Gauss gibi düşünmek ve bazı çılgın toplamlar

Posted on by

Lisans eğitimi boyunca çokça karşılaştığımız ve matematiğin prensi Carl Friedrich Gauss’a (1777–1855) atfedilen, n ardışık sayının toplamı formülünü hepimiz biliyoruz

\bf{1+2+\ldots+n= \frac{n(n+1)}{2}}

Yapılan işlemin altında yatan mantığa bakmadan önce biraz magazin 🙂
Brian Hayes isimli bir amcamız hiç üşenmeden (ki bence homo sapiens sapiens olarak, bugünkü ilerlememizi böyle üşenmeyen insanlara borçluyuz) Gauss’un bu toplamanın pratik yolunu nasıl bulduğuna dair anlatılan tüm hikayeleri araştırmış ve 25.06.2018 itibariyle 145 farklı versiyonu olduğunu görmüş. Bunlardan iki tanesi şöyle:

“Olağanüstü bir matematikçi ve bir hesaplama dâhisi olan Gauss, genç yaşta benzer bir performans sergiledi. Öğretmeni muhtemelen öğrencilerini yarım saat sessiz tutmayı umarak, sınıftakilerden 1’den 100’e kadar olan tüm sayıları toplamalarını istedi. Ancak küçük Gauss, hemen bir çözüm bularak tahtasını kaldırdı. Sorunun simetrisini hızla algılamıştı. Sayı doğrusunu “zihinsel olarak katlayarak”, 100’ü 1, 99’u 2, 98’i 3 ile gruplayabileceğini, dolayısıyla toplamı 101 olan 50 çift sayı elde edebileceğini fark etmişti.”

“Carl daha konuşamadan hesaplamayı öğrenmişti ve üç yaşında babasının ücret hesaplamalarındaki hataları düzeltmişti. Sekiz yaşında, ilk aritmetik dersindeyken, Gauss, n ardışık sayının toplamı için bir formül buldu. Bundan çok etkilenen öğretmeni, çocuğa entelektüel gelişimini teşvik etmek için birçok kaynak sağladı.”

Şimdi biz de bu hesabı yapmak için kullanılabilecek farklı yöntemlere bir bakalım.

  1. İlk olarak yukarıdaki anekdotta da anlatıldığı gibi, verilen sayıları bir sondan bir de baştan seçme yoluyla, ikililer şeklinde gruplandıralım. Bunu yaparken, n çift ise, söz konusu eşlemeyi yaparken bir sorun çıkmayacaktır. Fakat n tek ise, sayılarımızın başına bir de 0 ekleyelim. Örneğin, n=8 için toplamı (1+8)+(2+7)+(3+6)+(4+5) biçiminde; n=7 için ise (0+7)+(1+6)+(2+5)+(3+4) biçiminde ifade etmemiz gerekir. İşleme n=8 için devam edecek olursak, ikili gruplandırmadan dolayı elimizde 4 tane, her birinin toplamı 9 olan girdi olacak ve böylece toplamımız 4.9=36 olarak bulunacaktır.
    Genel olarak, n çift ise, toplamımız 1+2+….+n=(1+n)+(2+(n-1))+….
    biçiminde yazılabileceği için, elimizde n/2 tane n+1 olacak, yani sayıların toplamı \frac{n(n+1)}{2} olacaktır. (Tek sayılar için elimizde \frac{(n+1)}{2} tane n olacağına dikkat edelim. Bu durumda toplam formülümüz aynı kalacaktır.)
  2. Bu yöntem ise, bizi tek/çift sayı ayrımı yapmaktan kurtaracaktır.
    S= 1 + 2 + 3 +….+ n yani,
    S= n + (n-1) + (n-2) +….+ 1 olsun. Bu durumda taraf tarafa toplama yaparsak, 2S=(n+1)+(n+1)…. +(n+1)=n(n+1) ve böylece S=\frac{n(n+1)}{2} olacaktır.
  3. Son olarak ortalama hesabından yararlanalım. n tane sayı için, ortalama=sayıların toplamı/n olduğundan bu sayıların toplamı n*sayıların ortalaması çarpımına eşit olacaktır. Burada tek eklememiz gereken, n ardışık sayının ortalamasının \frac{(n+1)}{2} olduğu bilgisidir. Böylece istenilen toplam elde edilmiş olur.

Hazır konumuz toplamlara gelmişken dağılmayalım ve fizikte de kullanım alanları olan (Bozonik sicim teorisinde ve Casimir etkisini açıklamada) Ramanujan toplamına bir bakalım.

\bf{R=1+2+3+4+...= \frac{-1}{12}}

Başlamadan, izlemeyenler için şu filmi tavsiyesini şuraya bırakıp, fon müziği olarak da şunu (anlayan beri gelsin 🙂 ) açarak yolculuğumuza başlayalım.

Kafamızda deli sorular: Iraksak bir serinin toplamını nasıl bulabiliriz, hadi yaptık bir çılgınlık diyelim, peki pozitif sayıları toplayıp nasıl negatif bir sayı bulabiliriz. Tamsayı, rasyonel sayı mevzuuna hiç girmiyorum bile. Tamam, ıraksak seriler nasıl olsa toplanamıyor deyip kenara çekilmezsek ve yetkimiz olmadığı halde, terimlerin yerlerini değiştirip, her terimi bir sayıyla çarpmak, iki seriyi toplamak gibi illegal işler yaparsak ıraksak seriler için de gayet güzel toplamlar bulabiliriz. (Canımızın istediği gibi değil, bazı koşullar altında tabii ki.) Bunu yaparken Cesàro, Abel vs gibi toplama yöntemleri kullanabiliriz.

Cesàro toplamını bulurken, serinin kısmi toplamlarının ortalamalarının limitini hesaplıyoruz. Yani, \sum_{n=1}^{\infty} a_n serisi için S_n=a_1+a_2+....+a_n olmak üzere \lim_{n \to \infty} \frac {S_1+S_2+ \ldots +S_n}{n} limiti (varsa) serimizin Cesàro toplamı oluyor.

Ramanujan serisinin toplamını bulmak için kullanacağımız ilk bilgi Grandi serisinin toplamı yani

\bf{\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n=1-1+1-1+\ldots }

olacak. Grandi,

\begin{aligned} 0 &= 0 + 0 + 0 + \ldots \\ &= (1-1) + (1-1) + (1-1)+ \ldots \\ &= 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \ldots \\ &= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + \ldots \\ &= 1 \end{aligned}

eşitliğini görmüş ve (sanırım aynı zamanda bir papaz olmasından ötürü) Tanrının varlığını ispatladığını düşünmüştü çünkü bu eşitlikte hiçlikten bir şey yaratılmıştı.

Grandi serisinin ıraksak olduğu n. terim testinden açıktır fakat serinin Cesàro toplamı hesaplanabilir. Bu serinin kısmi toplamları \{S_1, S_2, S_3, \ldots \}=\{1,0,1, \ldots \} biçimindedir. O halde ortalamalar dizisi

(o_n)=\big (\frac{S_1}{1}, \frac{S_1+S_2}{2}, \frac{S_1+S_2+S_3}{3}, \ldots \big )=(1,1/2,2/3, 2/4,3/5,3/6,4/7, \ldots )

olur. Dikkat edersek bu dizide k çift ise o_k=1/2, k tek ise o_k=1/2+1/2n oluyor. O halde dizinin limiti, yani Grandi serisinin toplamı 1/2’dir.

Yukarıdaki yöntemi sevmeyenler için hemen bir alternatif: S=1-1+1-1+1\ldots ise,

\begin{aligned} 1-S &= 1-(1-1+1-1+1- \ldots ) \\ &= 1-1+1-1+1-1+1 \ldots \end{aligned}

yani 1-S=S olduğundan S=1/2 olacaktır.

(Burada şunu mutlaka belirtmek gerekir ki yapılan bu ufak hileler serinin değerinin 1/2 olduğunu ispatlamıyor. Seriye belirli koşulları sağlayan bir toplam yöntemi ile bir toplam atanabiliyorsa, bu durumda serinin toplamının 1/4 olması gerektiğini söylüyor.)

Kullanacağımız diğer seri ise \bf{T=1-2+3-4+5-6.... } ıraksak serisi. (Dikkat edersek, dizinin pozitif terimleri \infty‘a, negatif terimleri ise -\infty‘a gidiyor. Dolayısıyla genel terimin limitinin 0’a eşit olması mümkün değil. Bu nedenle seri, n. terim testinden ıraksaktır.) Bu serinin ortalamalar dizisinin limiti olmadığından Cesàro yöntemiyle toplamaz fakat aşağıdaki yöntemle toplamın 1/4 olduğunu görebiliriz.

\begin{aligned} S-T&=(1-1+1-1+1- \ldots ) - (1-2+3-4+5-6 \ldots ) \\&= (1-1+1-1+1- \ldots ) +(-1+2-3+4-5+6 \ldots ) \end{aligned}

olur. Şimdi, birinci parantezdeki n. sayıyı, 2. parantezdeki n. sayı ile eşleyerek aşağıdaki eşitliği yazalım:

\begin{aligned} S-T&=(1-1) + (-1+2) +(1-3) + (-1+4) + (1-5) +\ldots \\ &=1-2+3-4+5\ldots \\ &=T \end{aligned}

olduğundan T=S/2=1/4 olur. İşte şimdi Ramanujan toplamını bulmaya hazırız.

\begin{aligned} T-R &= (1-2+3-4+5-6 \ldots -(1+2+3+4+5+6 \ldots )\\ &= (1-2+3-4+5-6 \ldots )+(-1-2-3-4-5-6\ldots) \end{aligned}

Yukarıda yaptığımız gibi, birinci parantezdeki n. sayıyı, 2. parantezdeki n. sayı ile eşlersek,

\begin{aligned} T-R &= (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6)+ \ldots\\ &=-4-8-12- \ldots \\ &=-4(1+2+3+ \ldots ) \\ & =-4R \end{aligned}

elde ederiz. T=1/4 olduğundan R=-1/12‘dir.

İşte hikayenin sonu. Konuya ben de çok hakim olmadığım için elimden geldiğince araştırıp öğrenmeye çalıştım. Umuyorum ki en azından bir fikir edinmenize yardımcı olmuştur.

Kaynaklar

1.https://www.cantorsparadise.com/the-ramanujan-summation-1-2-3-1-12-a8cc23dea793
2.https://en.wikipedia.org/wiki/Summation_of_Grandi%27s_series
3.https://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation
4.http://www.pitt.edu/~jwheeler/Principal%20Values.pdf

Yorum bırakın