Monthly Archives: Mart 2021

Her şey birdenbire (mi) oldu III: Açık kümeler ve topolojik uzaylar.

Posted on by
Cevapla

Kafka’nın böcek metaforunu duymayan yoktur herhalde. “Gregor Samsa bir sabah bunaltıcı düşlerden uyandığında, kendini yatağında dev bir böceğe dönüşmüş olarak buldu.” Şimdi biz de gözlerimizi kapatıp, kendimizi 3-boyutlu dünyanın gerçeklerinden sıyırıp, tek boyutlu bir noktaya dönüştüğümüzü hayal ediyoruz. A4 kağıdında bir noktayız. Peki, bu kağıdın içinde mi, yoksa sınırında bir nokta mıyız, bunu nasıl anlarız? Eğer iyi tahsil görmüş bir noktaysak, kağıdın sınırına olan uzaklığımızı (yani sınırdaki tüm noktalara olan minimum uzaklığı) ölçeriz ve bu uzaklığın sıfırdan büyük olup olmadığını kontrol ederiz. Peki ya mesafeleri ölçmemiz mümkün değilse? İşte o zaman ait olduğumuz küme etrafımızı çevreliyor mu diye kontrol edebiliriz. Eğer sınırdaysak A4 kağıdının bizi çevrelemediğini görebiliriz. (Yani en azından bir yanımızda kağıda ait olmayan ve hiç tanımadığımız bir dünya var.) Bizi çevreleyen küme kavramından yola çıkarak açık kümelerin “içindeki tüm noktaları çevreleyen kümeler” olduklarını söyleyebiliriz. Yani siz, açık bir kümeye ait bir noktaysanız, etrafa bakıp kendinizi güvende hissedebilirsiniz, çünkü etrafınız tanıdıklarla çevrilidir. (Matematik diliyle ifade edersek, kümenin içinde kalan en az bir komşuluğunuz olduğunu söyleyebiliriz.) Aynı zamanda bir sınır noktası olmadığınıza da emin olabilirsiniz. (Demek ki açık kümeler sınırını da içermiyor.)

Konuya temel seviyede bir giriş yaptıktan sonra esas meseleye başlayabiliriz. Açık kümeler, komşuluklar ve topolojik uzaylar… Tüm bunlar hangi aşamalardan sonra bugün bildiğimiz formlarına kavuşmuşlar? Bu sorulara bir cevap bulduktan sonra, anlamakta zorlanıp bunalanların umutsuzluğa kapılmamaları ve topolojiyi sevmeye devam etmeleri için, yazının sonuna bir ödül videosu ekleyeceğim. Çünkü yalnız değilsiniz, bunu bilin istiyorum. 🙂

Bir önceki yazıda Cantor, Peano ve Jordan’ın yaptıkları iç nokta tanımı ile açık küme kavramına ne kadar yaklaştıklarını görmüştük. (Fakat muhtemelen bu durum onların pek de umurunda olmamıştır.)

1931’de Dedekind’in yayınlanmamış çalışmalarını yayınlayan Emmy Noether sayesinde, Dedekind’in, Peano’nun ve Jordan’ınkine oldukça benzer fikirler geliştirmiş olduğunu anlıyoruz. “General Theorems About Spaces” (Uzaylar Hakkında Genel Teoremler) başlıklı çalışma “Körper” denilen bir kavramın tanımıyla başlar.

“Bir P sistemi (yani kümesi), p,p',\ldots noktalarından oluşsun. Eğer bu sistemdeki her p noktası için, p ile arasındaki uzaklık d’den küçük olan her bir nokta P’ye ait olacak şekilde bir d uzaklığı varsa, bu sistem (yani küme) bir Körper’dir. Bu durumda, p,p',\ldots noktaları P’nin içindedir denir”

Bu tanım aslında, (muhtemelen n-boyutlu) Öklid uzayında yapılmış bir açık küme tanımıdır.

Açık küme kavramından (basılı olarak) ilk kez René Baire’nin doktora tezinde, yarı-sürekli reel fonksiyonlar konusu anlatılırken bahsedilmiştir. Baire, n-boyutlu Öklid uzayında aynı merkez ve yarıçapa sahip S kapalı küresini ve S' açık küresini tanımlamış ve sonra aşağıdaki ifadeyi eklemiştir.

“ S' küresinin herhangi bir noktası için, bu noktayı merkez kabul eden ve tüm noktaları S' küresine ait olan pozitif yarıçaplı bir küre vardır. Genel olarak, bu özelliğe sahip herhangi bir nokta kümesini n-boyutlu açık alan (open domain) olarak adlandırıyorum.”

Baire, açık alanları, “belirli bir açık alanda hangi koşullar altında tüm üst yarı-sürekli fonksiyonların supremumlarının aynı olduğu” hakkında bir teoremi kanıtlamak için kullanmıştır. Baire’nin tezinde açık kümeler sadece burada kullanılmıştır ve bu tezde Cantor’un mükemmel kümeleri (yani, kendi türev kümelerine eşit olan kümeler), açık kümelerden daha önemli bir yere sahiptir. Baire’in tezinin temel teoremi şöyledir:

“Süreksiz bir f fonksiyonunun, bir sürekli fonksiyonlar dizisi ile temsil edilebilmesi için gerek ve yeter koşul f’nin her mükemmel küme üzerinde noktasal süreksiz olmasıdır.”

Açık küme terimine ilk olarak Lebesque’in 1902 yılında Lebesque ölçüsü ve Lebesque integrallerini tanımladığı doktora tezinde rastlanır. Jordan’ın yapmış olduğu tanımlardan etkilenen Lebesque, \mathbb R‘de, sınırını içermeyen bir kümeye açık (“ouvert”) küme demiştir. Ayrıca, açık kümenin her noktasının bir iç nokta olduğunu ve açık bir kümenin tümleyeninin kapalı bir küme olduğunu ifade etmiştir. Lebesgue daha sonra, açık kümeler de dahil olmak üzere yukarıdaki tüm fikirleri n-boyutlu Öklid uzayına genişletmiştir.

Lebesgue’in açık küme tanımı maalesef çok yavaş yayılmış ve hatta bunun üzerine bazı yanlış tanımlar bile yapılmıştır. Örneğin İngiltere’de W.H. ve G.C. Young kapalı olmayan bir kümenin açık küme olduğunu ifade etmişlerdir. Ayrıca, uç noktalarından en az birini içermeyen bir aralığı açık aralık olarak adlandırmışlardır.

Şimdi, açık küme tanımlarından da kopmadan, Öklid uzaylarından topolojik uzaylara giden yolda, hangi soyut uzayların tanımlandığına bir bakalım. Burada aklımıza şu soru takılabilir: Matematik, gerçek dünyayı tanımlamayı amaçlayan bir bilim dalı olarak ortaya çıktıysa, neden soyut uzaylar tanımlamaya ve genellemeler yapmaya ihtiyaç duyarız? Bunu kabaca şöyle anlatabiliriz: Bir teori gereğinden fazla kalabalıklaştığında ya da derinleştiğinde, teoremler sadece çok özel koşullar halinde, çok özel sorunlara cevap verir hale geldiğinde, uygulama alanları da kısıtlanmış olur. Bu durumda bazı temel aksiyomlar atılarak ya da daha zayıf aksiyomlarla değiştirilerek daha genel bir teori elde edilebilir. Elde edilen teorinin uygulanabilirliği daha fazla olacaktır. Örneğin topolojiyi, metrik uzaylar ve Öklid uzaylarındaki; kategori teoriyi ise cebir ve topolojideki problemleri çözmek için kullanabiliriz. Bir anlamda, farklı alanlardaki sorunları çözmede işe yarayabilecek olan bir İsviçre çakısı elde etmiş oluyoruz. Ya da, hesaplama için hesap makinesi, haberleşmek için telefon, fotoğraf çekmek için fotoğraf makinesi kullanmak yerine, tüm hepsini içeren bir akıllı telefon sahibi oluyoruz.

Öklid uzaylarının soyut uzaylara genelleştirilmesi, Maurice Fréchet’in 1904‘te L-uzayları tanıtmasıyla başlamıştır. L-uzayların arkasındaki motivasyon, Weierstrass’ın, “sürekli bir fonksiyon kapalı ve sınırlı bir aralıkta supremum değerini alır” teoremini genelleştirmektir.

X bir küme, S, X’deki sonsuz dizilerin bir kümesi ve F:S\rightarrow X olsun. Eğer,
(1) s=(a,a,…) sabit bir dizisi ise, s’nin limiti a’dır.
(2) Bir s dizisinin limiti b ise, s’nin her alt dizisinin limiti de b’dir.
aksiyomları sağlanıyorsa (X,F)’ye bir L-uzayı ve s\in S için F(s)’ye, s dizisinin limiti denir.

Fréchet “Eğer p, A’nın farklı elemanlarından oluşan bir dizinin limit noktası ise, p’ye A kümesinin limit noktası denir” tanımını yapmış ve Cantor’un yaptığı gibi, tüm limit noktalarını içeren kümeleri kapalı kümeler olarak tanımlamıştır. L-uzayları için kompaktlık tanımını yaparken Schoenflies’in (yanlış olan) teoremini (“Her n pozitif tamsayısı için P_n kapalı ve P_{n+1}, P_n‘in boştan farklı bir alt kümesi ise tüm P_n ’lerin keşişimi de kapalıdır.”) kullanmıştır ve Weierstrass’ın tanımını aşağıdaki gibi genelleştirmiştir:

“Bir L-uzayında kapalı, kompakt bir küme üzerinde tanımlı her sürekli fonksiyon sınırlıdır ve supremum değerini alır.”

Fréchet, 1906’da yazdığı doktora tezinde hem L-uzayları derinlemesine araştırmış hem de metrik uzay kavramını ilk kez tanımlamıştır. Her metrik uzay bir L-uzayıdır, ancak tersi doğru değildir. Örneğin, bir metrik uzayda her türev kümesi kapalıdır, fakat bu durum L-uzaylarda geçerli değildir. Fréchet L-uzaylarda limit noktası, kapalı küme, mükemmel küme ve kümenin iç noktası kavramlarını tanımlamasına rağmen, açık kümeleri tanımlamamıştır.

n-boyutlu Öklid uzayında açık küme kavramının Lebesque ve Baire tarafından tanımlandığını söylemiştik. Soyut bir uzayda bu kavramı tanımlayan ise Hausdorff olmuştur. Bununla birlikte, Hausdorff’un topolojik uzay dediği şey, günümüzde bilinen tanım değil, komşuluk kavramını temel alan bir tanımdır. Hausdorff’un uzayları aşağıdaki 4 aksiyomu sağlayan altkümelerden oluşur.

(A) Her x noktası, x’in en az bir komşuluğuna aittir ve x’in her komşuluğu x’i içerir.
(B) U ve V, x’in komşulukları olsun. Bu durumda x’in W ⊆U ∩V olacak şekilde bir W komşuluğu vardır.
(C) Eğer bir y noktası, x’in bir U komşuluğuna aitse, bu durumda y’nin V⊆U olacak şekilde bir V komşuluğu vardır.
(D) Her x≠y için U ∩V boş küme olacak şekilde, x’in bir U komşuluğu ve y’nin bir V komşuluğu bulunabilir.

(Burada (D) özelliğinin, Hausdorff ya da T_2 olarak bilinen ayırma aksiyomu olduğuna dikkat edelim.) Bu uzayları komşuluk uzayları olarak adlandıralım. Dikkat edersek, Hausdorff’un komşulukları günümüzdeki komşuluk tanımına karşılık gelmiyor. Örneğin, E en az iki nokta içeren bir uzay ve her x\in E noktasının tek komşuluğu \{x\} olsun. Bu durumda Hausdorff’un tüm aksiyomları sağlanır. Fakat günümüzdeki komşuluk tanımına göre E’nin, içerdiği her noktanın komşuluğu olması gerekirken, bu örnekte böyle bir durum söz konusu değildir.

Hausdorff bir topolojik uzay için yukarıdaki aksiyomları verdikten sonra, bu uzayda bir A kümesinin iç noktası tanımını yapmıştır:

Eğer x’in, A’nın bir alt kümesi olacak şekilde bir komşuluğu varsa, x, A’nın bir iç noktasıdır”

Ayrıca x, A’ya aitse fakat A’nın bir iç noktası değilse, bir sınır noktası olduğu söylemiştir. Tüm noktaları iç nokta olan kümeleri ise açık küme (“Gebiet”) olarak adlandırmıştır. Açık kümelerin keyfi birleşiminin ve sonlu kesişiminin açık olduğunu da göstermiştir. Bunların yanı sıra yığılma noktalarını ve kapalı kümeleri aşağıdaki gibi tanımlamıştır.

“Eğer p’nin her komşuluğu B’nin sonsuz sayıda noktasını içeriyorsa, p’ye bir B’nin yığılma noktası (“Häufungspunkt”), tüm yığılma noktalarını içeren kümeye ise kapalı küme denir”

Hausdorff ayrıca kapalı kümelerin keyfi kesişim ve sonlu birleşim altında kapalı olduğunu da göstermiştir.

Şimdi de kapalı kümeleri temel alan bir uzayın tanımını verelim. 1922 yılında Polonyalı matematikçi Kazimierz Kuratowski, bir kapanış operatörü yardımıyla kapanış uzaylarını tanımlamıştır.

Bir kapanış uzayı, bir X kümesi ve X’in kuvvet kümesi üzerinde, aşağıdaki özellikleri sağlayan bir fonksiyondan (kapanış fonksiyonundan) oluşan bir ikilidir. A,B\subseteq X olsun.
(1) A\cup B’nin kapanışı A’nın kapanışı ve B’nin kapanışının birleşimine eşittir.
(2) A kümesi, kapanışının alt kümesidir.
(3) Boş kümenin kapanışı boş kümedir.
(4) A’nın kapanışının kapanışı, A’nın kapanışına eşittir.

Kuratowski, kapanışına eşit olan kümeleri kapalı küme; tümleyeninin kapanışının tümleyenine eşit olan kümeleri ise açık küme olarak tanımlamıştır. Aslında kapanış uzayları bugünkü topolojik uzayların ilk halidir denilebilir.

Avusturyalı matematikçi Heinrich Tietze, 1923 yılında yayınladığı makalede, açık kümelerden bahsetmiş ve bunu yaparken Hausdorff’un kullandığı “Gebiet” ismi yerine, Alman matematikçi Constantin Carathéodory’nin kitabında kullandığı ve açık küme (offen Menge) ifadesine atıfta bulunan “offen” sıfatını benimsemiştir. (Carathéodory, tüm noktaları iç nokta olan kümelere açık küme ismini vermiştir ve “Gebiet” terimini açık bağlantılı kümeler için kullandığından, açık kümeler için yeni bir adlandırma yapmak durumunda kalmıştır.)

Tietze, aşağıdaki dört aksiyomu sağlayan uzayları tanımlamıştır.

(A’) Her x noktası en az bir açık kümeye aittir.
(B’) U ve V, en az bir ortak noktaya sahip açık kümeler ise, U \cap V açık bir kümedir.
(C’) A’nın her x noktası, A’nın bir açık alt kümesinin elemanı ise, A kümesi açıktır.
(D’) Her x≠y için U \cap V boş küme olacak şekilde, x’i içeren bir U ve y’yi içeren bir V açığı vardır.

Bu uzayları O-uzay olarak adlandıralım. Tietze, bir komşuluk uzayında tüm açık kümelerin ailesinin bir O-uzay olduğunu belirtmiştir. Tersine, eğer bir O-uzayda, bir x noktasını içeren tüm açık kümeler x’in komşulukları olarak kabul edilirse, o zaman x’in tüm komşuluklarının ailesinin bir komşuluk uzayı olduğu sonucunu da elde etmiştir.

Bu noktadan sonra, modern tanıma çok az kaldığını hissediyoruz ve hemen Kafka’dan bir moral sözü ekleyip yola devam ediyoruz.

“Gerçek sabır, kişinin tükendiği yerde başlar.”

Rus matematikçi Pavel Aleksandrov, 1925 yılında yayınladığı makalede, Hausdorff’un komşuluk uzaylarının tanımını açık kümeler kullanarak vermiştir.

(1) İki açık kümenin kesişimi ve keyfi sayıda açık kümenin birleşimi açıktır.
(2) Herhangi iki farklı nokta, ayrık açık kümelerde bulunur.

Sierpinski ise, ilk olarak türev kümesi ve kapalı kümeler üzerine çalışmalar yaptıktan sonra, 1934 tarihli kitabında Fréchet’nin gittiği yolu izlediğini ve açık küme kavramını temel alacağını belirtmiştir. Kitabın ilk bölümünde açık kümeler için az sayıda aksiyom sunmuş ve daha sonra altı bölümün her birine bir veya daha fazla aksiyom eklemiştir. Keyfi bir K kümesi için, ilk aksiyomları şöyledir:

(1) Boş küme açık bir kümedir.
(2) K açık bir kümedir.
(3) K’nın açık alt kümelerinin keyfi birleşimi açıktır.

Kitabının 2. kısımında ise bunlara iki aksiyom daha eklemiştir:

(4) Her p≠q için p noktasını içerip q noktasını içermeyen bir açık küme vardır.
(5) İki açık kümenin kesişimi açıktır.

(1), (2), (3) ve (5) aksiyomları topolojik uzayların bilinen tanımı, (4) ise T_1 olarak bilinen ayırma aksiyomudur. Sierpinski diğer bölümlere ise Hausdorff’un ikinci sayılabilirlik aksiyomunun başka bir versiyonunu (“Uzaydaki her açık küme, \mathcal{S}‘nin elemanlarının birleşimi olarak yazılacak şekilde, açık kümelerden oluşan sayılabilir bir \mathcal{S}=\{W_1,W_2,\ldots \} kümesi vardır.”) ve ayrıca T_2 ve T_3 olarak bilinen aksiyomları eklemiştir.

1935-1938 yılları arasında bir grup Fransız matematikçi Nicolas Bourbaki takma adıyla topoloji de dahil olmak üzere matematiğin birçok alanında kitap yazmışlardır. (Alakasız bir not: Boş küme sembolü de dahil olmak üzere birçok notasyonu matematiğe kazandıran da bu grup olmuştur.)

Bourbaki, “Structures topologiques ” bölümünün 1940’da yayımlanan ilk baskısında, açık küme kavramını temel fikir olarak kullanmış ve yalnızca ilk aksiyomu biraz değiştirerek Aleksandrov’un aksiyomlarını benimsemiştir: Açık kümelerin sonlu kesişimleri ve keyfi birleşimleri açıktır. Daha sonra, bunlara boş kümenin ve tüm uzayın açık olduğunu da eklemiştir. Fakat Bourbaki, dizilerden daha genel bir yakınsama biçimi olarak filtreleri tanımladıktan sonra, tüm uzayların T_2 aksiyomunu sağladığını kabul etmiştir. Bunun nedeni, bir topolojik uzayda T_2 aksiyomu ile bir filtrenin limitinin tek olması özelliğinin birbirine denk olmasıdır.

Herhangi bir ayırma aksiyomunu varsaymadan, günümüzdeki topoloji tanımını kullanan ise 1955 yılında yazdığı Genel Topoloji kitabı ile John L. Kelley olmuştur. Daha sonraki yıllarda yazılan birçok kitap, açık küme kavramını temel almıştır.

Tüm bu kavramlar, tanımlar, sürekli gelişen değişen fikirler ilginizi çekmiş olsa da, şuan şöyle bir ruh halinde olabilirsiniz 🙂

Ve işte son olarak da ödül videomuz:

Kaynaklar
1) G.H. Moore, The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology, Historia Mathematica 35(3), 220-241 (2008)

Her şey birdenbire (mi) oldu II: Kapalı kümelerin ortaya çıkışı

Posted on by
Cevapla

Topoloji dersleri genelde, üç temel aksiyomla başlar. X bir küme ve \tau, X’in kuvvet kümesinin bir alt ailesi olsun. Eğer,
(T1) \emptyset \in \tau, X \in \tau
(T2) G_1,G_2 \in \tau \Rightarrow G_1\cap G_2\in \tau
(T3) \forall \alpha, G_{\alpha} \in \tau \Rightarrow \bigcup G_ {\alpha} \in \tau
özellikleri sağlanıyorsa \tau‘ya bir topoloji, \tau‘nun elemanlarına ise açık kümeler denir.
Sanki matematikçinin biri gelmiş ve demiş ki “Dostlar, yurttaşlar, dinleyin: Bundan sonra bu 3 aksiyomu sağlayan aile bir topolojik uzay olarak biline!” Tabii ki böyle olmamış ve bilimin her alanında olduğu gibi, bu tanım da zaman içinde evrilerek bu forma gelmiş. Hatta yapılan ilk tanımların “komşuluk” kavramını temel aldığını ve modern topolojinin bel kemiği olarak görülen açık kümelere uzun süreler ihtiyaç duyulmadığını bile söyleyebiliriz.

Bu yazıda, açık küme tanımına gelene kadar neler olup bittiğine, topolojinin hangi tanımlar çerçevesinde kimler tarafından inşa edildiğine bir bakacağız. (Tabii hikaye oldukça uzun olduğundan için bahsedemeyeceğimiz birçok kişi ve kavram da olacaktır.)

Topolojinin gelişimini üç ayrı koldan inceleyecek olsak, geometri, analiz ve fonksiyonel analizden yola çıkmamız doğru bir yaklaşım olurdu. Bir önceki yazımızda geometri ile ilişkisine kısaca değinmiştik. Burada yapacağımız şey ise analiz ile ilişkisini kurmak ve yakınsama kavramından yola çıkarak modern topolojiye doğru ilerlemek olacak.

Bir kümenin limit noktası (ya da orijinal ismiyle “Grenzpunkt”) kavramının isim babası ve bunun üzerine bir yayın yapan ilk kişi Cantor olmasına rağmen onu ilk bulan kişi Weierstrass’tır. 20 yılı aşkın süre boyunca devam eden derslerinde, Bolzano-Weierstrass teoreminin bir parçası olarak, bu kavramdan birçok kez bahsedilmiştir. Weierstrass bu teoremi topolojinin ya da orijinal ismiyle “analysis situs”un veya geometrinin değil, klasik analizin bir parçası olarak görmüştür. (Topoloji kelimesini kullanan ilk kişi Johann Benedict Listing’dir. “Vorstudien zur Topologie” adlı kitabının öncesinde yaptığı yazışmalarda da 10 yıl boyunca “Topologie” kelimesini kullanmıştır.) Teorem, n-boyutlu Öklid uzayında her sonsuz sınırlı kümenin bir limit noktası olduğunu ifade eder. Günümüzde Bolzano-Weierstrass teoremi olarak bilinmesine rağmen, Bolzano’nun çalışmalarında bu ifadeyi görmek imkansızdır çünkü daha ortada bir kümenin limit noktası kavramı yoktur. Bolzano’nun bulduğu şey Weierstrass’ın teoremi ispatlamakta kullandığı altaralıklara bölme yöntemine çok benzer bir metottur.
Weierstrass’ın derslerinde Bolzano-Weierstrass teoreminin birçok farklı ifadesi yer almıştır.
Teoremin bilinen ilk hali 1865 yılında, son hali ise 1886 yılında ifade edilmiştir.
(1865 yılında “Analitik fonksiyonlar teorisinin ilkeleri” isimli derste ifade edilen ve topolojide sıkça kullanılacak olan komşuluk tanımını içeren ifade şöyledir:
“Düzlemin sınırlı bir parçasında, verilen bir özelliğe sahip sonsuz sayıda nokta varsa, bu durumda (bu parçanın içinde ya da sınırında), her komşuluğunda bu özelliğe sahip sonsuz sayıda eleman bulunan en az bir nokta vardır.“)

İlginçtir ki, Weierstrass 20 yıl boyunca teoremin ifadesinde kullandığı bu noktaya herhangi bir isim vermemiştir. Onun yerine kariyerinin sonlarına doğru “Grenzstelle” terimini ortaya koymuştur. Burada şunu eklemek gerekir ki, “Grenzstelle” kümeye ait olamaz fakat Cantor’un “Grenzpunkt”u için böyle bir kısıtlama yoktur.

Cantor, 1872 yılında trigonometrik seriler üzerine yazdığı makalede, bir kümenin türev kümesini (yani, tüm limit noktalarının kümesini) tanımlamak için limit noktası terimini kullanmıştır. Şimdi Cantor’un tanımına bir bakalım:

“Bir P kümesinin limit noktasından anladığım şey, bir doğru üzerinde bulunan ve her komşuluğu P kümesinin sonsuz sayıda elemanını içeren bir noktadır. Limit noktası P kümesine de ait olabilir. Bir noktanın komşuluğundan kastedilen şey, noktayı içinde bulunduran bir aralıktır. Bu tanımlara dayanarak sonsuz sayıda nokta içeren her kümenin en az bir limit noktası olması gerektiğini kolayca gösterebiliriz.“

Yukarıdaki son cümle aslında Bolzano-Weierstrass teoreminin yayınlanmış ilk ifadesidir. Cantor bu teoreme herhangi bir referans vermemiş, ayrıca teorem sadece sınırlı bir küme üzerinde doğru olmasına rağmen, teoremin ifadesine böyle bir koşul eklememiştir. Bunun sebebi sadece bir dikkatsizlik olabilir. Çünkü 1882 yılında, bu teoremi ifade eden, kanıtlayan ve uygulayan ilk kişinin Weierstrass olduğunu söylemiştir. Weierstrass gibi, Cantor da Bolzano-Weierstrass teoremini klasik analizin bir parçası olarak düşünmüştür.

Kısa bir süre sonra, limit noktası kavramı İtalya’ya da ulaşmıştır. Ulisse Dini, reel analizin temelleri hakkında yazdığı kitapta, Bolzano-Weierstrass teoremini Cantor’un versiyonuna daha yakın fakat daha açık bir şekilde ifade etmiştir:

“Bir (a,b) aralığının sonsuz bir G altkümesinin (kümede olması gerekmeyen) bir limit noktası vardır.”

Cantor 1884 yılında, tüm limit noktalarını içeren küme olarak “kapalı küme” kavramını tanımlamıştır. Her kapalı kümenin bir türev kümesi olduğunu ve ayrıca A \cup B kümesinin türev kümesinin, A’nın ve B’nin türev kümelerinin birleşimine eşit olduğunu göstermiştir. (Cantor’un bu özellikleri \mathbb R üzerinde elde ettiğini unutmayalım.)

Cantor, açık küme kavramından bahsetmemesine rağmen, 1872’de bir aralığın, 1879 ise bir kümenin iç noktaları tanımlarını vermiştir. Cantor’un tanımı Giuseppe Peano’nun Geometric Applications of the Infinitesimal Calculus kitabında yapmış olduğu iç nokta tanımına yakındır. Peano’nun tanımı ise şöyledir:

“A kümesi \mathbb{R}^n (n=1,2,3)‘in bir alt kümesi olsun. Eğer, p ile arasındaki uzaklık r’den küçük olan tüm noktalar A’ya ait olacak şekilde bir r>0 varsa, p, A’nın iç noktasıdır denir.“

Peano ayrıca dış nokta (bir kümenin tümleyeninin iç noktaları) ve sınır noktası (ne iç ne de dış nokta olan noktalar) kavramlarını da tanımlamıştır.

Limit noktası kavramının Fransa’ya gelişi ise iki yolla olmuştur. Bunlardan ilki, Henri Poincare’nin 1883 yılında Klein gruplardan bahsettiği makalesinde Cantor’un türev kümesi gibi bazı tanımlarını kullanmasıdır. Poincare bu kavramların sadece Almanca isimlerini yazmış, ne anlama geldiklerini açıklamamıştır. İkincisi ise, Cantor’un makalelerinin Fransızca çevirilerini inceleyen Jules Tannery yardımıyla olmuştur. Tannery aynı zamanda, Peano’nun iç, dış ve sınır noktalarını tanımladığı kitabını da incelemiştir.

Bunların yanı sıra, Camille Jordan 1892 yılında belirli integraller üzerine yazdığı bir makalede Cantor’un fikirlerini kullanmıştır. Jordan’ın limit noktası tanımı Cantor’un tanımından farklıydı fakat tanımlanmasından 20 yıl sonra standart tanım haline gelecekti.

“Eğer her \epsilon> 0 için p ile q arasındaki uzaklık \epsilon ‘dan küçük olacak şekilde bir q\neq p, q\in E noktası varsa, p’ye E’nin limit noktası denir.“

Jordan da kapalı kümeleri tanımlamış fakat bu kümeleri kapalı küme değil mükemmel küme olarak adlandırmıştır. (Öte yandan Cantor mükemmel küme terimini, türev kümesine eşit olan kümeler için kullanmıştır.) Ayrıca, bir kümenin tümleyeninin türev kümesine ait olmayan noktaları iç nokta olarak adlandırmıştır. Jordan’ın da Cantor gibi, açık küme tanımını yapmaya çok yaklaştığını görüyoruz. Aslında tek yapması gereken, “iç noktaları kümesi kendisine eşit olan kümeye açık küme denir” tanımını yapmaktı fakat muhtemelen böyle bir kavrama ihtiyaç duymamıştı. Bunun yerine sınır noktalarını (ne kümenin ne de kümenin tümleyeninin iç noktası olan noktaları) tanımlamış ve sınır noktaları kümesinin boştan farklı ve kapalı bir küme olduğunu göstermiştir. 1983 yılında, limit tanımını biraz değiştirerek

“Eğer p noktası, E kümesinde bir dizinin limiti ise p’ye E’nin limit noktası denir”

tanımını vermiştir. (Bu tanımın ilk limit tanıma denk olduğunu göstermek için, o zamanlar daha ifade edilmemiş olan Seçme Aksiyomuna ihtiyaç vardır.)
(Bonus: Jordan ayrıca, n-boyutlu uzaylar üzerinde çalışırken günümüzde taksi-kap (taxi-cab) metriği olarak bilinen metriği tanımlamıştır.)

Görüyoruz ki derslerde kolayca tanımlayıp geçtiğimiz kavramlara ve ufak alıştırmalar şeklinde ispatladığımız ifadelere ulaşmak öyle kolay olmamış. Birçok matematikçinin katkısı ve tabii bir de uzunca bir zaman gerekmiş. Şuana kadar sadece kapalı kümeler, limit ve sınır noktaları, dış ve iç noktalardan bahsedip, açık küme kavramının etrafında dolanıp durduk. Açık kümeler nasıl tanımlanmış, topolojik uzay tanımı hep günümüzdeki gibi miymiş, yoksa o da zaman içinde sürekli değişerek ve en sonunda en iyinin hayatta kalması prensibine dayanarak mı bugünkü haline gelmiş? Yeni başlayanlar ve merak edenler için, bu soluk kesici (!) serüvene devam edeceğiz. “Her şey birdenbire (mi) oldu III” başlıklı yazımızda görüşmek üzere.

Kaynaklar
1) G.H. Moore, The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology, Historia Mathematica 35(3), 220-241 (2008)

Topolojisi aynada değişen nesneler

Posted on by
Cevapla

Bugün sizi ilginç bir matematikçi ile tanıştıracağım. İsmi Kokichi Sugihara. 1948 yılında Japonya’da doğmuş. Lisans, yüksek lisans ve doktora eğitimlerini Tokyo üniversitesi matematik mühendisliği bölümünde tamamlamış. Aynada bakıldığında farklı şekillerde görülen üç boyutlu nesneler yaratmış ve bu optik illüzyonları ile birçok ödül kazanmış. “Aynanın önüne koyulduğunda görünüşü değişen bir nesneler sınıfı buldum. Elbette bir nesnenin şekli aynaya yansıysa bile değişmemelidir. Yani görünüşteki değişiklik bir tür optik yanılsamadır.” diyor Sugihara.

Şimdi işin eğlenceli kısmına gelelim ve Sugihara’nın ezber bozan çalışmalarına bir göz gezdirelim.

İlk olarak, yayınlandığı ilk hafta yaklaşık 5 milyon kez izlenen ve 2016 yılının en iyi illüzyonu seçilen “Ambiguous Optical Illusion” ile başlayalım:

David Richeson bu işin nasıl mümkün olduğunu güzelce açıklamış. Yetmemiş, bu illüzyonun altında yatan matematiği anlattığı bir de makale yazmış. (Hatta makalenin içine bir de, çıktısını alıp deneyebileceğiniz bir şablon yerleştirmiş.)

Şimdi de bu linke tıklayıp, koordinat eksenlerinin konumunu değiştirerek, şeklin üst kısmının nasıl farklı şekillerde görünebileceğini deneyebilirsiniz. Pozitif mavi ve yeşil eksenler yukarıya bakacak ve iki kırmızı nokta üst üste gelecek şekilde bir düzenleme yaparsanız, yeşil-kırmızı düzlemde bir birim çember göreceksiniz. Pozitif mavi ve negatif yeşil eksenler yukarı bakacak ve iki mavi nokta üst üste gelecek şekilde bir düzenlemeyle ise bir baklava dilimi göreceksiniz. Bizler de bu nesnelere aynadan baktığımızda, aslında farklı görüş açılarına sahip birer gözlemci oluyoruz.

Sugihara’nın 2015 yılının en iyi illüzyonu seçilen çalışması da gerçekten etkileyici:

Son olarak, topolojisi aynada değişen nesnelere bakmak hatta kendiniz de denemek için şablonlar indirmek isterseniz şu sayfayı mutlaka bir ziyaret etmenizi tavsiye ederim. Hatta eğer bir 3D yazıcıya ulaşma imkanınız varsa şöyle buyurun, yoksa da sayfaya bir yer imi koyun, ileride mutlaka olacak nasıl olsa 🙂

Gauss gibi düşünmek ve bazı çılgın toplamlar

Posted on by
Cevapla

Lisans eğitimi boyunca çokça karşılaştığımız ve matematiğin prensi Carl Friedrich Gauss’a (1777–1855) atfedilen, n ardışık sayının toplamı formülünü hepimiz biliyoruz

\bf{1+2+\ldots+n= \frac{n(n+1)}{2}}

Yapılan işlemin altında yatan mantığa bakmadan önce biraz magazin 🙂
Brian Hayes isimli bir amcamız hiç üşenmeden (ki bence homo sapiens sapiens olarak, bugünkü ilerlememizi böyle üşenmeyen insanlara borçluyuz) Gauss’un bu toplamanın pratik yolunu nasıl bulduğuna dair anlatılan tüm hikayeleri araştırmış ve 25.06.2018 itibariyle 145 farklı versiyonu olduğunu görmüş. Bunlardan iki tanesi şöyle:

“Olağanüstü bir matematikçi ve bir hesaplama dâhisi olan Gauss, genç yaşta benzer bir performans sergiledi. Öğretmeni muhtemelen öğrencilerini yarım saat sessiz tutmayı umarak, sınıftakilerden 1’den 100’e kadar olan tüm sayıları toplamalarını istedi. Ancak küçük Gauss, hemen bir çözüm bularak tahtasını kaldırdı. Sorunun simetrisini hızla algılamıştı. Sayı doğrusunu “zihinsel olarak katlayarak”, 100’ü 1, 99’u 2, 98’i 3 ile gruplayabileceğini, dolayısıyla toplamı 101 olan 50 çift sayı elde edebileceğini fark etmişti.”

“Carl daha konuşamadan hesaplamayı öğrenmişti ve üç yaşında babasının ücret hesaplamalarındaki hataları düzeltmişti. Sekiz yaşında, ilk aritmetik dersindeyken, Gauss, n ardışık sayının toplamı için bir formül buldu. Bundan çok etkilenen öğretmeni, çocuğa entelektüel gelişimini teşvik etmek için birçok kaynak sağladı.”

Şimdi biz de bu hesabı yapmak için kullanılabilecek farklı yöntemlere bir bakalım.

  1. İlk olarak yukarıdaki anekdotta da anlatıldığı gibi, verilen sayıları bir sondan bir de baştan seçme yoluyla, ikililer şeklinde gruplandıralım. Bunu yaparken, n çift ise, söz konusu eşlemeyi yaparken bir sorun çıkmayacaktır. Fakat n tek ise, sayılarımızın başına bir de 0 ekleyelim. Örneğin, n=8 için toplamı (1+8)+(2+7)+(3+6)+(4+5) biçiminde; n=7 için ise (0+7)+(1+6)+(2+5)+(3+4) biçiminde ifade etmemiz gerekir. İşleme n=8 için devam edecek olursak, ikili gruplandırmadan dolayı elimizde 4 tane, her birinin toplamı 9 olan girdi olacak ve böylece toplamımız 4.9=36 olarak bulunacaktır.
    Genel olarak, n çift ise, toplamımız 1+2+….+n=(1+n)+(2+(n-1))+….
    biçiminde yazılabileceği için, elimizde n/2 tane n+1 olacak, yani sayıların toplamı \frac{n(n+1)}{2} olacaktır. (Tek sayılar için elimizde \frac{(n+1)}{2} tane n olacağına dikkat edelim. Bu durumda toplam formülümüz aynı kalacaktır.)
  2. Bu yöntem ise, bizi tek/çift sayı ayrımı yapmaktan kurtaracaktır.
    S= 1 + 2 + 3 +….+ n yani,
    S= n + (n-1) + (n-2) +….+ 1 olsun. Bu durumda taraf tarafa toplama yaparsak, 2S=(n+1)+(n+1)…. +(n+1)=n(n+1) ve böylece S=\frac{n(n+1)}{2} olacaktır.
  3. Son olarak ortalama hesabından yararlanalım. n tane sayı için, ortalama=sayıların toplamı/n olduğundan bu sayıların toplamı n*sayıların ortalaması çarpımına eşit olacaktır. Burada tek eklememiz gereken, n ardışık sayının ortalamasının \frac{(n+1)}{2} olduğu bilgisidir. Böylece istenilen toplam elde edilmiş olur.

Hazır konumuz toplamlara gelmişken dağılmayalım ve fizikte de kullanım alanları olan (Bozonik sicim teorisinde ve Casimir etkisini açıklamada) Ramanujan toplamına bir bakalım.

\bf{R=1+2+3+4+...= \frac{-1}{12}}

Başlamadan, izlemeyenler için şu filmi tavsiyesini şuraya bırakıp, fon müziği olarak da şunu (anlayan beri gelsin 🙂 ) açarak yolculuğumuza başlayalım.

Kafamızda deli sorular: Iraksak bir serinin toplamını nasıl bulabiliriz, hadi yaptık bir çılgınlık diyelim, peki pozitif sayıları toplayıp nasıl negatif bir sayı bulabiliriz. Tamsayı, rasyonel sayı mevzuuna hiç girmiyorum bile. Tamam, ıraksak seriler nasıl olsa toplanamıyor deyip kenara çekilmezsek ve yetkimiz olmadığı halde, terimlerin yerlerini değiştirip, her terimi bir sayıyla çarpmak, iki seriyi toplamak gibi illegal işler yaparsak ıraksak seriler için de gayet güzel toplamlar bulabiliriz. (Canımızın istediği gibi değil, bazı koşullar altında tabii ki.) Bunu yaparken Cesàro, Abel vs gibi toplama yöntemleri kullanabiliriz.

Cesàro toplamını bulurken, serinin kısmi toplamlarının ortalamalarının limitini hesaplıyoruz. Yani, \sum_{n=1}^{\infty} a_n serisi için S_n=a_1+a_2+....+a_n olmak üzere \lim_{n \to \infty} \frac {S_1+S_2+ \ldots +S_n}{n} limiti (varsa) serimizin Cesàro toplamı oluyor.

Ramanujan serisinin toplamını bulmak için kullanacağımız ilk bilgi Grandi serisinin toplamı yani

\bf{\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n=1-1+1-1+\ldots }

olacak. Grandi,

\begin{aligned} 0 &= 0 + 0 + 0 + \ldots \\ &= (1-1) + (1-1) + (1-1)+ \ldots \\ &= 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \ldots \\ &= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + \ldots \\ &= 1 \end{aligned}

eşitliğini görmüş ve (sanırım aynı zamanda bir papaz olmasından ötürü) Tanrının varlığını ispatladığını düşünmüştü çünkü bu eşitlikte hiçlikten bir şey yaratılmıştı.

Grandi serisinin ıraksak olduğu n. terim testinden açıktır fakat serinin Cesàro toplamı hesaplanabilir. Bu serinin kısmi toplamları \{S_1, S_2, S_3, \ldots \}=\{1,0,1, \ldots \} biçimindedir. O halde ortalamalar dizisi

(o_n)=\big (\frac{S_1}{1}, \frac{S_1+S_2}{2}, \frac{S_1+S_2+S_3}{3}, \ldots \big )=(1,1/2,2/3, 2/4,3/5,3/6,4/7, \ldots )

olur. Dikkat edersek bu dizide k çift ise o_k=1/2, k tek ise o_k=1/2+1/2n oluyor. O halde dizinin limiti, yani Grandi serisinin toplamı 1/2’dir.

Yukarıdaki yöntemi sevmeyenler için hemen bir alternatif: S=1-1+1-1+1\ldots ise,

\begin{aligned} 1-S &= 1-(1-1+1-1+1- \ldots ) \\ &= 1-1+1-1+1-1+1 \ldots \end{aligned}

yani 1-S=S olduğundan S=1/2 olacaktır.

(Burada şunu mutlaka belirtmek gerekir ki yapılan bu ufak hileler serinin değerinin 1/2 olduğunu ispatlamıyor. Seriye belirli koşulları sağlayan bir toplam yöntemi ile bir toplam atanabiliyorsa, bu durumda serinin toplamının 1/4 olması gerektiğini söylüyor.)

Kullanacağımız diğer seri ise \bf{T=1-2+3-4+5-6.... } ıraksak serisi. (Dikkat edersek, dizinin pozitif terimleri \infty‘a, negatif terimleri ise -\infty‘a gidiyor. Dolayısıyla genel terimin limitinin 0’a eşit olması mümkün değil. Bu nedenle seri, n. terim testinden ıraksaktır.) Bu serinin ortalamalar dizisinin limiti olmadığından Cesàro yöntemiyle toplamaz fakat aşağıdaki yöntemle toplamın 1/4 olduğunu görebiliriz.

\begin{aligned} S-T&=(1-1+1-1+1- \ldots ) - (1-2+3-4+5-6 \ldots ) \\&= (1-1+1-1+1- \ldots ) +(-1+2-3+4-5+6 \ldots ) \end{aligned}

olur. Şimdi, birinci parantezdeki n. sayıyı, 2. parantezdeki n. sayı ile eşleyerek aşağıdaki eşitliği yazalım:

\begin{aligned} S-T&=(1-1) + (-1+2) +(1-3) + (-1+4) + (1-5) +\ldots \\ &=1-2+3-4+5\ldots \\ &=T \end{aligned}

olduğundan T=S/2=1/4 olur. İşte şimdi Ramanujan toplamını bulmaya hazırız.

\begin{aligned} T-R &= (1-2+3-4+5-6 \ldots -(1+2+3+4+5+6 \ldots )\\ &= (1-2+3-4+5-6 \ldots )+(-1-2-3-4-5-6\ldots) \end{aligned}

Yukarıda yaptığımız gibi, birinci parantezdeki n. sayıyı, 2. parantezdeki n. sayı ile eşlersek,

\begin{aligned} T-R &= (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6)+ \ldots\\ &=-4-8-12- \ldots \\ &=-4(1+2+3+ \ldots ) \\ & =-4R \end{aligned}

elde ederiz. T=1/4 olduğundan R=-1/12‘dir.

İşte hikayenin sonu. Konuya ben de çok hakim olmadığım için elimden geldiğince araştırıp öğrenmeye çalıştım. Umuyorum ki en azından bir fikir edinmenize yardımcı olmuştur.

Kaynaklar

1.https://www.cantorsparadise.com/the-ramanujan-summation-1-2-3-1-12-a8cc23dea793
2.https://en.wikipedia.org/wiki/Summation_of_Grandi%27s_series
3.https://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation
4.http://www.pitt.edu/~jwheeler/Principal%20Values.pdf

Her şey birdenbire (mi) oldu I: Geometriden Topolojiye Bir Yol Gider

Posted on by
Cevapla

Bir varmış, bir yokmuş… Ülkenin birinde, çok düşünüp, sorgulayıp, başımıza icat çıkarınca tiz kellesi vurulan; bir diğerinde ise pazar yürüyüşleri yaptıkları köprüler üzerinden bile bilimsel sorular ortaya atıp, bunları yanıtlarken koca koca teorilerin ortaya çıkmasına önayak olan insanlar yaşarmış.
Sene: 1736. Yer: Prusya’nın Könisberg (Kralın Dağı) şehri. Euler, topolojinin başlangıcı olarak değerlendirilmeyi hak eden ilk çalışması olan Königsberg köprüsü probleminin çözümü üzerine ”Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” makalesini yayımlamıştır. Bu makale İngilizceye “The solution of a problem relating to the geometry of position” (Konum geometrisiyle ilgili bir problemin çözümü) olarak tercüme edilmiştir. Makalenin başlığından, Euler’in, mesafenin önemli olmadığı farklı bir geometri türü ile uğraştığının farkında olduğunu anlıyoruz. Makale, Könisberg şehrindeki Pregel ırmağının meydana getirdiği bir ada ve yarımadayı birbirine bağlayan 7 köprünün her birinden bir ve sadece bir kez geçerek bütün şehri dolaşabilir miyiz sorusu üzerine yazılmıştır. Euler sadece bu durumun imkansız olduğunu göstermekle kalmamış, aynı zamanda çözümünü, bugünkü haliyle ifade edilmek istenirse, “Bir grafikte her kenarı tam olarak bir kez geçen bir yol olması için, bu grafikteki tek dereceli düğümlerinin sayısı, eğer varsa, iki olmalıdır.” biçiminde genelleştirmiştir. Tek dereceli düğümler dolaşmanın başlangıç ve bitiş düğümleridir. Grafikte böyle düğümler yoksa dolaşmaya herhangi bir düğümden başlanabilir. Bu problem aynı zamanda matematiğin diğer bir alanı olan çizge kuramının da temelidir.

Matematiğin yalnızca ölçüm ile ilgili bir alan olduğu algısından kurtulmamızı sağlayan bir sonraki adımı da Euler’in attığını söyleyebiliriz. 1750 yılında Christian Goldbach’a yazdığı ve Goldbach’ın bir kitapçı ile yaşadığı bir anlaşmazlık üzerine yorum yaptığı mektupta ayrıca ünlü çokyüzlü formülünü de yazmıştır. v - e + f = 2. Burada v, e ve f, sırasıyla, çokyüzlünün köşe, kenar ve yüzlerinin sayısını gösterir. Arşimet ve Descartes da çokyüzlüler üzerine kapsamlı bir şekilde çalışmış olmalarına rağmen bu formülü gözden kaçırmışlardır. Bunun nedeni, Euler’den önce ölçüm dahil olmadan geometrik özellikleri düşünmenin imkansız olmasıdır. (Burada bir ek bilgi: Euler, formülünün ayrıntılarını 1752’de iki makalede olarak yayımlamıştır. İlk makalede sonucu kanıtlayamadığını kabul etmiş, ancak ikincisinde katı cisimleri tetrahedral parçalara bölerek formülünü kanıtlamıştır. Fakat bu kanıtta tüm katıların konveks olduğunu, yani herhangi iki noktayı birleştiren düz bir çizginin her zaman tamamen katının içinde olduğunu, varsaymış, bu nedenle bazı durumları gözden kaçırmıştır. Hayatının çoğunu Euler’in formülüyle ilgili problemler üzerinde çalışarak geçiren Antoine-Jean Lhuilier (1750 -1840), 1813 yılında yayıladığı çalışmada, Euler’in formülünün, içlerinde delik olan katılar için yanlış olduğunu ve g, katı cisimdeki delik sayısı olmak üzere, v - e + f = 2 - 2g eşitliğinin sağlandığını göstermiştir. Bu eşitlik aslında topolojik invaryant üzerine elde edilmiş ilk sonuçtur.)
Şimdi, asıl konumuza dönelim ve geometriden topolojiye doğru yol almaya başlayalım.

Topoloji kelimesi topos ve logos sözcüklerinin bir birleşimidir. “yüzey bilimi” anlamına gelir. Fakat bu kelime topolojinin günümüzdeki çalışma alanlarını anlamak için yetersizdir. Topolojinin ne hakkında olduğunu anlamanın belki de en iyi yolu, ona birçok açıdan yakın olan geometri ile karşılaştırmaktır. Bu nedenle, öncelikle geometrinin, veya en azından bize oldukça tanıdık olan Öklid geometrisinin ne olduğuna yakından bakalım.
Geometri, geo ve metro kelimelerinin birleşimidir yani “yer ölçümü” anlamına gelir. Nesnelerin geometrik özelliklerinin incelenmesi olarak tanımlanabilir. Elbette böyle bir tanım, “nesneler” ve “geometrik özellikler” ile ne kastedildiği sorularını akla getirir. Öncelikle bunları yanıtlayalım. Hepimiz, geometrinin çizgiler, düzlemler, daireler, küpler, silindirler, çeşitli eğriler, yüzeyler ve benzeri nesnelerle ilgilendiğini biliyoruz. Bu nedenle bunlar, üzerinde çalışılacak nesneler arasındadır. Ancak bu kesin bir tanım olarak alınabilir mi? Hayır, çünkü ‘ve benzeri’ ifadesi matematiksel bir tanıma dahil edilemeyecek kadar belirsiz bir ifade. Yukarıda listelenen tüm nesnelerin kümeler olduğu açıktır. O halde çalışmamızın nesnelerinin sadece kümeler olduğunu söyleyebilir miyiz? Aslında evet fakat bu durum geometrinin güzelliğini kaybetmemize sebep olacaktır. Bu nedenle, örneğin bir kare ile bir üçgen arasında ayrım yapabileceğimiz bazı ek yapılara da ihtiyaç duyarız. Bu ek yapı, noktalar arasında tanımlı, uzaklık gibi bazı özellikleri içermeli ve belirli koşulları veya “aksiyomları” sağlamalıdır. O halde bir geometrik nesne, sadece bir küme olarak değil, bir ek yapıya sahip bir küme olarak ya da bir küme ve ek yapıdan oluşan sıralı bir çift olarak tanımlanabilir. Bu tür tanımlamalar matematikte oldukça yaygındır. Örneğin, bir grup, belirli aksiyomları sağlayan bir ikili işlemle birlikte bir küme olarak tanımlanır. Bu ikili işlem ve sağladığı aksiyomlar bahsettiğimiz ek yapıdır.
Şimdi bir nesnenin geometrik özelliklerinin ne anlama geldiğine bir bakalım. Geometride alan, hacim ve eğrilik (curvature) gibi özelliklerle ilgileniyoruz. Yani aslında bunlar bir nesnenin geometrik özellikleridir. Fakat renk, koku, erime noktası gibi özelliklerle ilgilenmeyiz, yani bunlar geometrik özellik değildir. Peki bir özelliğin geometrik olup olmadığına nasıl karar veriyoruz? Kabaca, nesnenin noktaları arasındaki uzaklığa bağlı olan özellikler geometriktir diyebiliriz. Şimdi bu kriteri matematik diliyle ifade etmeye çalışalım. Bunun için “denklik (congruence)” tanımını hatırlayalım. İki nesnenin noktaları arasında bire-bir eşleme var ise bu iki nesne birbirine denktir denir. Matematiksel olarak ifade edersek, A ve B birer nesne ve d noktalar arası uzaklık olmak üzere, her x,y \in A için d(x, y) = d(f(x),f(y)) olacak (yani uzaklıkları koruyacak) şekilde bire-bir örten f: A\rightarrow B dönüşümü varsa A ve B birbirine denktir denir. Bu f dönüşümüne ise bir denklik (ya da bir izometri) denir. Birbirine denk olma bağıntısının, bütün geometrik nesneler sınıfı üzerinde bir denklik bağıntısı olduğu açıktır. Bir nesnenin sahip olduğu bir özellik denk olduğu her nesne tarafından da sağlanıyorsa, bu özellik denklik altında değişmezdir (invariant) ya da denklik tarafından korunuyordur denir. Örneğin üçgenin alanı böyle bir özelliktir. Benzer şekilde ikizkenar üçgen olma özelliği de denklik altında korunur. Diğer taraftan bir nesnenin kokusu rengi denklik altında korunmaz. Denklik uzaklığı koruduğu için, uzaklığa bağlı olan her özelliği de koruyacaktır. O halde “geometrik özellik” nedir sorusunun cevabı, “denklik altında korunan” özellikler olacaktır.
Bu tarz sınıflandırmalara matematikte çok sık rastlanır. Örneğin kümeler teorisinde nesneler, üzerinde hiçbir ek yapı bulunmayan kümelerdir. İki küme arasında bire-bir örten bir dönüşüm varsa bu kümeler eş güçlüdür (equipollent) denir. Eş güçlü olma bir denklik bağıntısıdır ve bu özellik altında korunan özelliklere küme-teorik (set-theoretic) özellik denir. Kümenin kardinalitesi böyle bir özelliktir.
Topoloji bu genel yaklaşıma mükemmel bir şekilde uymaktadır. Topolojide ele alınan nesneler topolojik uzaylar olarak adlandırılır. Şimdilik bu nesnelerin geometrideki nesnelerle aynı olduklarını farz edelim. Fakat burada sınıflandırma, denklik yardımı ile değil de, “homeomofizma” olarak bilinen özel dönüşümler yardımı ile yapılacaktır. Bu durumda homeomorfizma altında değişmeyen özellikler topolojik özellikler olarak adlandırılacaktır.
Tanım: A ve B, Öklid uzayının alt kümeleri, f: A\rightarrow B bir fonksiyon ve x_0 \in A olsun. Eğer her \epsilon>0 ve her x\in A için, d(x, x_0) < \delta iken d(f(x),f(x_0)) < \epsilon olacak şekilde bir \delta>0 varsa f fonksiyonu x_0 noktasında süreklidir denir. Eğer f, A’nın her noktasında sürekli ise, f fonksiyonu süreklidir denir.
Bu tanımı ve sürekli fonksiyonların özelliklerini analiz derslerinden hatırlıyoruz. Sürekli bir fonksiyon tersinir ya da bire-bir örten olmayabilir. Eğer tersi varsa, tersinin sürekli olması da gerekmez. Örneğin A=[0,1) ve B birim çember olmak üzere f: A\rightarrow B , f(x) = (cos 2nx, sin 2nx) fonksiyonu sürekli, bire-bir ve örtendir fakat tersi sürekli değildir.
Tanım: A ve B, Öklid uzayının alt kümeleri, f: A\rightarrow B bir fonksiyon olsun. Eğer f sürekli, bire-bir örten ve tersi de sürekli olan bir fonksiyon ise, f bir homeomorfizmadır denir. Bu durumda A ve B birbirine homeomorftur.
Bu tanımlar sonrasında, topoloji ve geometri karşılaştırmasının denklik ve homeomorfizma karşılaştırmasına indirgenmiş olduğunu söyleyebiliriz. Şimdi bu iki fonksiyonun birbiriyle ilişkisine bir bakalım. Tanımlardan her denkliğin bir homeomorfizma olduğu açıktır. Yani bir geometriciye göre aynı görülebilen iki nesne, bir topolojici için de aynı görülebilir. Ayrıca, homeomorfizma altında korunan her özellik denklik fonksiyonu altında da korunur. O halde tüm topolojik özelliklerin birer geometrik özellik olduğunu da söyleyebiliriz.
Peki bu durumun tersi de doğru mudur? Tabii ki hayır; zaten cevabımız olumlu olsaydı geometri ile topoloji arasında bir fark olmazdı. A ve B, sırasıyla, 1 ve 2 birim uzunluğunda birer çubuk, yani A=[0,1], B=[2,4] olsun. f: A\rightarrow B, f(x)=2+2x fonksiyonunu tanımlayalım. f fonksiyonu ve tersi olan g: B\rightarrow A, g(y)=\frac{y-2}{2} fonksiyonu süreklidir. Ayrıca f bire-bir ve örtendir. O halde f bir homeomorfizmadır. Fakat f bir denklik değildir, hatta A ve B arasında bir denklik fonksiyonu bulunamaz. (Aksi taktirde bu denklik, örneğin 0 ve 1 arasındaki uzaklığı korurdu.) O halde bu iki nesne topolojik olarak aynı olmasına rağmen geometrik olarak farklıdır. Sezgisel olarak, çubukların esnek bir maddeden yapıldığını düşünürsek homeomorfizma birinci çubuğu uzatarak/esneterek ikinci çubuğun elde edilmesini (ya da, ikinci teli büzerek birincinin elde edilmesini) sağlar. Kabaca, esnetme büzme gibi işlemlerin, topolojik özellikleri etkilemezken, çubuğun boyu gibi geometrik özellikleri değiştirdiğini söyleyebiliriz.
Diğer bir örnek olarak, A= [0,1], B:=birim çemberin dörtte biri ve h: A\rightarrow B, h(x)=(cos \frac{\pi x}{2}, sin \frac{\pi x}{2}) olsun. h bir homeomorfizmadır. Elimizdeki 1 birim uzunluğundaki çubuğu bükerek çeyrek çembere dönüştürmek onu topolojik olarak değiştirmez fakat eğrilik ve torsiyon gibi geometrik özelliklerini değiştirir. O halde, uzunluk, eğrilik ve torsiyon gibi özeliklerin birer topolojik özellik olmadığını söyleyebiliriz.
Şimdi de 2-boyutlu bir nesneyi, örneğin disk şeklinde bir lastik levhayı ele alalım. Bu levha çeşitli yönlerde gerilerek bir kare haline getirilebilir. O halde bir disk ile bir karenin homeomorf olduğunu söyleyebiliriz. (Burada yapılan işleme uygun bir homeomorfizma yazmak kolay değildir.)

Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi O ve O’ iç noktalarını seçelim. Başlangıç noktası O olan bir doğru parçasının çemberi kestiği nokta A; başlangıç noktası O’ olan bir doğru parçasının çemberi kestiği nokta ise A’ olsun. OA ve O’A’ aynı uzunlukta olmak zorunda değildir fakat OA dan O’A’ ye, O noktasını O’ ye taşıyan bir homeomorfizma vardır. Ayrıca A değiştikçe, bu homeomorfizma da, disk ile kare arasında yeni bir homeomorfizma elde edilecek şekilde, sürekli bir biçimde (continuously) değiştirilebilir. Bu tekniği kullanarak bir diskin bir üçgene, elipse ya da yukarıda gösterilen herhangi bir levhaya homeomorf olduğunu söyleyebiliriz. Bahsedilen nesneler arasındaki her homeomorfizma birinin sınır noktalarını diğerinin sınırına taşıyacaktır. (Kanıtı açık değildir fakat sezgisel olarak gayet açık bir durumdur.)
Yine sezgisel olarak, bir nesnenin boyutunun topolojik bir özelliktir olduğunu, yani yukarıdaki şekilin üçüncü satırında gösterilen katı cisimlerin hiçbirinin bir yüzeye ya da bir eğriye homeomorf olamayacağını söyleyebiliriz.
Şimdi bazı ilginç topolojik özellikleri inceleyelim. Nesnenin tek bir parçadan oluşması, yani matematiksel adıyla bağlantılı olması topolojik bir özelliktir. Örneğin iki aynı doğru parçasının birleşimi olan bir nesne, tek parçadan oluşmuş bir nesne ile aynı olarak düşünülemez. O halde, bir nesneyi kesmenin onun topolojik özelliklerini değiştirdiğini söylemek mümkündür. Aynı durum nesnenin bazı kısımlarını birbirine yapıştırma işlemi için de geçerlidir. Eğer bir tel parçasının iki ucunu birbirine yapıştırırsak çembere homeomorf olan bir şekil elde ederiz. Bu tel parçasının sınır noktaları dışında bir noktasını çıkarırsak bağlantılılığını bozmuş oluruz. Fakat çemberde, çıkarıldığında bağlantılılığı bozacak bir nokta yoktur. Bu şekilde bir noktanın varlığı topolojik bir özelliktir. O halde çember ve doğru parçası birbirine homeomorf olamaz.
Daha yüksek boyutlarda, cismi delmek ya da var olan deliği kesmek cismin topolojik özelliklerini değiştirir. Yukarıdaki hiçbir nesne birbirine homeomorf değildir. İki cismin homeomorf olduğunu göstermek için gereken dönüşümü yazmak kolay değildir fakat homeomorf olmadıklarını gösterirken birinin sağlayıp diğerinin sağlamadığı bir topolojik özellik bulmak yeterlidir.
Şimdi, geometri ve topoloji karşılaştırmasına geri dönelim. Nesnelerin topolojik sınıflandırmasının, geometrik sınıflandırmaya kıyasla çok daha kaba olduğunu görebiliriz. Öyleyse, neden topolojik bakış açısına ihtiyaç duyarız? Bu sorunun iki yanıtı olabilir. Her ne kadar burada topolojik nesneleri geometrik nesnelere kısıtlamış olsak da, aslında topolojik nesneler sınıfı çok daha geniştir ve içinde, geometrik yöntemlerin uygulanamayacağı birçok nesne barındırır. Ayrıca, sadece geometrik nesneler üzerinde çalışıyor olsak bile geometrik özellikler dışındaki özelliklere odaklanmak farklı bir bakış açısı elde etmemizi sağlayabilir.

Kaynaklar
1.https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics/
2. Joshi, K. D. Introduction to General Topology. New York: John Wiley and Sons Ltd. (1983)

Yeni başlayanlar için: Matematikçinin Orta Dünya Haritası

Posted on by
Cevapla

Bilimsel gaflar söz konusu olduğunda, aklıma gelen ilk örnek (her ne kadar şehir efsanesi olma ihtimali olsa da), Amerikan patent dairesi başkanı Charles Duell’in 20. yüzyılın kapısına dayanmışken söylediği “Artık bilimin bulabileceği bir şey kalmadı, bilim, bu noktada tıkandı. Bulabileceğimiz her şeyi bulduk ve bize artık gerek yok.” sözü oluyor. Her kim düşünmüş olursa olsun, günümüzde bunun tam tersi bir durumun içinde olduğumuzu biliyoruz. Kara deliklerin isim babası John Archibald Wheeler’ın da dediği gibi cehalet deniziyle çevrili bir bilgi adasında yaşıyoruz ve bilgi adamız büyüdükçe, cehaletimizin kıyısı da büyüyor. Öğrendiğimiz şeyler arttıkça, bilmediğimiz ne kadar çok şey olduğu ortaya çıkıyor. (“Öğrenecek çok şey var ve bunlar için yeterince zamanım yok” paniğine kapılmayıp, “ben zaten hey şeyi biliyorum ki yhaa” gibi semptomlar gösteriyorsanız sizleri David Dunning ve Justin Kruger‘a emanet edip yolumuza devam edelim.) Yukarıdaki haritada cahillik denizi kıyısı boyunca ilerlerken hemen sağımızda kalan matematiğe odaklanalım ve Martin Kuppe (Nam-ı diğer ZoggTheAlien) tarafından çizilen Mathematistan haritasına bir göz gezdirelim.

Her şey geometri ve aritmetik ile başladı. O yüzden haritanın merkezinde bu ikisi var. Aritmetiğin yanında, ondan yola çıkılarak üretilmiş “sayılar teorisi tepeleri” ve “Cebir halifeliği”. Geometrinin komşusu “Topoloji tundrası” ; Topoloji ve Cebir arasında ise “Cebirsel Topoloji Ormanları”. Yukarılara doğru, cebir ve topoloji kadar büyük bir alan “Analiz Ovaları”. Analiz ve Topoloji birleşince ortaya çıkan “Diferansiyel Geometri Tepeleri”. Hepsinden tek tek bahsetmeyeceğim tabii ki ama incelenmeye değer ayrıntılarla dolu bir harita olmuş. Cebir’in Arap kökenlerine değinmek için “Cebir Halifeliği” ismini seçmesi, “Fields” yani cisimler için kelimenin diğer anlamını kullanıp tarlalar çizmesi, mantık okyanusunun dışında Gödel’in teoremine yer vermesi gözüme çarpanlardan bazıları.

Matematiğin, dışarıdan bakıldığında çok karmaşık görünen dünyasını özetleyen bir galaksi rehberi. Olanı biteni bir de haritanın yaratıcısından dinlemek isteyenler için:

Not: Türkçe altyazısı mevcuttur, iyi seyirler 🙂