlı bir küme üzerinde doğru olmasına rağmen, teoremin ifadesine böyle bir koşul eklememiştir. Bunun sebebi sadece bir dikkatsizlik olabilir. Çünkü 1882 yılında, bu teoremi ifade eden, kanıtlayan ve uygulayan ilk kişinin Weierstrass olduğunu söylemiştir. Weierstrass gibi, Cantor da Bolzano-Weierstrass teoremini klasik analizin bir parçası olarak düşünmüştür.

Kısa bir süre sonra, limit noktası kavramı İtalya’ya da ulaşmıştır. Ulisse Dini, reel analizin temelleri hakkında yazdığı kitapta, Bolzano-Weierstrass teoremini Cantor’un versiyonuna daha yakın fakat daha açık bir şekilde ifade etmiştir:

“Bir (a,b) aralığının sonsuz bir G altkümesinin (kümede olması gerekmeyen) bir limit noktası vardır.”

Cantor 1884 yılında, tüm limit noktalarını içeren küme olarak “kapalı küme” kavramını tanımlamıştır. Her kapalı kümenin bir türev kümesi olduğunu ve ayrıca kümesinin türev kümesinin, A’nın ve B’nin türev kümelerinin birleşimine eşit olduğunu göstermiştir. (Cantor’un bu özellikleri üzerinde elde ettiğini unutmayalım.)

Cantor, açık küme kavramından bahsetmemesine rağmen, 1872’de bir aralığın, 1879 ise bir kümenin iç noktaları tanımlarını vermiştir. Cantor’un tanımı Giuseppe Peano’nun Geometric Applications of the Infinitesimal Calculus kitabında yapmış olduğu iç nokta tanımına yakındır. Peano’nun tanımı ise şöyledir:

“A kümesi ‘in bir alt kümesi olsun. Eğer, p ile arasındaki uzaklık r’den küçük olan tüm noktalar A’ya ait olacak şekilde bir r>0 varsa, p, A’nın iç noktasıdır denir.“

Peano ayrıca dış nokta (bir kümenin tümleyeninin iç noktaları) ve sınır noktası (ne iç ne de dış nokta olan noktalar) kavramlarını da tanımlamıştır.

Limit noktası kavramının Fransa’ya gelişi ise iki yolla olmuştur. Bunlardan ilki, Henri Poincare’nin 1883 yılında Klein gruplardan bahsettiği makalesinde Cantor’un türev kümesi gibi bazı tanımlarını kullanmasıdır. Poincare bu kavramların sadece Almanca isimlerini yazmış, ne anlama geldiklerini açıklamamıştır. İkincisi ise, Cantor’un makalelerinin Fransızca çevirilerini inceleyen Jules Tannery yardımıyla olmuştur. Tannery aynı zamanda, Peano’nun iç, dış ve sınır noktalarını tanımladığı kitabını da incelemiştir.

Bunların yanı sıra, Camille Jordan 1892 yılında belirli integraller üzerine yazdığı bir makalede Cantor’un fikirlerini kullanmıştır. Jordan’ın limit noktası tanımı Cantor’un tanımından farklıydı fakat tanımlanmasından 20 yıl sonra standart tanım haline gelecekti.

“Eğer her için p ile q arasındaki uzaklık ‘dan küçük olacak şekilde bir noktası varsa, p’ye E’nin limit noktası denir.“

Jordan da kapalı kümeleri tanımlamış fakat bu kümeleri kapalı küme değil mükemmel küme olarak adlandırmıştır. (Öte yandan Cantor mükemmel küme terimini, türev kümesine eşit olan kümeler için kullanmıştır.) Ayrıca, bir kümenin tümleyeninin türev kümesine ait olmayan noktaları iç nokta olarak adlandırmıştır. Jordan’ın da Cantor gibi, açık küme tanımını yapmaya çok yaklaştığını görüyoruz. Aslında tek yapması gereken, “iç noktaları kümesi kendisine eşit olan kümeye açık küme denir” tanımını yapmaktı fakat muhtemelen böyle bir kavrama ihtiyaç duymamıştı. Bunun yerine sınır noktalarını (ne kümenin ne de kümenin tümleyeninin iç noktası olan noktaları) tanımlamış ve sınır noktaları kümesinin boştan farklı ve kapalı bir küme olduğunu göstermiştir. 1983 yılında, limit tanımını biraz değiştirerek

“Eğer p noktası, E kümesinde bir dizinin limiti ise p’ye E’nin limit noktası denir”

tanımını vermiştir. (Bu tanımın ilk limit tanıma denk olduğunu göstermek için, o zamanlar daha ifade edilmemiş olan Seçme Aksiyomuna ihtiyaç vardır.)
(Bonus: Jordan ayrıca, n-boyutlu uzaylar üzerinde çalışırken günümüzde taksi-kap (taxi-cab) metriği olarak bilinen metriği tanımlamıştır.)

Görüyoruz ki derslerde kolayca tanımlayıp geçtiğimiz kavramlara ve ufak alıştırmalar şeklinde ispatladığımız ifadelere ulaşmak öyle kolay olmamış. Birçok matematikçinin katkısı ve tabii bir de uzunca bir zaman gerekmiş. Şuana kadar sadece kapalı kümeler, limit ve sınır noktaları, dış ve iç noktalardan bahsedip, açık küme kavramının etrafında dolanıp durduk. Açık kümeler nasıl tanımlanmış, topolojik uzay tanımı hep günümüzdeki gibi miymiş, yoksa o da zaman içinde sürekli değişerek ve en sonunda en iyinin hayatta kalması prensibine dayanarak mı bugünkü haline gelmiş? Yeni başlayanlar ve merak edenler için, bu soluk kesici (!) serüvene devam edeceğiz. “Her şey birdenbire (mi) oldu III” başlıklı yazımızda görüşmek üzere.

Kaynaklar
1) G.H. Moore, The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology, Historia Mathematica 35(3), 220-241 (2008)